Teoria cechowania kratowego

W fizyce teoria cechowania sieci jest badaniem teorii cechowania w czasoprzestrzeni, która została zdyskretyzowana w sieć .

Teorie cechowania są ważne w fizyce cząstek elementarnych i obejmują dominujące teorie cząstek elementarnych : elektrodynamikę kwantową , chromodynamikę kwantową (QCD) i model standardowy fizyki cząstek elementarnych . Obliczenia nieperturbacyjnej teorii cechowania w ciągłej czasoprzestrzeni formalnie obejmują ocenę nieskończenie wymiarowej całki po ścieżce , co jest trudne obliczeniowo. Pracując na dyskretnej czasoprzestrzeni , całkę po trajektorii staje się skończenie wymiarowy i może być oceniany za pomocą stochastycznych technik symulacji, takich jak metoda Monte Carlo . Kiedy rozmiar sieci jest nieskończenie duży, a jej miejsca nieskończenie blisko siebie, teoria cechowania kontinuum zostaje przywrócona.

Podstawy

W teorii mierników sieciowych czasoprzestrzeń Wick jest obracana w przestrzeń euklidesową i dyskretyzowana w sieć z miejscami oddzielonymi odległością $i$ linkami. W najczęściej rozważanych przypadkach, takich jak sieć QCD , pola fermionowe są definiowane w miejscach sieci (co prowadzi do podwojenia fermionów ), podczas gdy pola cechowania są definiowane na łączach. Oznacza to, że element U zwartej grupy Liego G (nie algebra ) jest przypisana do każdego łącza. Stąd, aby symulować QCD z grupą Liego SU(3) , dla każdego łącza zdefiniowana jest macierz jednostkowa 3×3. Łączu jest przypisana orientacja, przy czym element odwrotny odpowiada temu samemu łączu z przeciwną orientacją. A każdemu węzłowi jest podana wartość w $działa$ -wektor, przestrzeń, na której podstawowa reprezentacja SU (3)), bispinor ( Dirac 4 -spinor), wektor n _f i a zmienna Grassmanna .

Zatem złożenie elementów SU(3) łączy wzdłuż ścieżki (tj. uporządkowane mnożenie ich macierzy) jest zbliżone do wykładniczej uporządkowanej po ścieżce ( całka geometryczna), z której można obliczyć wartości pętli Wilsona dla ścieżek zamkniętych.

Akcja Yanga-Millsa

Yanga -Millsa $jest$ zapisywana na siatce przy użyciu pętli Wilsona nazwanych na cześć Kennetha G. Wilsona ), tak że granica formalnie odtwarza oryginalne działanie kontinuum Biorąc pod uwagę wierną nieredukowalną reprezentację ρ G , działanie Yanga-Millsa na sieci, znane jako działanie Wilsona , jest sumą wszystkich miejsc sieciowych (rzeczywistego składnika) śladu po n ogniwach e ₁ , ..., e _n w pętli Wilsona,

{\ Displaystyle S = \ suma _ {F} - \ Re \ {\ chi ^ {(\ rho)} (U (e_ {1}) \ cdots U (e_ {n})) \}.}

Tutaj χ jest znakiem . Jeśli ρ jest rzeczywistą (lub pseudorzeczywistą ), przyjmowanie składowej rzeczywistej jest zbędne, ponieważ nawet jeśli odwrócona zostanie orientacja pętli Wilsona, jej udział w akcji pozostaje niezmieniony.

Istnieje wiele możliwych działań Wilsona, w zależności od tego, które pętle Wilsona są używane w akcji. Najprostsza akcja Wilsona wykorzystuje tylko pętlę Wilsona 1 × 1 i różni się od akcji kontinuum „artefaktami sieci” proporcjonalnymi do małych odstępów $sieciami$ . Używając bardziej skomplikowanych pętli Wilsona do konstruowania „ulepszonych działań”, artefakty sieciowe można zredukować tak, aby były proporcjonalne do $są$ dokładniejsze.

Pomiary i obliczenia

Ten wynik obliczeń Lattice QCD pokazuje mezon złożony z kwarka i antykwarku. (za M. Cardoso i in.)

Ilości, takie jak masy cząstek, są obliczane stochastycznie przy użyciu technik takich jak metoda Monte Carlo . Konfiguracje pól miernika są generowane z $\ beta$ proporcjonalnymi $S}}$ , gdzie jest działaniem sieci i $Displaystyle e ^ {-$ związane z siecią mi rozstaw ${\ displaystyle a}$ . Ilość będąca przedmiotem zainteresowania jest obliczana dla każdej konfiguracji i uśredniana. $,$ różnych odstępach między siatkami tak że wynik można ekstrapolować na kontinuum, ${\ displaystyle a \ do 0}$ .

Takie obliczenia są często niezwykle intensywne obliczeniowo i mogą wymagać użycia największych dostępnych superkomputerów . Aby zmniejszyć obciążenie obliczeniowe, można zastosować tzw. przybliżenie wygaszone , w którym pola fermionowe traktowane są jako niedynamiczne „zamrożone” zmienne. Chociaż było to powszechne we wczesnych obliczeniach QCD sieci, „dynamiczne” fermiony są teraz standardem. Symulacje te zazwyczaj wykorzystują algorytmy oparte na dynamice molekularnej lub algorytmy zespołów mikrokanonicznych .

Wyniki obliczeń kratowych QCD pokazują np., że w mezonie ważne są nie tylko cząstki (kwarki i antykwarki), ale także "rury strumieniowe " pól gluonowych. ^{[ potrzebne źródło ]}

Trywialność kwantowa

Teoria cechowania kratowego jest również ważna dla badania trywialności kwantowej przez grupę renormalizacji w przestrzeni rzeczywistej . Najważniejszymi informacjami w przepływie RG są tak zwane punkty stałe .

Możliwe stany makroskopowe systemu w dużej skali są określone przez ten zbiór stałych punktów. Jeśli te punkty stałe odpowiadają teorii pola swobodnego, mówi się, że teoria jest trywialna lub nie oddziałuje. W badaniu teorii Higgsa sieci siatkowych pojawia się wiele punktów stałych, ale charakter związanych z nimi kwantowych teorii pola pozostaje kwestią otwartą.

Trywialność nie została jeszcze dokładnie udowodniona, ale obliczenia kratowe dostarczyły na to mocnych dowodów. Fakt ten jest ważny, ponieważ trywialność kwantową można wykorzystać do wiązania, a nawet przewidywania parametrów, takich jak masa bozonu Higgsa .

Inne aplikacje

Pierwotnie rozwiązywalne dwuwymiarowe teorie cechowania sieci zostały wprowadzone już w 1971 roku jako modele o interesujących właściwościach statystycznych przez teoretyka Franza Wegnera , który pracował w dziedzinie przejść fazowych.

Kiedy w akcji pojawiają się tylko pętle Wilsona 1 × 1, można wykazać, że teoria cechowania sieci jest dokładnie podwójna w stosunku do modeli pianki spinowej .

Zobacz też

Dalsza lektura

Creutz, M., Quarks, gluons and lattices , Cambridge University Press, Cambridge, (1985). ISBN 978-0521315357
Montvay, I., Münster, G., Quantum Fields on a Lattice , Cambridge University Press, Cambridge, (1997). ISBN 978-0521599177
Makeenko, Y., Metody współczesnej teorii cechowania , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 0-521-80911-8 .
Smit, J. , Wprowadzenie do pól kwantowych na siatce , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 978-0521890519
Rothe, H., Lattice Gauge Theories, An Introduction , World Scientific, Singapur, (2005). ISBN 978-9814365857
DeGrand, T., DeTar, C., Lattice Methods for Quantum Chromodynamics , World Scientific, Singapur, (2006). ISBN 978-9812567277
Gattringer, C., Lang, CB, Quantum Chromodynamics on the Lattice , Springer, (2010). ISBN 978-3642018497
Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Lattice Quantum Chromodynamics: Practical Essentials , Springer, (2016). ISBN 978-9402409970
Weisz Peter, Majumdar Pushan (2012). „Teorie mierników kratowych” . Scholarpedia . 7 (4): 8615. Bibcode : 2012SchpJ...7.8615W . doi : 10.4249/scholarpedia.8615 .

Linki zewnętrzne