Funkcja jednowartościowa

W matematyce , w dziale analizy zespolonej , funkcja holomorficzna na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej nazywana jest jednowartościową, jeśli jest iniekcyjna .

Przykłady

Funkcja ${\ Displaystyle f \ dwukropek z \ mapsto 2z + z ^ {2}}$ jest jednowartościowa na otwartym dysku jednostkowym, ponieważ ${\ displaystyle f (z)=f(w)}$ implikuje, że ${\ Displaystyle f (z) -f (w) = (zw) (z + w + 2) = 0}$ . Ponieważ drugi czynnik jest niezerowy na dysku jednostki otwartej, $.$ być iniekcyjny

Podstawowe właściwości

Można udowodnić, że jeśli i są dwoma otwartymi połączonymi zbiorami na płaszczyźnie zespolonej i ${\ displaystyle$ $}$

{\ Displaystyle f: G \ do \ Omega}

jest funkcją jednowartościową taką, że (czyli jest surjektywną ), wtedy pochodna $( sol ) = Ω$ nie wynosi zero $)$ $Displaystyle f (G$ ${\ displaystyle f}$ jest odwracalna , a jej odwrotność jest również holomorficzna. $}$ } Więcej, jeden ma zasadę łańcucha

{\ Displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = {\ Frac {1} {f' (z) }}}

dla $_$ w ${\ Displaystyle G.}$

Porównanie z funkcjami rzeczywistymi

W przypadku rzeczywistych funkcji analitycznych , w przeciwieństwie do złożonych funkcji analitycznych (tj. holomorficznych), stwierdzenia te nie są spełnione. Rozważmy na przykład funkcję

{\ Displaystyle f: (-1,1) \ do (-1,1) \,}

dane przez ƒ ( x ) = x ³ . Ta funkcja jest wyraźnie iniekcyjna, ale jej pochodna wynosi 0 przy x = 0, a jej odwrotność nie jest analityczna ani nawet różniczkowalna na całym przedziale (−1, 1). W konsekwencji, jeśli powiększymy dziedzinę do otwartego podzbioru G płaszczyzny zespolonej, musi ona nie być iniekcyjna; i tak jest, ponieważ (na przykład) f (εω) = f (ε) (gdzie ω jest pierwotnym pierwiastkiem sześciennym z jedności , a ε jest dodatnią liczbą rzeczywistą mniejszą niż promień G jako sąsiedztwo 0).

Zobacz też

Notatka

Conway, John B. (1995). „Równoważność konformalna dla po prostu połączonych regionów” . Funkcje jednej zmiennej zespolonej II . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 159. doi : 10.1007/978-1-4612-0817-4 . ISBN 978-1-4612-6911-3 .
„Funkcje uniwalentne” . Źródła w rozwoju matematyki . 2011. s. 907–928. doi : 10.1017/CBO9780511844195.041 . ISBN 9780521114707 .
Düren, PL (1983). Funkcje jednowartościowe . Springer Nowy Jork, NY. P. XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0 .
Gong, Sheng (1998). Odwzorowania wypukłe i gwiaździste w kilku zmiennych złożonych . doi : 10.1007/978-94-011-5206-8 . ISBN 978-94-010-6191-9 .
Jarnicki, Marek; Pflug, Peter (2006). „Uwaga na temat odrębnej holomorfii” . Studia Mathematica . 174 (3): 309–317. doi : 10.4064/SM174-3-5 . S2CID 15660985 .
Nehari, Zeew (1975). Odwzorowanie konforemne . Nowy Jork: Dover Publications. P. 146. ISBN 0-486-61137-X . OCLC 1504503 .

Ten artykuł zawiera materiał z univalent analitycznej funkcji na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .