Jednolita ograniczoność

W matematyce jednostajnie ograniczona rodzina funkcji to rodzina ograniczonych funkcji , z których wszystkie mogą być ograniczone przez tę samą stałą. Ta stała jest większa lub równa wartości bezwzględnej dowolnej wartości dowolnej funkcji w rodzinie.

Definicja

Linia rzeczywista i płaszczyzna zespolona

Pozwalać

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {f_ {i}: X \ do K, i \ w ja \}}

będzie rodziną funkcji $gdzie$ przez , jest dowolnym zbiorem i $liczb$ zbiorem $.$ lub zespolonych Nazywamy jednostajnie ograniczoną, $jeśli$ istnieje liczba rzeczywista taka, że $\ displaystyle M}$

{\ Displaystyle | f_ {i} (x) | \ równoważnik M \ qquad \ dla wszystkich i \ w ja \ quad \ dla wszystkich x \ w X.}

Przestrzeń metryczna

Ogólnie niech będzie przestrzenią metryczną z metryką $\ displaystyle Y}$ a następnie zbiorem ${$

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {f_ {i}: X \ do Y, i \ w ja \}}

nazywa się jednostajnie ograniczonym , jeśli istnieje element ${ \$ Y $displaystyle$ liczba rzeczywista $a}$ , że za

{\ Displaystyle d (f_ {i} (x), a) \ równoważnik M \ qquad \ forall i \ in ja \ quad \ forall x \ in X.}

Przykłady

Każdy jednostajnie zbieżny ciąg funkcji ograniczonych jest jednostajnie ograniczony.
Rodzina funkcji ${\ Displaystyle f_ {n} (x) = \ sin nx}$ zdefiniowana dla rzeczywistego ${\ displaystyle x}$ z podróżowaniem przez liczby całkowite , ${\ displaystyle n}$ jest jednostajnie ograniczony przez 1.
Rodzina pochodnych powyższej $_$ _ _ _ Każdy $_$ przez ${\ Displaystyle | n |,}$ , ale nie ma liczby rzeczywistej $że$ , ${\ Displaystyle | n | \ równoważnik M}$ dla wszystkich liczb całkowitych ${\ Displaystyle n.}$

Ma, Tsoy-Wo (2002). Przestrzenie Banacha-Hilberta, miary wektorowe, reprezentacje grupowe . Świat naukowy. P. 620 pp. ISBN 981-238-038-8 .