Równanie Kadomcewa-Petwiaszwilego

Przecinające się fale , składające się z ciągów fal zbliżonych do stożkowatych. Zdjęcie zrobione z Phares des Baleines (latarnia morska wielorybów) na zachodnim krańcu wyspy Île de Ré (wyspa Rhé) we Francji, na Oceanie Atlantyckim . Oddziaływanie takich bliskich solitonów w płytkiej wodzie można modelować za pomocą równania Kadomcewa-Petwiaszwilego.

W matematyce i fizyce równanie Kadomcewa -Petwiaszwilego (często w skrócie równanie KP ) jest równaniem różniczkowym cząstkowym opisującym nieliniowy ruch falowy . Nazwany na cześć Borysa Borysowicza Kadomcewa i Władimira Iosifowicza Petwiaszwilego , równanie KP jest zwykle zapisywane jako:

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ częściowe _ {x} (\ częściowe _ {t} u + u \ częściowe _{x}u+\epsilon ^{2}\częściowe _{xxx}u)+\lambda \częściowe _{yy}u=0}

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda = \ pm 1}$ . Powyższa postać pokazuje, że równanie KP jest uogólnieniem na dwa wymiary przestrzenne , x i y , jednowymiarowego równania Kortewega – de Vriesa (KdV) . Aby mieć sens fizyczny, kierunek propagacji fali musi być niezbyt odległy od x , tj. z jedynie wolnymi zmianami rozwiązań w kierunku y .

Podobnie jak równanie KdV, równanie KP jest całkowicie całkowalne. Można to również rozwiązać za pomocą odwrotnej transformacji rozpraszania, podobnie jak nieliniowe równanie Schrödingera .

W 2002 r. uregulowana wersja równania KP, naturalnie nazywana równaniem Benjamina - Bony - Mahony'ego - Kadomcewa - Petwiaszwilego (lub po prostu równaniem BBM-KP ), została wprowadzona jako alternatywny model dla długich fal o małej amplitudzie w wodach płytkich porusza się głównie w kierunku x w przestrzeni 2+1.

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ częściowe _ {x} (\ częściowe _ {t} u + u \ częściowe _{x}u+\epsilon ^{2}\częściowe _{xxt}u)+\lambda \częściowe _{yy}u=0}

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda = \ pm 1}$ . Równanie BBM-KP stanowi alternatywę dla zwykłego równania KP, w podobny sposób, w jaki równanie Benjamina-Bona-Mahony'ego jest powiązane z klasycznym równaniem Kortewega-de Vriesa , ponieważ zlinearyzowana relacja dyspersji BBM-KP jest dobrym zbliżenie do tego z KP, ale nie wykazuje niepożądanego zachowania ograniczającego, ponieważ zmienna Fouriera ^{[ potrzebne ujednoznacznienie ]} podwójna do x zbliża się ${\ Displaystyle \ pm \ infty}$ .

Historia

Borys Kadomcew.

Równanie KP zostało po raz pierwszy napisane w 1970 roku przez sowieckich fizyków Borysa B. Kadomcewa (1928–1998) i Władimira I. Petwiaszwilego (1936–1993); pojawiło się jako naturalne uogólnienie równania KdV (wyprowadzonego przez Kortewega i De Vriesa w 1895 r.). Podczas gdy w równaniu KdV fale są ściśle jednowymiarowe, w równaniu KP ograniczenie to jest złagodzone. Mimo to, zarówno w równaniu KdV, jak i KP, fale muszą przemieszczać się w dodatnim x .

Powiązania z fizyką

Równanie KP można wykorzystać do modelowania fal wodnych o dużej długości fali ze słabo nieliniowymi siłami przywracającymi i dyspersją częstotliwości . Jeśli napięcie powierzchniowe jest słabe w porównaniu z siłami grawitacyjnymi , stosuje się ${\ Displaystyle \ lambda =+1} ;$ jeśli napięcie powierzchniowe jest silne, to ${\ Displaystyle \ lambda = -1}$ . Ze względu na asymetrię na drodze x - i y -człony wchodzą do równania, fale opisane równaniem KP zachowują się inaczej w kierunku propagacji ( x -direction) iw kierunku poprzecznym ( y ); oscylacje w kierunku y są zwykle gładsze (mają małe odchylenia).

Równanie KP można również wykorzystać do modelowania fal w ośrodkach ferromagnetycznych , a także dwuwymiarowych impulsów fal materii w kondensatach Bosego-Einsteina .

Ograniczające zachowanie

Dla $1}$ $ll$ , typowe $styl wyświetlania \epsilon \rightarrow 0}$ ${\ Displaystyle O (1/$ x mają długość fali równą . Granica $bezdyspersyjną$ granicą . _

Jeśli założymy również, że rozwiązania są niezależne od y jako , to spełniają one również równanie nielepkiego Burgersa : ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ częściowy _ {t} u + u \ częściowy _ {x} u = 0.}

$, że$ amplituda oscylacji rozwiązania jest asymptotycznie mała w Wówczas amplituda spełnia równanie pola średniego typu Daveya-Stewartsona .

Zobacz też

Dalsza lektura

Kadomcew BB; Petwiaszwili, VI (1970). „O stabilności fal samotnych w ośrodkach słabo dyspersyjnych”. sow. fizyka Dokł . 15 : 539–541. Bibcode : 1970SPhD...15..539K . . Tłumaczenie „Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах”. Doklady Akademii Nauk SSSR . 192 : 753–756.
Kodama, Y. (2017). KP Solitons i Grassmannians: kombinatoryka i geometria dwuwymiarowych wzorów falowych . Skoczek. ISBN 978-981-10-4093-1 .
Lou, Sy; Hu, XB (1997). „Nieskończenie wiele par Laxa i ograniczeń symetrii równania KP”. Journal of Mathematical Physics . 38 (12): 6401–6427. Bibcode : 1997JMP....38.6401L . doi : 10.1063/1.532219 .
Minzoni, AA; Smyth, NF (1996). „Ewolucja rozwiązań ryczałtowych dla równania KP”. Ruch falowy . 24 (3): 291–305. doi : 10.1016/S0165-2125(96)00023-6 .
Nakamura, A. (1989). „Dwuliniowy wzór N-solitonu dla równania KP”. Dziennik Towarzystwa Fizycznego Japonii . 58 (2): 412–422. Bibcode : 1989JPSJ...58..412N . doi : 10.1143/JPSJ.58.412 .
Previato, Emma (2001) [1994], "Równanie KP" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Xiao, T.; Zeng, Y. (2004). „Uogólnione transformacje Darboux dla równania KP ze źródłami samozgodnymi”. Journal of Physics A: Matematyczny i ogólny . 37 (28): 7143. arXiv : nlin/0412070 . Bibcode : 2004JPhA...37.7143X . doi : 10.1088/0305-4470/37/28/006 . S2CID 18500877 .

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Równanie Kadomcewa – Pietwiaszwilego” . MathWorld .
Gioni Biondini i Dmitrij Pelinowski (red.). „Równanie Kadomcewa – Pietwiaszwilego” . Scholarpedia .
Bernard Deconinck. „Strona KP” . University of Washington , Wydział Matematyki Stosowanej. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2006-02-06 . Źródło 2006-02-27 .