Równanie Gibbonsa – Carewa

Gibbonsa -Tsareva jest całkowalnym nieliniowym równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu . W najprostszej postaci, w dwóch wymiarach, można to zapisać w następujący sposób:

${\ Displaystyle u_ {t} u_ {xt} -u_ {x} u_ {tt} + u_ {xx} + 1 = 0 \qquad (1)}$

Równanie to powstaje w teorii bezdyspersyjnych układów całkowalnych , jako warunek, że rozwiązania równań momentu Benneya mogą być parametryzowane tylko przez skończenie wiele ich zmiennych zależnych, w tym przypadku 2 z nich. Został po raz pierwszy wprowadzony przez Johna Gibbonsa i Sergueia Tsareva w 1996 r. System ten został również wyprowadzony, jako warunek, że dwa kwadratowe hamiltoniany powinny mieć znikający nawias Poissona .

Związek z rodzinami map szczelinowych

Teorię tego równania rozwinęli następnie Gibbons i Tsarev. W $zmiennych$$niezależnych$$rozwiązań$ hierarchii Benneya, w których tylko niezależne Otrzymany system można zawsze zapisać w postaci niezmiennej Riemanna . Przyjmując charakterystyczne prędkości jako $,$$odpowiadające$ im niezmienniki Riemanna jako są one związane z momentem zerowym $displaystyle A ^ { 0}}$ przez:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe p_ {i}} {\ częściowe \ lambda _ {j}}} = - {\frac {\frac {\częściowy A^{0}}{\częściowy \lambda _{j}}}{p_{i}-p_{j}}},\qquad (2a)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe A ^ {0}} {\ częściowe \ lambda _ {i} \ częściowe \ lambda _ {j}}} = 2 {\ Frac {{\ Frac {\ częściowe A^{0}}{\częściowy \lambda _{i}}}{\frac {\częściowy A^{0}}{\lambda _{j}}}}{(p_{i}-p_{j} )^{2}}}.\qquad (2b)}$

Oba te równania obowiązują dla wszystkich par ${\ Displaystyle i \ neq j}$ .

Układ ten posiada rozwiązania sparametryzowane przez N funkcji jednej zmiennej. Klasę z nich można skonstruować w kategoriach N-parametrowych rodzin map konforemnych ze stałej domeny D, zwykle zespolonej połowy $,$ do podobnej domeny w - ${\ displaystyle \ lambda}$ - płaszczyzna, ale z N szczelinami. Każda $szczelina jest prowadzona$$;$ jednym końcem ustalonym na granicy zmiennym punktem końcowym przedobrazem jest λ $\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle p_ {i}}$ . Układ można zatem rozumieć jako warunek zgodności między zbiorem N równań Loewnera opisujących wzrost każdej szczeliny:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe p} {\ częściowe \ lambda _ {i}}} = - {\ Frac {\ Frac {\ częściowe A ^ {0}} {\ częściowe \ lambda _ {j }}}{p-p_{i}}}.\qquad (3)}$

Rozwiązanie analityczne

Elementarną rodzinę rozwiązań problemu N-wymiarowego można wyprowadzić, ustalając:

${\ Displaystyle \ lambda ^ {N + 1} = \ prod _ {i = 0} ^ {N} (p-q_ {i}),}$

gdzie rzeczywiste parametry spełniają: ${\ displaystyle q_ {i}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {N} q_ {i} = 0.}$

Wielomian $p_ {i}}$ prawej stronie ma N punktów zwrotnych , . p $p$ . Z

${\ Displaystyle A ^ {0} = {\ Frac {1} {N + 1}} \ suma \ suma _ {i> j} q_ {i }q_{j},}$

p ${\ displaystyle p_ {i}}$ i spełniają N-wymiarowe równania Gibbonsa $.$