Funkcja Baera

funkcje Baera ${\ Displaystyle B_ {p} ^ {q} (z)}$ i do ${\ Displaystyle C_ {p} ^ {q} (z)}$ nazwane na cześć Karla Baera , są rozwiązaniami równania różniczkowego Baera

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} B} {dz ^ {2}}} + {\ Frac {1} {2}} \ lewo [{\ Frac {1} {zb}} + {\frac {1}{zc}}\right]{\frac {dB}{dz}}-\left[{\frac {p(p+1)z+q(b+c)}{(zb) (zc)}}\right]B=0}$

co powstaje, gdy separacja zmiennych zostanie zastosowana do równania Laplace'a we współrzędnych paraboloidalnych . Funkcje Baera są definiowane jako rozwiązania szeregowe o ${\ displaystyle z = 0}$ , które spełniają ${\ displaystyle B_ {p} ^ {q} (0) = 0}$ , ${\ Displaystyle C_ {p} ^ {q} (0) = 1}$ . Podstawiając szereg potęgowy Ansatz do równania różniczkowego, można skonstruować szereg formalny dla funkcji Baera. $W przypadku$$istnieć$ wartości i prostsze rozwiązania. Na przykład,

${\ Displaystyle B_ {0} ^ {0} (z)=\ln \left[{\frac {z+{\sqrt {(zb)(zc)}}-(b+c)/2}{{\sqrt {bc}}-(b+c)/ 2}}\prawo]}$

$więcej$ , funkcje Mathieu $przypadkach$ w szczególnych, ponieważ to ostatnie sprowadza się do równania różniczkowego Mathieu, zmiany zmienna ${\ Displaystyle z = \ sałata ^ {2} t}$ .

jak równanie różniczkowe $punkty$ Baera ma dwa regularne osobliwe (w $)$ oraz jeden osobliwy w nieskończoności Zatem, w przeciwieństwie do wielu innych specjalnych funkcji fizyki matematycznej, funkcji Baera nie można ogólnie wyrazić za pomocą funkcji hipergeometrycznych .

Równanie falowe Baera jest uogólnieniem wynikającym z rozdzielenia zmiennych w równaniu Helmholtza we współrzędnych paraboloidalnych:

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} B} {dz ^ {2}}} + {\ Frac {1} {2}} \ lewo [{\ Frac {1} {zb}}+{\frac {1}{zc}}\right]{\frac {dB}{dz}}+\left[{\frac {k^{2}z^{2}-p(p +1)zq(b+c)}{(zb)(zc)}}\right]B=0}$

co sprowadza się do oryginalnego równania Baera, gdy ${\ displaystyle k = 0}$ .

Bibliografia

•   Lew Yan Voon LC, Willatzen M (2011). Rozdzielne problemy brzegowe w fizyce . Wiley-VCH. doi : 10.1002/9783527634927 . ISBN 978-3-527-41020-0 . (bezpłatny dostęp online do dodatku dotyczącego funkcji firmy Baer)
•   Paruj Księżyc; Domina E. Spencer (6 grudnia 2012). Podręcznik teorii pola: w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania . Skoczek. ISBN 978-3-642-53060-9 .
•   Duggen, L; Willatzen, M; Voon , LC Lew Yan ( 2012 ) _ _ _ _ -0807/33/3/689 , S2CID 120466280

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Równanie różniczkowe Baera” . MathWorld .