Teoria Floqueta

Teoria Floquet jest gałęzią teorii równań różniczkowych zwyczajnych odnoszącą się do klasy rozwiązań okresowych liniowych równań różniczkowych postaci

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = A (t) x,}$

z fragmentarycznie ciągłą $funkcją$$okresową$ z okresem określa

Główne twierdzenie teorii Floqueta, twierdzenie Floqueta , pochodzące od Gastona Floqueta ( 1883 ), podaje postać kanoniczną dla każdego podstawowego rozwiązania macierzowego tego wspólnego układu liniowego . Daje to zmianę współrzędnych ${\ Displaystyle \ Displaystyle y = Q ^ {- 1} (t) x}$ z ${\ Displaystyle \ Displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$ , które przekształca układ okresowy w tradycyjny układ liniowy ze stałymi, rzeczywistymi współczynnikami .

W przypadku zastosowania do układów fizycznych o okresowych potencjałach, takich jak kryształy w fizyce materii skondensowanej , wynik jest znany jako twierdzenie Blocha .

Zauważ, że rozwiązania liniowego równania różniczkowego tworzą przestrzeń wektorową. Macierz nazywana jest podstawowym rozwiązaniem macierzy $,$ jeśli wszystkie kolumny są Macierz nazywana jest ${0}$ podstawowym rozwiązaniem macierzowym $displaystyle$$jeśli$ i istnieje taka, że to tożsamość. ${-1}(t_{0})}$${\ Displaystyle \ Phi (t) = \ phi \, (t) {\ phi \,}$ ^ . Rozwiązaniem liniowego równania różniczkowego z $x$ jest $t$ gdzie jest dowolnym podstawowym rozwiązaniem macierzowym ${\ Displaystyle \ phi \, (t)}$ .

Twierdzenie Floqueta

Niech ${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = A (t) x}$ będzie liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, gdzie ${\ Displaystyle x (t)}$ jest kolumną wektor długości i $macierz$ z $}$$.$$t$${\ Displaystyle A (t + T) = A (t)}$ _ dla wszystkich rzeczywistych wartości ${\ displaystyle t}$ ). Niech $tego$ fundamentalnym rozwiązaniem macierzowym Wtedy dla wszystkich ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ ,

${\ Displaystyle \ phi (t + T) = \ phi (t) \ phi ^ {-1} (0) \ phi (T).}$

Tutaj

${\ Displaystyle \ fi ^ {- 1} (0) \ fi (T)}$

jest znana jako macierz monodromii . Ponadto dla każdej macierzy $złożonej$ ) takiej, że

${\ Displaystyle e ^ {TB} = \ phi ^ {- 1} (0) \ phi (T)}$

istnieje okresowa (okres $)$ funkcja macierzowa taka, że $mapsto P (t)}$

${\ Displaystyle \ phi (t) = P (t) e ^ {tB} {\ tekst {dla wszystkich}} t \ w \ mathbb {R}.}$

Istnieje również $\ Displaystyle t \ mapsto Q (t)$ macierz i rzeczywista okresowa (okresowa $funkcja$ macierzy taka, że $​​t$

${\ Displaystyle \ phi (t) = Q (t) e ^ {tR} {\ tekst {dla wszystkich}} t \ w \ mathbb {R}.}$

W powyższych macierzach są ${\ displaystyle B}$ , $\ displaystyle P}$$displaystyle$ Q $\ displaystyle Q}$ i $R}$

Konsekwencje i zastosowania

To $_$ _ ${\ Displaystyle y = Q ^ {- 1} (t) x}$ ), w którym nasz oryginalny system staje się systemem liniowym o rzeczywistych stałych współczynnikach ${\ Displaystyle {\ kropka {y} }=Ry}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle Q (t)}$ jest ciągłe i okresowe, musi być ograniczone. Zatem stabilność rozwiązania zerowego $Displaystyle$$i$ jest wartości $}$

$) = P (t) e ^ {tB}}$ mi ${ \displaystyle \phi \,(t)}$ nazywa się normalną postacią Floqueta dla macierzy podstawowej .

Wartości własne $_$ charakterystycznymi mnożnikami . _ Są to również wartości własne (liniowych) map Poincarégo ${\ Displaystyle x (t) \ do x (t + T)}$ . Wykładnik Floqueta $czasami$$)$ jest złożonym takim, że charakterystycznym mnożnikiem systemu. Zauważ, że wykładniki Floqueta nie są unikalne, ponieważ ${\ Displaystyle e ^ {(\ mu + {\ Frac {2 \ pi ik} {T}}) T} = e ^ {\ mu T}}$ , gdzie ${\ displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą. Części rzeczywiste wykładników Floqueta nazywane są wykładnikami Lapunowa . Rozwiązanie zerowe jest asymptotycznie stabilne, jeśli wszystkie wykładniki Lapunowa są ujemne, stabilne Lapunowa , jeśli wykładniki Lapunowa są niedodatnie i niestabilne w przeciwnym razie.

• Teoria Floquet jest bardzo ważna dla badania układów dynamicznych .
• Teoria Floqueta pokazuje stabilność równania różniczkowego Hilla (wprowadzonego przez George'a Williama Hilla ) przybliżającego ruch Księżyca jako oscylatora harmonicznego w okresowym polu grawitacyjnym .
• Zmiękczanie i utwardzanie wiązań w intensywnych polach laserowych można opisać rozwiązaniami otrzymanymi z twierdzenia Floqueta.

• C. Chicone. Równania różniczkowe zwyczajne z zastosowaniami. Springer-Verlag, Nowy Jork 1999.
•   MSP Eastham, „Teoria spektralna okresowych równań różniczkowych”, Texts in Mathematics, Scottish Academic Press, Edynburg, 1973. ISBN 978-0-7011-1936-2 .
•    Ekeland, Ivar (1990). "Jeden". Metody wypukłości w mechanice hamiltonowskiej . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych (3)]. Tom. 19. Berlin: Springer-Verlag. s. x+247. ISBN 3-540-50613-6 . MR 1051888 .
• Floquet, Gaston (1883), „Sur les équations différentielles linéaires à współczynniki périodiques” (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 12 : 47–88, doi : 10.24033/asens.220
• Krasnosel'skii, MA (1968), Operator translacji wzdłuż trajektorii równań różniczkowych , Providence : American Mathematical Society , Tłumaczenie monografii matematycznych, 19, 294 s.
•   W. Magnus, S. Winkler. Równanie Hilla , wydania Dover-Phoenix, ISBN 0-486-49565-5 .
• NW McLachlan, Teoria i zastosowanie funkcji Mathieu , New York: Dover, 1964.
•   Teschl, Gerald (2012). Równania różniczkowe zwyczajne i układy dynamiczne . Providence : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-8328-0 .

Linki zewnętrzne

• „Teoria Floqueta” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]