Równanie bezdyspersyjne

Bezdyspersyjne (lub quasi-klasyczne) granice całkowalnych równań różniczkowych cząstkowych (PDE) pojawiają się w różnych problemach matematyki i fizyki i były intensywnie badane w najnowszej literaturze (patrz np. odnośniki poniżej). Zwykle pojawiają się, gdy rozważa się wolno modulowane długie fale integrowalnego dyspersyjnego systemu PDE.

Przykłady

Bezdyspersyjne równanie KP

Bezdyspersyjne równanie Kadomcewa-Petwiaszwilego (dKPE), znane również (do nieistotnej liniowej zmiany zmiennych) jako równanie Chochłowa-Zabolotskiej , ma postać

${\ Displaystyle (u_ {t} + uu_ {x}) _ {x} + u_ {yy} = 0, \ qquad (1)}$

Wynika to z komutacji

${\ Displaystyle [L_ {1}, L_ {2}] = 0. \ qquad (2)}$

następującej pary 1-parametrowych rodzin pól wektorowych

${\ Displaystyle L_ {1} = \ częściowe _ {y} + \ lambda \ częściowe _ {x} -u_ {x} \ częściowe _ {\ lambda}, \ qquad (3a)}$

${\ Displaystyle L_ {2} = \częściowe _{t}+(\lambda ^{2}+u)\częściowe _{x}+(-\lambda u_{x}+u_{y})\częściowe _{\lambda },\qquad (3b )}$

gdzie jest $widmowym$ . dKPE jest $równania$ granicą słynnego Kadomcewa – Pietwiaszwilego , powstającą przy rozważaniu długich fal tego systemu. dKPE, podobnie jak wiele innych (2+1)-wymiarowych całkowalnych systemów bezdyspersyjnych, dopuszcza uogólnienie (3+1)-wymiarowe.

Równania momentu Benneya

Bezdyspersyjny system KP jest ściśle powiązany z hierarchią momentów Benneya , z których każdy jest bezdyspersyjnym systemem całkowalnym:

${\ Displaystyle A_ {t_ {2}} ^ {n} + A_ {x} ^ {n + 1} + n A ^ { n-1}A_{x}^{0}=0.}$

Powstają one jako warunek spójności pomiędzy

${\ Displaystyle \ lambda = p + \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} A ^ {n} / p ^ {n + 1}, }$

a najprostsze dwie ewolucje w hierarchii to:

${\ Displaystyle p_ {t_ {2}} + pp_ {x} + A_ {x} ^ {0} = 0,}$

${\ Displaystyle p_ {t_ {3}} + p ^ {2} p_ {x} + (pA ^ {0} + A ^ {1}) _ {x} = 0, }$

dKP jest przywracane po ustawieniu

${\ Displaystyle u = A ^ {0},}$

$= t_ {3}$ a także identyfikując i $\ displaystyle$ }

Jeśli ustawi się tak, że policzalnie wiele momentów jest wyrażonych za pomocą tylko dwóch funkcji $A ^ {n} = hv ^ {n}}$$Displaystyle$ , klasyczne równania płytkiej wody dają wynik:

${\ Displaystyle h_ {y} + (hv) _ {x} = 0,}$

${\ Displaystyle v_ {y} + vv_ {x}+h_{x}=0.}$

Można je również wyprowadzić z rozważenia wolno modulowanych rozwiązań ciągów falowych nieliniowego równania Schrodingera . Takie „redukcje”, wyrażające momenty w terminach skończenie wielu zmiennych zależnych, są opisane równaniem Gibbonsa-Tsareva .

Bezdyspersyjne równanie Kortewega – de Vriesa

Bezdyspersyjne równanie Kortewega – de Vriesa (dKdVE) ma postać

${\ Displaystyle u_ {t_ {3}} = uu_ {x}. \ qquad (4)}$

Jest to bezdyspersyjna lub quasiklasyczna granica równania Kortewega – de Vriesa . Jest to spełnione przez $rozwiązania$ dKP. $-przepływu$ go również uzyskać z Benneya przy ustawianiu

${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} = p ^ {2} + 2A ^ {0}.}$

Bezdyspersyjne równanie Nowikowa-Wesełowa

Bezdyspersyjne równanie Novikova-Veselova jest najczęściej zapisywane jako następujące równanie dla funkcji o wartościach rzeczywistych ${\ Displaystyle v = v (x_ {1}, x_ {2}, t )}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ częściowe _ {t} v = \ częściowe _{z}(vw)+\częściowe _{\bar {z}}(v{\bar {w}}),\\&\częściowe _{\bar {z}}w=-3\częściowe _ {z}v,\end{wyrównane}}}$

gdzie stosowana jest następująca standardowa notacja analizy złożonej: ${\ Displaystyle \ częściowe _ {z} = {\ Frac {1} {2}} (\ częściowe _ {x_ {1}} -i \ częściowe _ {x_ {2}})}$ , ${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ bar {z}} = {\frac {1}{2}}(\częściowy _{x_{1}}+i\częściowy _{x_{2}})}$ . Funkcja ${$ funkcją pomocniczą, zdefiniowaną jednoznacznie od sumy $\ displaystyle v} .$ do sumy w

Wielowymiarowe całkowalne układy bezdyspersyjne

Zobacz systemy z parami styków Lax i np. oraz odniesienia do innych systemów.

Zobacz też

• Integrowalne systemy
• Nieliniowe równanie Schrödingera
• Układy nieliniowe
• Równanie Daveya-Stewartsona
• Dyspersyjne równanie różniczkowe cząstkowe
• Równanie Kadomcewa-Petwiaszwilego
• Równanie Kortewega – de Vriesa

• Kodama Y., Gibbons J. „Integracyjność bezdyspersyjnej hierarchii KP”, Nonlinear World 1, (1990).
• Zacharow VE „Bezdyspersyjna granica systemów całkowalnych w wymiarach 2 + 1”, Singular Limits of Dispersive Waves, seria NATO ASI, tom 320, 165-174, (1994).
•   Takasaki, Kanehisa; Takebe, Takashi (1995). „Hierarchie całkowalne i limit bez rozproszenia”. Recenzje w fizyce matematycznej . 07 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Bibcode : 1995RvMaP...7..743T . doi : 10.1142/S0129055X9500030X . S2CID 17351327 .
•   Konopelczenko, BG (2007). „Quasiklasyczna uogólniona reprezentacja Weierstrassa i bezdyspersyjne równanie DS”. Journal of Physics A: Matematyczne i teoretyczne . 40 (46): F995 – F1004. ar Xiv : 0709.4148 . doi : 10.1088/1751-8113/40/46/F03 . S2CID 18451590 .
•   Konopelczenko, BG; Moro, A. (2004). „Równania całkowalne w nieliniowej optyce geometrycznej”. Studia z matematyki stosowanej . 113 (4): 325–352. arXiv : nlin/0403051 . Bibcode : 2004nlin......3051K . doi : 10.1111/j.0022-2526.2004.01536.x . S2CID 17611812 .
•   Dunajski, Maciej (2008). „Interpolujący, bezdyspersyjny, całkowalny system”. Journal of Physics A: Matematyczne i teoretyczne . 41 (31): 315202. arXiv : 0804.1234 . Bibcode : 2008JPhA...41E5202D . doi : 10.1088/1751-8113/41/31/315202 . S2CID 15695718 .
• Dunajski M. „Solitony, instantony i twistory”, Oxford University Press, 2010.
•   Siergiejew, A. (2018). „Nowe całkowalne (3 + 1) -wymiarowe systemy i geometria styków”. Litery z fizyki matematycznej . 108 (2): 359–376. ar Xiv : 1401.2122 . Bibcode : 2018LMaPh.108..359S . doi : 10.1007/s11005-017-1013-4 . S2CID 119159629 .
• Takebe T. „Wykłady o bezdyspersyjnych, całkowalnych hierarchiach”, 2014,

https://rikkyo.repo.nii.ac.jp/index.php?action=pages_view_main&active_action=repository_action_common_download&item_id=9046&item_no=1&attribute_id=22&file_no=1&page_id=13&block_id=49

Linki zewnętrzne

• Ishimori_system na wiki równań dyspersyjnych