Twierdzenie o jądrze Carathéodory'ego

W matematyce twierdzenie o jądrze Carathéodory'ego jest wynikiem analizy zespolonej i teorii funkcji geometrycznych ustanowionej przez greckiego matematyka Constantina Carathéodory'ego w 1912 roku . i ustalenie 0, można sformułować czysto geometrycznie w kategoriach ograniczającego zachowania obrazów funkcji. Twierdzenie o jądrze ma szerokie zastosowanie w teorii funkcji jednowartościowych, aw szczególności zapewnia geometryczną podstawę równania różniczkowego Loewnera .

Jądro ciągu zbiorów otwartych

Niech U _n będzie ciągiem zbiorów otwartych w C zawierającym 0. Niech V _n będzie spójnym składnikiem wnętrza U _n ∩ U _{n + 1} ∩ ... zawierającym 0. Jądrem ciągu jest zdefiniowana suma z V _n , pod warunkiem, że nie jest pusta; w przeciwnym razie jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle \ {0 \}}$ . Zatem jądro jest albo połączonym zbiorem otwartym zawierającym 0, albo zbiorem jednopunktowym. ${\ displaystyle \ {0 \}}$ . Mówimy, że sekwencja jest zbieżna do jądra, jeśli każda podsekwencja ma to samo jądro.

Przykłady

• Jeśli U _n jest rosnącą sekwencją spójnych zbiorów otwartych zawierającą 0, to jądro jest tylko sumą.
• Jeśli U _n jest malejącym ciągiem spójnych zbiorów otwartych zawierającym 0, to jeśli 0 jest punktem wewnętrznym U ₁ ∩ U ₂ ∩ ..., ciąg jest zbieżny do składowej wnętrza zawierającej 0. W przeciwnym razie, jeśli 0 jest nie jest to punkt wewnętrzny, sekwencja zbiega się do ${\ displaystyle \ {0 \}}$ .

Twierdzenie jądra

Niech f _n ( z ) będzie ciągiem holomorficznych funkcji jednowartościowych na dysku jednostkowym D , znormalizowanym tak, że f _n (0) = 0 i f ' _n (0) > 0. Wtedy f _n zbiega się jednostajnie na kompaktach w D do a funkcja f wtedy i tylko wtedy, gdy U _n = f _n ( D ) jest zbieżna do swojego jądra i tym jądrem nie jest C . Jeśli jądro jest $0.$ f = W przeciwnym razie jądro jest spójnym zbiorem otwartym U , f jest jednowartościowe na D i f ( re ) = U .

Dowód

Korzystając z twierdzenia Hurwitza i _twierdzenia Montela , łatwo sprawdzić, że jeśli f _n dąży jednostajnie po kompaktie do f , to każdy podciąg Un ma jądro U = f ( D ).

I odwrotnie, jeśli U _n zbiega się do jądra nierównego C , to zgodnie z twierdzeniem ćwiartkowym Koebe U _n zawiera dysk o promieniu f ' _n (0) / 4 ze środkiem 0. Założenie, że U ≠ C implikuje, że promienie te są jednostajnie zobowiązany. Z twierdzenia Koebe o zniekształceniu

${\ Displaystyle | f_ {n} (z) | \ równoważnik f_ {n} ^ {\ pierwsza} (0) {| z | \over (1-|z|)^{2}}.}$

Stąd ciąg f _n jest jednostajnie ograniczony na zbiorach zwartych. Jeśli dwa podciągi zbiegają się do granic holomorficznych f i g , to f (0) = g (0) i f '(0), g' (0) ≥ 0. Z pierwszej części i założeń wynika, że ​​f ( D ) = sol ( re ). Jedyność w twierdzeniu o odwzorowaniu Riemanna wymusza f = g , więc oryginalny ciąg f _n jest jednostajnie zbieżny na zbiorach zwartych.

• Carathéodory, C. (1912), "Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten" (PDF) , Math. Ann. , 72 : 107–144, doi : 10.1007/bf01456892
•   Duren, PL (1983), Funkcje jednowartościowe , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Pommerenke, C. (1975), Funkcje jednowartościowe, z rozdziałem o różniczkach kwadratowych autorstwa Gerda Jensena , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, tom. 15, Vandenhoeck & Ruprecht