Twierdzenie Hurwitza (złożona analiza)

Ten artykuł dotyczy twierdzenia w analizie zespolonej. W przypadku innych zastosowań zobacz twierdzenie Hurwitza .

W matematyce , aw szczególności w dziedzinie analizy zespolonej , twierdzenie Hurwitza jest twierdzeniem łączącym zera ciągu holomorficznych , zwartych lokalnie jednostajnie zbieżnych funkcji z twierdzeniem odpowiadającej im granicy. Twierdzenie nosi imię Adolfa Hurwitza .

Oświadczenie

₀ Niech { f _k } będzie ciągiem funkcji holomorficznych na spójnym zbiorze otwartym G , które zbiegają się jednostajnie na zwartych podzbiorach G do funkcji holomorficznej f , która nie jest stale równa zeru na G . Jeśli f ma zero rzędu m w z , to dla każdego wystarczająco małego ρ > 0 i wystarczająco dużego k ∈ N (w zależności od ρ ), f _{k 00} ma dokładnie m zer na dysku zdefiniowanym przez | z - z | < ρ , w tym krotność . Ponadto te zera zbiegają się do z jako k → ∞.

Uwagi

Twierdzenie nie gwarantuje, że wynik będzie odpowiedni dla dowolnych dysków. Rzeczywiście, jeśli ktoś wybierze dysk taki, że f ma zera na swojej granicy , twierdzenie zawodzi. Wyraźnym przykładem jest rozważenie dysku jednostkowego D i sekwencji zdefiniowanej przez

${\ Displaystyle f_ {n} (z) = z-1 + {\ Frac {1} {n}}, \ qquad z \ w \ mathbb { C} }$

która zbiega się jednostajnie do f ( z ) = z - 1. Funkcja f ( z ) nie zawiera zer w D ; jednak każde f _n ma dokładnie jedno zero na dysku odpowiadające rzeczywistej wartości 1 − (1/ n ).

Aplikacje

Twierdzenie Hurwitza jest używane w dowodzie twierdzenia Riemanna o odwzorowaniu , a także ma następujące dwa wnioski jako bezpośrednią konsekwencję:

• Niech G będzie spójnym, otwartym zbiorem, a { f _n } ciągiem funkcji holomorficznych, które zbiegają się jednostajnie na zwartych podzbiorach G do funkcji holomorficznej f . Jeśli każde fn _. jest niezerowe wszędzie w G , to f jest albo identycznie zerem, albo też nigdzie nie jest zerem
• Jeśli { f _n } jest ciągiem jednowartościowych funkcji na spójnym zbiorze otwartym G , które zbiegają się jednostajnie na zwartych podzbiorach G do funkcji holomorficznej f , to albo f jest jednowartościowe, albo stałe.

Dowód

₀₀ Niech f będzie funkcją analityczną na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej z zerem rzędu m w z i załóżmy, że { f _n } jest ciągiem funkcji zbiegających się jednostajnie na podzbiorach zwartych do f . Ustal pewne ρ > 0 takie, że f ( z ) ≠ 0 w 0 < | z - z | ≤ρ. Wybierz δ takie, że | fa ( z )| > δ dla z na okręgu | z- _ ₀ z | = ρ . Ponieważ f _k ​​( z ) jest jednostajnie zbieżne na wybranym przez nas dysku, możemy znaleźć N takie, że | fa _k ( z ) | ≥ δ /2 dla każdego k ≥ N i każdego z na okręgu, zapewniając, że iloraz f _k ′( z )/ f _k ( z ) jest dobrze określony dla wszystkich z na okręgu | z- _ ₀ z | = ρ . Z twierdzenia Weierstrassa mamy równomiernie na dysku, a zatem mamy kolejną jednostajną zbieżność: ${\ displaystyle f_ {k} '\ do f' }$

${\ Displaystyle {\ Frac {f_ {k} '(z)} {f_ {k} (z)}} \ do {\ Frac {f' (z)} {f (z)}}.}$

Oznaczając liczbę zer f _k ( z ) na dysku przez N _k , możemy zastosować zasadę argumentu , aby znaleźć

${\ Displaystyle m = {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ vert zz_ {0} \ vert = \ rho} {\ Frac {f '(z)}{f(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0 }\vert =\rho }{\frac {f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }N_{k}}$

W powyższym kroku byliśmy w stanie zamienić całkę i granicę ze względu na jednostajną zbieżność całki. Pokazaliśmy, że N _k → m jako k → ∞. Ponieważ Nk _{wystarczająco} są liczbami całkowitymi, Nk _m musi być równe dla dużego k .

Zobacz też

• Twierdzenie Rouchégo

• Ahlfors, Lars V. (1966), Analiza złożona. Wprowadzenie do teorii funkcji analitycznych jednej zmiennej zespolonej , International Series in Pure and Applied Mathematics (wyd. 2), McGraw-Hill
•   Ahlfors, Lars V. (1978), Analiza złożona. Wprowadzenie do teorii funkcji analitycznych jednej zmiennej zespolonej , International Series in Pure and Applied Mathematics (wyd. 3), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
• Johna B. Conwaya . Funkcje jednej zmiennej zespolonej I . Springer-Verlag, Nowy Jork, Nowy Jork, 1978.
• EC Titchmarsh , The Theory of Functions , wydanie drugie (Oxford University Press, 1939; przedruk 1985), s. 119.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], „Twierdzenie Hurwitza” , Encyklopedia matematyki , EMS Press