Twierdzenie Helly'ego o wyborze

W matematyce twierdzenie Helly'ego o wyborze (zwane także zasadą wyboru Helly'ego ) stwierdza, że ​​jednostajnie ograniczona sekwencja monotonicznych funkcji rzeczywistych dopuszcza zbieżny podsekwencję . Innymi słowy, jest to twierdzenie o zwartości sekwencyjnej dla przestrzeni jednostajnie ograniczonych funkcji monotonicznych. Jej nazwa pochodzi od austriackiego matematyka Eduarda Helly'ego . Bardziej ogólna wersja twierdzenia stwierdza zwartość przestrzeni BV _loc funkcji lokalnie ograniczonej zmienności całkowitej które są jednostajnie ograniczone w punkcie.

Twierdzenie ma zastosowanie w całej analizie matematycznej . W teorii prawdopodobieństwa wynik implikuje zwartość wąskiej rodziny miar .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech ( f _n ) _{n ∈ N} będzie ciągiem funkcji rosnących odwzorowujących prostą rzeczywistą R na samą siebie i załóżmy, że jest ona jednostajnie ograniczona: istnieją a,b ∈ R takie, że a ≤ f _n ≤ b dla każdego n ∈ N . Wtedy ciąg ( f _n ) _{n ∈ N} dopuszcza punktowo zbieżny podciąg.

Uogólnienie na BV _loc

Niech U będzie podzbiorem otwartym prostej rzeczywistej i niech f _n : U → R , n ∈ N , będzie ciągiem funkcji. Przypuszczam, że

• ( f _n ) ma jednostajnie ograniczoną wariację całkowitą na dowolnym W , które jest zwięźle osadzone w U . To znaczy dla wszystkich zbiorów W ⊆ U ze zwartym domknięciem W̄ ⊆ U ,

${\ Displaystyle \ sup _ {n \ w \ mathbf {N}} \ lewo (\ lewo \ | f_ {n} \ prawo \ | _ {L ^ {1} ( W)}+\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\right)< +\infty ,}$

gdzie pochodna jest brana w sensie rozkładów temperowanych ;

• i ( f _n ) jest jednostajnie ograniczona w punkcie. To znaczy dla pewnego t ∈ U , { fa _n ( t ) | n ∈ N } ⊆ R jest zbiorem ograniczonym .

Wtedy istnieje podciąg f _{n k} , k ∈ N , z f _n i funkcja f : U → R , lokalnie o ograniczonej zmienności , taka że

• f _{n k zbiega się} punktowo do f ;
• a f _{n k} zbiega się do f lokalnie w L ¹ (patrz funkcja lokalnie całkowalna ), tj. dla wszystkich W zwięźle osadzonych w U ,

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ do \ infty} \ int _ {W} {\ duży |} f_ {n_ {k}} (x) -f (x) {\ duży |} \, \ operatorname {d } x=0;}$

• i dla W zwięźle osadzonego w U ,

${\ Displaystyle \ lewo \ | {\ Frac {\ operatorname {d} f} {\ operatorname {d} t}} \ prawo \ | _ {L ^ {1} (W)} \ równoważnik \ liminf _ {k \ do \infty }\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n_{k}}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}. }$

Dalsze uogólnienia

Istnieje wiele uogólnień i udoskonaleń twierdzenia Helly'ego. Następujące twierdzenie, dla funkcji BV przyjmujących wartości w przestrzeniach Banacha , pochodzi od Barbu i Precupanu:

Niech X będzie zwrotną , rozdzielną przestrzenią Hilberta i niech E będzie zamkniętym, wypukłym podzbiorem X . Niech Δ : X → [0, +∞) będzie dodatnio określone i jednorodne stopnia pierwszego . Załóżmy, że z _n jest ciągiem jednostajnie ograniczonym w BV([0, T ]; X ) gdzie z _n ( t ) ∈ E dla wszystkich n ∈ N i t ∈ [0, T ]. Wtedy istnieje podciąg z _{n k} i funkcje δ , z ∈ BV([0, T ]; X ) takie, że

• dla wszystkich t ∈ [0, T ],

${\ Displaystyle \ int _ {[0, t}} \ Delta (\ operatorname {d} z_ {n_ {k}}) \ do \ delta (t);} i dla wszystkich t ∈ [$

• and, for all t ∈ [0, T],

${\ Displaystyle z_ {n_ {k}} (t) \ rightharpoonup z (t) \ w mi;} i$

• dla wszystkich 0 ≤ s < t ≤ T ,

${\ Displaystyle \ int _ {[s, t}} \ Delta (\ operatorname {d} z) \ równoważnik \ delta (t) - \ delta (s).}$

Zobacz też

• Ograniczona zmienność
• Twierdzenie o wyborze Fraňkovej-Helly'ego
• Totalna odmiana

•   Rudin, W. (1976). Zasady analizy matematycznej . Seria międzynarodowa z matematyki czystej i stosowanej (wyd. Trzecie). Nowy Jork: McGraw-Hill. 167. ISBN 978-0070542358 .

•   Barbu, V.; Precupanu, Th. (1986). Wypukłość i optymalizacja w przestrzeniach Banacha . Matematyka i jej zastosowania (seria wschodnioeuropejska). Tom. 10 (drugie wydanie rumuńskie). Dordrecht: D. Reidel Publishing Co. xviii + 397. ISBN 90-277-1761-3 . MR 860772