Równanie różniczkowe Loewnera

W matematyce równanie różniczkowe Loewnera lub równanie Loewnera jest zwykłym równaniem różniczkowym odkrytym przez Charlesa Loewnera w 1923 r. w analizie zespolonej i teorii funkcji geometrycznych . Pierwotnie wprowadzony do badania mapowań szczelin ( konforemnych mapowań otwartego dysku na płaszczyznę zespoloną z usuniętą krzywą łączącą 0 z ∞), metoda Loewnera została później opracowana w 1943 r. przez rosyjskiego matematyka Pawła Parfenewicza Kufariewa (1909–1968). Każda rodzina domen na płaszczyźnie zespolonej, która rozszerza się w sposób ciągły w sensie Carathéodory'ego na całą płaszczyznę, prowadzi do jednoparametrowej rodziny odwzorowań konforemnych, zwanej łańcuchem Loewnera , jak również dwuparametrowej rodziny holomorficznych jednowartościowych odwzorowań własnych dysk jednostkowy , zwany półgrupą Loewnera . Ta półgrupa odpowiada zależnemu od czasu holomorficznemu polu wektorowemu na dysku, określonemu przez jednoparametrową rodzinę funkcji holomorficznych na dysku z dodatnią częścią rzeczywistą. Półgrupa Loewnera uogólnia pojęcie półgrupy jednowartościowej .

Równanie różniczkowe Loewnera doprowadziło do nierówności dla funkcji jednowartościowych, które odegrały ważną rolę w rozwiązaniu hipotezy Bieberbacha przez Louisa de Brangesa w 1985 r. Sam Loewner użył swoich technik w 1923 r. Do udowodnienia hipotezy dotyczącej trzeciego współczynnika. Równanie Schramma-Loewnera , stochastyczne uogólnienie równania różniczkowego Loewnera odkrytego przez Odeda Schramma pod koniec lat 90. XX wieku, zostało szeroko rozwinięte w teorii prawdopodobieństwa i konforemnej teorii pola .

Podrzędne funkcje jednowartościowe

Niech $i$ będą holomorficznymi jednowartościowymi funkcjami $\$ dysku jednostkowym $D}$ displaystyle , ${\ Displaystyle | z| <1}$ , z ${\ Displaystyle f (0) = 0 = g (0)}$ .

$}$$w$ mówi się, że jest podporządkowany sol ${\ displaystyle g} wtedy i tylko wtedy$ gdy istnieje odwzorowanie jednowartościowe z ${\ displaystyle \ varphi}$ sobie, ustalając takie sol ${\ displaystyle 0}$ To

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (z) = g (\ varphi (z))}}$

dla ${\ displaystyle | z| <1}$ .

Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia takiego odwzorowania jest to, że ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle f (D) \ subseteq g (D).}$

Konieczność jest natychmiastowa.

I odwrotnie, musi być zdefiniowany przez. ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi (z) = g ^ {- 1} (f (z)).}}$

$Displaystyle$ samoodwzorowaniem z $\ varphi (0) = 0}$ .

Skoro taka mapa spełnia $varphi '(0) |\ równoważnik 1}$${\ displaystyle | z| <r}$ i bierze każdy dysk ${\ displaystyle D_ {r}}$ | z ${\ displaystyle 0 <r <1}$ w sobie, wynika z tego, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {| f ^ {\ pierwsza} (0) | \ równoważnik | g ^ {\ pierwsza} (0) |}}$

I

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (D_ {r}) \ subseteq g (D_ {r}).}}$

łańcuch Loewnera

≤ ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik t \ równoważnik \ infty}$ niech $\ Displaystyle U (t)}$ będzie rodziną otwartych połączonych i po prostu połączonych podzbiorów z ${\ Displaystyle \ mathbb {C} }$ zawierające ${\ displaystyle 0}$ takie, że

${\ Displaystyle U (s) \ subsetneq U (t)}$

jeśli ${\ displaystyle s <t}$ ,

${\ Displaystyle U (t) = \ bigcup _ {s <t} U (s)}$

I

${\ Displaystyle U (\ infty) = \ mathbb {C}.}$

Zatem jeśli ${\ Displaystyle s_ {n} \ uparrow t}$ ,

${\ Displaystyle U (s_ {n}) \ strzałka w prawo U (t)}$

w sensie twierdzenia o jądrze Carathéodory'ego .

Jeśli $oznacza$ dysk jednostkowy w $to$ twierdzenie implikuje, że unikalne jednowartościowe mapy $\ displaystyle f_ {t} (z)}$

${\ Displaystyle f_ {t} (D) = U (t), \, \, \, f_ {t }(0)=0,\,\,\,\częściowe _{z}f_{t}(0)=1}$

podane przez twierdzenie o odwzorowaniu Riemanna są jednostajnie ciągłe na zwartych podzbiorach ${\ displaystyle [0, \ infty) \ razy D}$ .

$_$ funkcja ,

Można przyjąć, że przez reparametryzację

${\ displaystyle f_ {t} ^ {\ pierwsza} (0) = e ^ {t}.}$

Stąd

${\ Displaystyle f_ {t} (z) = e ^ {t} z + a_ {2} (t) z ^ {2} + \cdots}$

Jednowartościowe $odwzorowania$ _ _ _

Twierdzenie Koebe o zniekształceniu pokazuje, że znajomość łańcucha jest równoważna właściwościom zbiorów otwartych ${\ displaystyle U (t)}$ .

półgrupa Loewnera

Jeśli jest łańcuchem Loewnera, to ${\ Displaystyle f_ {t} (z)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {s} (D) \ subsetneq f_ {t} (D)}}$

dla ${\ displaystyle s <t}$ , aby istniało unikalne jednowartościowe samoodwzorowanie dysku ${\ Displaystyle \ varphi _ {s, t} (z)}$ naprawianie ${\ displaystyle 0 }$ takie, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {s} (z) = f_ {t} (\ varphi _ {s, t} (z)).}}$

Dzięki wyjątkowości odwzorowania mają następującą właściwość półgrupy: ${\ displaystyle \ varphi _ {s, t}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi _ {t, r} \ circ \ varphi _ {s, t} = \ varphi _ {s, r}}}$

dla ${\ Displaystyle s \ równoważnik t \ równoważnik r}$ .

Stanowią półgrupę Loewnera .

Samoodwzorowania zależą w sposób ciągły od $displaystyle$ spełniają s $s}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi _ {t, t} (z) = z.}}$

Równanie różniczkowe Loewnera

Równanie różniczkowe Loewnera można wyprowadzić albo dla półgrupy Loewnera, albo równoważnie dla łańcucha Loewnera.

Dla półgrupy niech

${\ Displaystyle \ Displaystyle {w_ {s} (z) = \ częściowe _ {t} \ varphi _ {s, t} (z) | _ {t = s}}}$

Następnie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {w_ {s} (z) = -zp_ {s} (z)}}$

z

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ Re \, p_ {s} (z)> 0}}$

dla ${\ displaystyle | z| <1}$ .

wtedy ${\ Displaystyle w (t) = \ varphi _ {s, t} (z)}$ spełnia równanie różniczkowe zwyczajne

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{dw \ nad dt} = -wp_ {t} (w)}}$

z warunkiem początkowym ${\ Displaystyle w (s) = z}$ .

Aby uzyskać równanie różniczkowe spełnione przez łańcuch Loewnera, zauważ, że ${\ Displaystyle f_ {t} (z)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {t} (z) = f_ {s} (\ varphi _ {s, t} (z)}}}$

tak, że spełnia równanie różniczkowe ${\ Displaystyle f_ {t} (z)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ częściowy _ {t} f_ {t} (z) = zp_ {t} (z) \ częściowy _{z}f_{t}(z)}}$

z warunkiem początkowym

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {t} (z) |_ {t = 0} = f_ {0} (z).}}$

Picarda -Lindelöfa dla równań różniczkowych zwyczajnych gwarantuje $,$ że równania te można rozwiązać i że rozwiązania są holomorficzne .

Łańcuch Loewnera można odzyskać z półgrupy Loewnera, przechodząc do granicy:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {s} (z) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} e ^ {t} \ phi _ {s, t} (z).}}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {s, t} (z)}$$,$$pod$$($ samoodwzorowanie , ustalając , jest skonstruowanie półgrupy Loewnera takie, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi _ {0,1} (z) = \ psi (z).}}$

Podobnie biorąc pod uwagę jednowartościową funkcję na ${\ displaystyle$$D}$ z ${\ Displaystyle g (0) = 0}$ tak że zawiera ${\ displaystyle g (D)}$ zamknięty dysk jednostkowy, istnieje łańcuch Loewnera taki, że ${\ displaystyle f_ {t} (z)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {0} (z) = z, \, \, \, f_ {1} (z) = g (z).}}$

$Wyniki$ tego typu są natychmiastowe, $ciągły$$do$ się w ​​. $_$ następują zastępując $odwzorowania$ a

Odwzorowania szczelin

Funkcje holomorficzne $\ Displaystyle p (0) = 1$ re $\ displaystyle D}$$z$ dodatnią częścią rzeczywistą i znormalizowane tak, że opisane przez reprezentację Herglotza p twierdzenie :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {p (z) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ),}}$

gdzie jest $kole$ . Przyjęcie miary punktowej wyróżnia funkcje

${\ Displaystyle \ Displaystyle {p_ {t} (z) = {1 + \ kappa (t) z \ ponad 1- \ kappa ( t)z}}}$

z ${\ Displaystyle | \ kappa (t) | = 1}$ , które jako pierwsze rozważył Loewner (1923) .

Nierówności dla funkcji jednowartościowych na dysku jednostkowym można udowodnić, używając gęstości dla jednostajnej zbieżności na zwartych podzbiorach odwzorowań szczelin . Są to konforemne mapy dysku jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z łukiem Jordana łączącym skończony punkt z ∞ pominiętym. Gęstość wynika z zastosowania twierdzenia o jądrze Carathéodory'ego . $funkcja$ rzeczywistości każda jednowartościowa przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {g (z) = f (rz) / r}}$

które przenoszą okrąg jednostkowy na krzywą analityczną. Punkt na tej krzywej można połączyć z nieskończonością za pomocą łuku Jordana. Regiony otrzymane przez pominięcie małego odcinka krzywej analitycznej po jednej stronie wybranego punktu zbiegają się do ${\ displaystyle g (D)}$ , więc odpowiednie mapy jednowartościowe na te regiony zbiegają się do $) {\ displaystyle g (D)}$${\ displaystyle g}$ równomiernie na zestawach kompaktowych.

$Aby$$zastosować$ równanie różniczkowe Loewnera do funkcji szczeliny $można$ od punktu do sparametryzować $_$ _ $_$ _ $_$ _ $_$ _ ${\ Displaystyle c ([t, \ infty)}}$ ma postać

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {t} (z) = e ^ {t} (z +b_{2}(t)z^{2}+b_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}$

z ciągłym ${\ Displaystyle b_ {n}}$ . W szczególności

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {0} (z) = f (z).}}$

dla ${\ displaystyle s \ równoważnik t}$ , niech

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi _ {s, t} (z) = f_ {t} ^ {-1} \ circ f_ {s} (z) = e ^ {st} (z + a_ {2} ( s,t)z^{2}+a_{3}(s,t)z^{3}+\cdots )}}$

z ciągłym $a_ {n}}$ .

Daje to łańcuch Loewnera i półgrupę Loewnera z

${\ Displaystyle \ Displaystyle {p_ {t} (z) = {1 + \ kappa (t) z \ ponad 1- \ kappa ( t)z}}}$

gdzie $mapą$ ciągłą $_$ _

Aby określić $zwróć$ uwagę, że $odwzorowuje$ dysk jednostkowy na dysk jednostkowy z usuniętym łukiem Jordana od punktu Punkt, w którym dotyka granicy, jest niezależny od $displaystyle s}$$displaystyle s$ od $\$ { \ koło jednostkowe. ${\ Displaystyle \ kappa (t)}$ jest złożonym koniugatem (lub odwrotnością) ${\ Displaystyle \ lambda (t)}$ :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ kappa (t) = \ lambda (t) ^ {- 1}.}}$

Równoważnie, na mocy $}$ Carathéodory'ego dopuszcza ciągłe rozszerzenie zamkniętego dysku jednostkowego i , czasami nazywany funkcją prowadzącą , jest określony przez $\ Displaystyle \ lambda (t)$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {t} (\ lambda (t)) = c (t).}}$

Nie każda funkcja ciągła $ma$$ciągłą$ odwzorowania szczeliny, ale Kufarev wykazał, że jest to prawdą, gdy pochodną.

Zastosowanie do hipotezy Bieberbacha

Loewner (1923) użył swojego równania różniczkowego do mapowania szczelin, aby udowodnić hipotezę Bieberbacha

${\ Displaystyle \ Displaystyle {| a_ {3} | \ równoważnik 3}}$

dla trzeciego współczynnika funkcji jednowartościowej

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} +\cdots }}$

$jest$ , można założyć, że .

Następnie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ varphi _ {0, t} (z) = e ^{-t}(z+a_{2}(t)z^{2}+a_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}$

z ciągłym $a_ {n}}$ . Satysfakcjonują

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a_ {n} (0) = 0, \, \, a_ {n} (\ infty) = a_ {n}.}}$

Jeśli

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ alfa (t) = e ^ {- t} \ kappa (t)}}$

wynika z równania różniczkowego Loewnera

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ kropka {a}} _ {2} = - 2 \ alfa}}$

I

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ kropka {a}} _ {3} = -2 \ alfa ^ {2} -4 \ alfa \, a_ {2}.}}$

Więc

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a_ {2} = - 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alfa (t) \, dt}}$

co natychmiast implikuje nierówność Bieberbacha

${\ Displaystyle \ Displaystyle {| a_ {2} | \ równoważnik 2.}}$

podobnie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a_ {3} = - 2 \ int _ {0} ^ {\ infty }\alpha (t)^{2}\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt\right)^{2}}}$

Ponieważ $_$ i ${\ Displaystyle | \ kappa (t) | = 1}$ ,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {| a_ {3} | = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} | \ Re \ alfa (t) ^ {2} | \, dt + 4 \ lewo (\ int _ { 0}^{\infty }\Re \alpha (t)\,dt\right)^{2}}\leq 2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2 }|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\right)\left(\int _{0}^{\infty }e^{ t}(\Re \alpha (t))^{2}\,dt\right)=1+4\int _{0}^{\infty }(e^{-t}-e^{-2t} )(\Re \kappa (t))^{2}\,dt\leq 3,}$

używając nierówności Cauchy'ego-Schwarza .

Notatki

•   Duren, PL (1983), Funkcje jednowartościowe , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Kufarev, PP (1943), „O jednoparametrowych rodzinach funkcji analitycznych”, Mat. Sbornik , 13 , s. 87–118
•   Lawler, GF (2005), Konformalnie niezmienne procesy w płaszczyźnie , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 114, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-3677-3
• Loewner, C. (1923), "Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, I", Math. Ann. , 89 : 103–121, doi : 10.1007/BF01448091 , hdl : 10338.dmlcz/125927
• Pommerenke, C. (1975), Funkcje jednowartościowe, z rozdziałem o różniczkach kwadratowych autorstwa Gerda Jensena , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, tom. 15, Vandenhoeck & Ruprecht