Współrzędne paraboliczne

Na zielono konfokalne parabole otwierające się do góry ${\ Displaystyle 2y = {\ Frac {x ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} - \ sigma ^ {2}}$ Na czerwono konfokalne parabole otwierające się w dół ${\ Displaystyle 2y = - {\ Frac {x ^ {2}} {\ tau ^ {2}}} + \ tau ^ {2 }}$

Współrzędne paraboliczne to dwuwymiarowy ortogonalny układ współrzędnych , w którym linie współrzędnych są parabolami konfokalnymi . Trójwymiarową wersję współrzędnych parabolicznych uzyskuje się obracając układ dwuwymiarowy wokół osi symetrii paraboli.

Współrzędne paraboliczne znalazły wiele zastosowań, np. w leczeniu efektu Starka i potencjalnej teorii krawędzi.

Dwuwymiarowe współrzędne paraboliczne

Dwuwymiarowe współrzędne paraboliczne są definiowane przez równania w kategoriach współrzędnych kartezjańskich: $\ Displaystyle (\ sigma, \ tau)}$

${\ Displaystyle x = \ sigma \ tau}$

${\ Displaystyle y = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ tau ^ {2} - \sigma ^{2}\right)}$

Krzywe stałej $konfokalne$ parabole

${\ Displaystyle 2y = {\ Frac {x ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} - \ sigma ^ {2}}$

które otwierają się w górę (tj. w kierunku $podczas$ gdy krzywe stałej tworzą parabole konfokalne ${\ displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle 2y = - {\ Frac {x ^ {2}} {\ tau ^ {2}}} + \ tau ^ {2}}$

które otwierają się w dół (tj. w kierunku ${\ displaystyle -y}$ ). Ogniska wszystkich tych paraboli znajdują się na początku.

Współrzędne kartezjańskie i ${$$\ displaystyle y}$ można przekonwertować na współrzędne paraboliczne przez: x {\ displaystyle x

${\ Displaystyle \ sigma = {\ sqrt {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} -y}} ~ {\ tekst {znak }}(x)}$

${\ Displaystyle \ tau = {\ sqrt {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + y}}.}$

Współczynniki skali dwuwymiarowej

Współczynniki skali dla współrzędnych parabolicznych są równe ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau)}$

${\ Displaystyle h _ {\ sigma} = h _ {\ tau} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}}$

Stąd nieskończenie małym elementem pola jest

${\ Displaystyle dA = \ lewo (\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \ prawej) d \ sigma d \ tau}$

a Laplacian jest równy

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ Frac {1} {\ sigma ^ {2} +\tau ^{2}}}\left({\frac {\częściowy ^{2}\Phi }{\częściowy \sigma ^{2}}}}+{\frac {\częściowy ^{2}\Phi} {\częściowo \tau ^{2}}}\right)}$

$wyrazić$ różniczkowe, takie jak ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$ we współrzędnych ${ \displaystyle (\sigma ,\tau )}$ podstawiając współczynniki skali do ogólnych wzorów znalezionych we współrzędnych ortogonalnych .

Trójwymiarowe współrzędne paraboliczne

Powierzchnie współrzędnych trójwymiarowych współrzędnych parabolicznych. Czerwona paraboloida odpowiada τ=2, niebieska paraboloida odpowiada σ=1, a żółta półpłaszczyzna odpowiada φ=-60°. Trzy powierzchnie przecinają się w punkcie P (pokazanym jako czarna kula) o współrzędnych kartezjańskich z grubsza (1,0, -1,732, 1,5).

Dwuwymiarowe współrzędne paraboliczne stanowią podstawę dla dwóch zestawów trójwymiarowych współrzędnych ortogonalnych . Paraboliczne współrzędne cylindryczne są tworzone przez rzutowanie w kierunku ${\ displaystyle z}$ . Obrót wokół osi symetrii paraboli tworzy zestaw paraboloid konfokalnych, układ współrzędnych trójwymiarowych współrzędnych parabolicznych. Wyrażone we współrzędnych kartezjańskich:

${\ Displaystyle x = \ sigma \ tau \ cos \ varphi}$

${\ Displaystyle y = \ sigma \ tau \ sin \ varphi}$

${\ Displaystyle Z = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ tau ^ {2} - \ sigma ^ {2} \ prawo)}$

gdzie parabole są teraz wyrównane z $-$ , wokół której wykonano obrót. Stąd zdefiniowany jest kąt azymutalny ${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ dębnik \ varphi = {\ Frac {y} {x}}}$

Powierzchnie o stałej $tworzą$ konfokalne

${\ Displaystyle 2z = {\ Frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} - \ sigma ^ {2} }$

które otwierają się do góry (tj. w kierunku $podczas$ gdy powierzchnie o stałej tworzą paraboloidy konfokalne ${\ displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle 2z = - {\ Frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {\ tau ^ {2}}} + \ tau ^ { 2}}$

które otwierają się w dół (tj. w kierunku ${\ displaystyle -z}$ ). Ogniska wszystkich tych paraboloidów znajdują się na początku.

Tensor metryczny Riemanna powiązany z tym układem współrzędnych to

${\ Displaystyle g_ {ij} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} i 0 i 0 \\ 0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

Współczynniki skali trójwymiarowej

Trójwymiarowe czynniki skali to:

${\ Displaystyle h _ {\ sigma} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle h_ { \ tau} = {\ sqrt {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle h _ {\ varphi} = \ sigma \ tau}$

Widać, że współczynniki skali $i$ same $jak$ przypadku dwuwymiarowym Nieskończenie mały element objętości jest wtedy

$\ Displaystyle dV = h_ {\ sigma} h_ {\ tau} h_ {\ varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

a Laplacian jest podany przez

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ Frac {1} {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}} \ lewo [{\ Frac {1} {\ sigma}}} {\ frac {\częściowy }{\częściowy \sigma }}\left(\sigma {\frac {\częściowy \Phi }{\częściowy \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\ frac {\częściowy }{\częściowy \tau}}\left(\tau {\frac {\częściowy \Phi}}{\częściowy \tau}}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^ {2}\tau ^{2}}}{\frac {\częściowe ^{2}\Phi }{\częściowe \varphi ^{2}}}}$

$}}$ takie jak i można wyrazić we współrzędnych ${\ Displaystyle (\ sigma, \ tau, \ phi)}$$)$ przez zastąpienie współczynników skali ogólnymi wzorami znajdującymi się we współrzędnych ortogonalnych .

Zobacz też

• Współrzędne paraboliczne cylindryczne
• Ortogonalny układ współrzędnych
• Współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

•    Morse PM , Feshbach H (1953). Metody fizyki teoretycznej, część I . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 660. ISBN 0-07-043316-X . LCCN 52011515 .
•   Margenau H. , Murphy GM (1956). Matematyka Fizyki i Chemii . Nowy Jork: D. van Nostrand. s. 185–186 . LCCN 55010911 .
•   Korn GA, Korn TM (1961). Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów . Nowy Jork: McGraw-Hill. P. 180. LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
•   Sauer R, Szabo I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nowy Jork: Springer Verlag. P. 96. LCCN 67025285 .
•   Zwillinger D (1992). Podręcznik integracji . Boston, MA: Jones i Bartlett. P. 114. ISBN 0-86720-293-9 . To samo co Morse i Feshbach (1953), zastępując u _k zamiast ξ _k .
•   Księżyc P, Spencer DE (1988). „Współrzędne paraboliczne (μ, ν, ψ)” . Podręcznik teorii pola, w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania (poprawione wydanie drugie, wydanie trzecie do druku). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 34–36 (tab. 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2 .

Linki zewnętrzne

• „Współrzędne paraboliczne” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld opis współrzędnych parabolicznych