Funkcja Koeniga

W matematyce funkcja Koenigsa jest funkcją występującą w złożonej analizie i układach dynamicznych . Wprowadzony w 1884 roku przez francuskiego matematyka Gabriela Koenigsa , daje kanoniczną reprezentację jako dylatacje jednowartościowego odwzorowania holomorficznego lub półgrupy odwzorowań dysku jednostkowego w liczbach zespolonych na siebie.

Istnienie i niepowtarzalność funkcji Koeniga

Niech D będzie dyskiem jednostkowym w liczbach zespolonych. Niech f będzie funkcją holomorficzną odwzorowującą D na samą siebie, ustalającą punkt 0, przy czym f nie jest identycznie 0, a f nie jest automorfizmem D , tj. transformacją Möbiusa zdefiniowaną przez macierz w SU(1,1).

Zgodnie z twierdzeniem Denjoya-Wolffa f pozostawia niezmienniczy każdy dysk | z | < r i iteracje f zbiegają się jednostajnie na kompaktach do 0: faktycznie dla 0 < r < 1,

${\ Displaystyle | f (z) | \ równoważnik M (r) | z |}$

dla | z | ≤ r z M ( r ) < 1. Ponadto f '(0) = λ z 0 < | λ | < 1.

Koenigs (1884) udowodnił, że istnieje unikalna funkcja holomorficzna h zdefiniowana na D , zwana funkcją Koenigsa , taka że h (0) = 0, h '(0) = 1 i równanie Schrödera jest spełnione,

${\ Displaystyle h (f (z)) = f ^ {\ pierwsza} (0) h (z) ~.}$

Funkcja h jest - jednolitą granicą zwartości znormalizowanych iteracji , $n} f ^ {n }(z)}$ .

Co więcej, jeśli f jest jednowartościowe, tak samo jest z h .

W konsekwencji, gdy f (a więc h ) są jednowartościowe, D można utożsamiać z domeną otwartą U = h ( D ) . Przy tej konforemnej identyfikacji odwzorowanie f staje się mnożeniem przez λ , dylatacją na U .

Dowód

• Wyjątkowość . Jeśli k jest innym rozwiązaniem, to wystarczy analitycznie pokazać, że k = h blisko 0. Niech

${\ Displaystyle H = k \ circ h ^ {- 1} (z)}$

blisko 0. Zatem H (0) = 0, H' (0) = 1 i dla | z | mały,

${\ Displaystyle \ lambda H (z) = \ lambda h (k ^ {- 1 }(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z)=H(\lambda z)~.} Podstawiając do szeregu potęgowego$

dla H , wynika z tego, że H ( z ) = z blisko 0. Stąd h = k blisko 0.

• Istnienie . Jeśli ${\ Displaystyle F (z) = f (z) / \ lambda z},$ to według lematu Schwarza

${\ Displaystyle | F (z) -1 | \ równoważnik (1 + | \ lambda | ^ {- 1}) | z | ~.} Z$

drugiej strony

${\ Displaystyle g_ {n} (z) = z \ prod _ {j = 0} ^ {n-1} F (f ^ {j} (z)) ~.} Stąd g n zbiega$

się równomiernie _dla | z | ≤ r według testu M Weierstrassa od

${\ Displaystyle \ sum \ sup _ {| z | \ równoważnik r} | 1-F \ circ f ^ {j} (z) | \ równoważnik (1 + | \ lambda | ^ {- 1}) \ suma M ( r)^{j}<\infty .}$

• Jednoznaczność . Z twierdzenia Hurwitza , ponieważ każdy g ⁿ jest jednowartościowy i znormalizowany, tj. ustala 0 i ma tam pochodną 1 , ich granica h jest również jednowartościowa.

Funkcja Koenigsa półgrupy

Niech f _t ( z ) będzie półgrupą holomorficznych jednowartościowych odwzorowań D w siebie ustalającą 0 określoną dla t ∈ [0, ∞) taką, że

• ${\ displaystyle f_ {s}}$ nie jest automorfizmem dla s > 0
• ${\ Displaystyle f_ {s} (f_ {t} (z)) = f_ {t + s} (z)}$
• ${\ displaystyle f_ {0} (z) = z}$
• ${\ Displaystyle f_ {t} (z)}$ jest łącznie ciągłe w t i z

Każdy f _s z s > 0 ma tę samą funkcję Koenigsa, por. funkcja iterowana . W rzeczywistości, jeśli h jest funkcją Koenigsa f = f ₁ , to h ( f _s ( z )) spełnia równanie Schroedera, a zatem jest proporcjonalne do h .

Biorąc pochodne daje

${\ Displaystyle h (f_ {s} (z)) = f_ {s} ^ {\ pierwsza} (0) h (z).}$

Stąd h jest funkcją Koenigsa funkcji f _s .

Struktura półgrup jednowartościowych

U s = h ( re ) , mapy fa _s stają się mnożeniem przez ${\ Displaystyle \ lambda (s) = f_ {s} ^ {\ liczba pierwsza} (0$ } ciągła półgrupa. Więc ${\ Displaystyle \ lambda (s) = e ^ {\ mu s}}$ gdzie μ jest jednoznacznie określonym rozwiązaniem mi ^μ = λ z Re μ <0. Wynika z tego, że półgrupa jest różniczkowalna przy 0. Niech

${\ Displaystyle v (z) = \ częściowe _ {t} f_ {t} (z) | _ {t = 0},}$

funkcja holomorficzna na D z v (0) = 0 i v' (0) = μ .

Następnie

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} (f_ { t}(z))h^{\prime }(f_{t}(z))=\mu e^{\mu t}h(z)=\mu h(f_{t}(z)),}$

aby

${\ Displaystyle v = v ^ {\ pierwsza} (0) {h \ nad h ^ {\ pierwsza}}}$

I

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} f_ {t} (z) = v (f_ {t} (z) ),\,\,\,f_{t}(z)=0~,}$

równanie przepływu dla pola wektorowego.

Ograniczając się do przypadku, w którym 0 < λ < 1, h ( D ) musi być podobne do gwiazdy , aby

${\ Displaystyle \ Re {zh ^ {\ pierwsza} (z) \ ponad h (z)} \ geq 0 ~.}$

Ponieważ ten sam wynik zachodzi dla odwrotności,

${\ Displaystyle \ Re {v (z) \ nad z} \ równoważnik 0 ~,}$

tak, że v ( z ) spełnia warunki Berksona i Porty (1978)

${\ Displaystyle v (z) = zp (z), \, \, \, \ Re p (z) \leq 0,\,\,\,p^{\prime }(0)<0.}$

I odwrotnie, odwracając powyższe kroki, dowolne holomorficzne pole wektorowe v ( z ) spełniające te warunki jest powiązane z półgrupą f _t , z

${\ Displaystyle h (z) = z \ exp \ int _ {0} ^ {z} {v ^ {\ pierwsza} (0) \ ponad v (w)} - {1 \ ponad w} \, dw.}$

Notatki

• Berkson, E.; Porta, H. (1978), „Półgrupy funkcji analitycznych i operatorów kompozycji”, Michigan Math. J. , 25 : 101–115, doi : 10.1307/mmj/1029002009
•   Carleson, L.; Gamelin, TDW (1993), Dynamika zespolona , Universitext: Tracts in Mathematics , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97942-5
•   Elin, M.; Shoikhet, D. (2010), Linearization Models for Complex Dynamical Systems: Tematy funkcji jednowartościowych, równań funkcjonalnych i teorii półgrup , Teoria operatorów: postępy i zastosowania, tom. 208, Springera, ISBN 978-3034605083
• Koenigs, GPX (1884), „Recherches sur les intégrales de surees équations fonctionnelles”, Ann. nauka École Norma. Pić małymi łykami. , 1 : 2–41
• Kuczma, Marek (1968). Równania funkcjonalne w jednej zmiennej . Monografia Matematyczne. Warszawa: PWN – Polskie Wydawnictwo Naukowe. ASIN: B0006BTAC2
•   Shapiro, JH (1993), Operatory kompozycji i klasyczna teoria funkcji , Universitext: Tracts in Mathematics , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7
•   Shoikhet, D. (2001), Półgrupy w teorii funkcji geometrycznych , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7111-9