Dodatnia funkcja harmoniczna

W matematyce dodatnia funkcja harmoniczna na dysku jednostkowym w liczbach zespolonych jest scharakteryzowana jako całka Poissona skończonej dodatniej miary na okręgu. Wynik ten, twierdzenie o reprezentacji Herglotza-Riesza , został niezależnie udowodniony przez Gustava Herglotza i Frigyesa Riesza w 1911 r. Można go użyć do podania powiązanego wzoru i charakterystyki dowolnej funkcji holomorficznej na dysku jednostkowym z dodatnią częścią rzeczywistą. Takie funkcje scharakteryzował już w 1907 roku Constantin Carathéodory pod względem pozytywnej określoności ich współczynników Taylora .

Twierdzenie Herglotza-Riesza o reprezentacji funkcji harmonicznych

Dodatnia funkcja f na dysku jednostkowym z f (0) = 1 jest harmoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje miara prawdopodobieństwa μ na okręgu jednostkowym taka, że

${\ Displaystyle f (re ^ {i \ theta}) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1-r ^ {2} \ ponad 1-2r \ cos (\ theta - \ varphi) + r ^{2}}\,d\mu (\varphi).}$

Wzór jasno definiuje dodatnią funkcję harmoniczną z f (0) = 1.

I odwrotnie, jeśli f jest dodatnie i harmoniczne, a r _n wzrasta do 1, zdefiniuj

${\ displaystyle f_ {n} (z) = f (r_ {n} z). \,}$

Następnie

${\ Displaystyle f_ {n} (re ^ {i \ teta}) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi }{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}\,f_{n}(\varphi )\,d\phi =\int _ {0}^{2\pi }{1-r^{2} \ponad 1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}d\mu _{n}(\varphi )}$

Gdzie

$\ Displaystyle d \ mu _ {n} (\ varphi) = {1 \ ponad 2 \ pi} f (r_ {n} e ^{i\varphi})\,d\varphi}$

jest miarą prawdopodobieństwa.

Na podstawie argumentu zwartości (lub równoważnie w tym przypadku twierdzenia Helly'ego o wyborze całek Stieltjesa ) podciąg tych miar prawdopodobieństwa ma słabą granicę, która jest również miarą prawdopodobieństwa μ .

Ponieważ r _n wzrasta do 1, tak że f _n ( z ) dąży do f ( z ), następuje wzór Herglotza.

Twierdzenie Herglotza-Riesza o reprezentacji dla funkcji holomorficznych

Funkcja holomorficzna f na dysku jednostkowym z f (0) = 1 ma dodatnią część rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje miara prawdopodobieństwa μ na okręgu jednostkowym taka, że

${\ Displaystyle f (z) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1 + e ^ {-i \ teta} z \ ponad 1-e ^ {-i \ teta} z} \, d \ mu (\theta).}$

Wynika to z poprzedniego twierdzenia, ponieważ:

• jądro Poissona jest częścią rzeczywistą powyższej całki
• część rzeczywista funkcji holomorficznej jest harmoniczna i określa funkcję holomorficzną aż do dodania skalara
• powyższy wzór definiuje funkcję holomorficzną, której część rzeczywista jest dana przez poprzednie twierdzenie

Kryterium dodatniości Carathéodory'ego dla funkcji holomorficznych

Pozwalać

${\ Displaystyle f (z) = 1 + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + \ cdots}$

będzie funkcją holomorficzną na dysku jednostkowym. Wtedy f ( z ) ma dodatnią część rzeczywistą na dysku wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ suma _ {m} \ suma _ {n} a_ {mn} \ lambda _ {m} {\ overline {\ lambda _ {n}} }\geq 0}$

₀ dla dowolnych liczb zespolonych λ , λ ₁ , ..., λ _N , gdzie

${\ Displaystyle a_ {0} = 2, \, \, \ a_ {-m} = {\ overline {a_ {m}}}}$

dla m > 0.

W rzeczywistości z reprezentacji Herglotza dla n > 0

${\ Displaystyle a_ {n} = 2 \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- w \ teta} \, d \ mu (\ teta).}$

Stąd

${\ Displaystyle \ suma _ {m} \ suma _ {n} a_ {mn} \ lambda _ {m} {\ overline {\ lambda _ {n}}} = \ int _ {0}^{2\pi }\left|\sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right|^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.}$

I odwrotnie, ustawienie λ _n = z ⁿ ,

${\ Displaystyle \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {mn} \ lambda _ {m} {\ overline {\ lambda _ {n}} }=2(1-|z|^{2})\,\Re \,f(z).}$

Zobacz też

• Twierdzenie Bochnera

•   Carathéodory, C. (1907), "Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen" , Math. Ann. , 64 : 95–115, doi : 10.1007/bf01449883 , S2CID 116695038
•   Duren, PL (1983), Funkcje jednowartościowe , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Herglotz, G. (1911), „Über Potenzreihen mit positivem, reellen Teil im Einheitskreis”, Ber. Verh. Sachsa. Akad. Wiss. Lipsk , 63 : 501–511
• Pommerenke, C. (1975), Funkcje jednowartościowe, z rozdziałem o różniczkach kwadratowych autorstwa Gerda Jensena , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, tom. 15, Vandenhoeck & Ruprecht
• Riesz, F. (1911), "Sur sures systèmes singuliers d'équations intégrale", Ann. nauka Ek. Norma. Super. , 28 : 33–62, doi : 10.24033/asens.633