Pętla Wilsona

„Linia Wilsona” przekierowuje tutaj. Dla firmy spedycyjnej Wilson Line, zobacz Thomas Wilson Sons & Co.

W kwantowej teorii pola pętle Wilsona są operatorami niezmiennymi cechowania wynikającymi z równoległego transportu zmiennych cechowania wokół zamkniętych pętli . Kodują wszystkie informacje o cechowaniu teorii, pozwalając na konstruowanie reprezentacji pętli , które w pełni opisują teorie cechowania w kategoriach tych pętli. W czystej teorii cechowania pełnią one rolę operatorów porządku dla uwięzienia , gdzie spełniają tzw. prawo obszaru. Pierwotnie sformułowany przez Kennetha G. Wilsona w 1974 roku wykorzystano je do konstruowania ogniw i plakietek, które są podstawowymi parametrami w teorii cechowania sieci . Pętle Wilsona należą do szerszej klasy operatorów pętli , z innymi godnymi uwagi przykładami są pętle 't Hoofta , które są magnetycznymi dualami pętli Wilsona, oraz pętle Polyakova , które są termiczną wersją pętli Wilsona.

Definicja

Połączenie na wiązce głównej $P$ czasoprzestrzenią $oddziela$ przestrzeń styczną w każdym punkcie $}$ na pionową $\$ podprzestrzeń ${\ displaystyle V_ {p}}$ i pozioma podprzestrzeń ${\ displaystyle H_ {p}}$ . Linie Wilsona odpowiadają krzywym w wiązce głównej, której wektory styczne są zawsze w poziomej podprzestrzeni.

Aby właściwie zdefiniować pętle Wilsona w teorii cechowania, należy wziąć pod uwagę sformułowanie wiązek włókien w teoriach cechowania. $dla$ każdego punktu w $czasoprzestrzeni$ istnieje kopia grupy mierników $tworzącej$ tak zwane włókno włókien . Te wiązki włókien nazywane są wiązkami głównymi . Lokalnie wynikowa przestrzeń wygląda jak ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} \ razy G},$ chociaż globalnie może mieć pewną skręconą strukturę w zależności od tego, jak różne włókna są ze sobą sklejone.

Problem, który rozwiązują linie Wilsona, polega na porównaniu punktów na włóknach w dwóch różnych punktach czasoprzestrzeni. Jest to analogiczne do transportu równoległego w ogólnej teorii względności , który porównuje wektory styczne , które żyją w przestrzeniach stycznych w różnych punktach. W przypadku głównych wiązek istnieje naturalny sposób porównywania różnych punktów włókien poprzez wprowadzenie połączenia , co jest równoważne z wprowadzeniem pola cechowania. Dzieje się tak dlatego, że połączenie jest sposobem na oddzielenie przestrzeni stycznej wiązki głównej na dwie podprzestrzenie zwane przestrzeniami pionowymi. i poziome podprzestrzenie. Pierwsza składa się ze wszystkich wektorów skierowanych wzdłuż włókna, $gdy$ druga składa się z wektorów prostopadłych do włókna. Pozwala to na porównanie wartości włókien w różnych punktach czasoprzestrzennych poprzez połączenie ich z krzywymi w wiązce głównej, której wektory styczne zawsze leżą w poziomej podprzestrzeni, więc krzywa jest zawsze prostopadła do dowolnego włókna.

Jeśli włókno początkowe znajduje się na współrzędnej $początkowym$$\ displaystyle x_ {0}}$ tożsamości , jak to się zmienia po przejściu do innej współrzędnej czasoprzestrzennej ${\ Displaystyle x_ {1}}$ , należy wziąć pod uwagę krzywą czasoprzestrzeni ${\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow M}$ między ${\ Displaystyle x_ {0}}$ i ${\ displaystyle x_ {1}}$ . Odpowiednia krzywa w wiązce głównej, znana jako $gamma}} (t$ ) { \ ${$ takie, że $.$ w poziomej podprzestrzeni Sformułowanie wiązki włókien teorii cechowania ujawnia, że Za ${\ Displaystyle A_ {\ mu} (x) = A_ {\ mu} ^ {a} (x) T ^ {a$ } jest równoważne połączeniu, które definiuje podprzestrzeń poziomą, więc prowadzi to do równania różniczkowego dla siły nośnej poziomej

${\ Displaystyle ja {\ Frac {dg (t)} {dt}} = A _ {\ mu} (x) {\ Frac {dx ^ {\ mu}} {dt}} g (t).}$

Ma to unikalne rozwiązanie formalne zwane linią Wilsona między dwoma punktami

${\ Displaystyle g_ {i} (t_ {f}) = W [x_ {i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu}dx^{\ mu }{\bigg )},}$

gdzie jest $,$ porządkującym ścieżki co jest niepotrzebne w teoriach abelowych . Podniesienie poziome rozpoczynające się w pewnym początkowym punkcie włókna innym niż tożsamość wymaga jedynie pomnożenia przez element początkowy pierwotnego podniesienia poziomego. Mówiąc bardziej ogólnie, utrzymuje, że jeśli ${\ Displaystyle {\ tylda {\ gamma}} '(0) = {\ tylda {\ gamma}} (0) g}, a$ następnie ${\ Displaystyle {\ tylda {\ gamma}} '(t) = {\ tylda {\ gamma}} (t) g}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle t \ geq 0}$ .

W ramach lokalnej transformacji cechowania linia Wilsona przekształca się jako sol ${\ Displaystyle g (x)$

${\ Displaystyle W [x_ {i}, x_ {f}] \ rightarrow g (x_ {f}) W [x_ {i}, x_ {f}] g ^ {-1} (x_ {i}).}$

Ta właściwość transformacji cechowania jest często używana do bezpośredniego wprowadzenia linii Wilsona w obecności pól materii przekształcających się w podstawowej reprezentacji grupy cechowania, gdzie linia Wilsona jest operatorem, który ${\ Displaystyle \ psi (x)}$ tworzy kombinację ${\ Displaystyle \ psi (x_ {i}) ^ {\ sztylet} W [x_ {i}, x_ {f}] \ psi (x_ {f})} niezmiennik miernika$ . Pozwala to na porównanie pola materii w różnych punktach w sposób niezmienny względem cechowania. Alternatywnie linie Wilsona można również wprowadzić, dodając nieskończenie ciężką cząstkę testową naładowaną pod grupą cechowania. Jego ładunek tworzy skwantowaną wewnętrzną przestrzeń Hilberta , którą można scałkować, otrzymując linię Wilsona jako linię świata badanej cząstki. W kwantowej teorii pola działa to niezależnie od tego, czy teoria faktycznie zawiera jakąkolwiek treść materii. Jednak przypuszczenie bagna znana jako hipoteza kompletności głosi, że w spójnej teorii grawitacji kwantowej każda linia Wilsona i linia 't Hoofa o określonym ładunku zgodnym z warunkiem kwantyzacji Diraca musi mieć odpowiednią cząstkę tego ładunku obecną w teorii. Oddzielenie tych cząstek przez przyjęcie nieskończonej granicy masy już nie działa, ponieważ utworzyłoby to czarne dziury .

Ślad zamkniętych linii Wilsona jest wielkością niezmienniczą cechowania znaną jako pętla Wilsona

${\ Displaystyle W [\ gamma ] = {\ tekst {tr}} {\ bigg [} {\ mathcal {P}} \ exp {\ bigg (} i \ oint _ {\ gamma} A_ {\ mu} dx ^ {\mu }{\bigg )}{\bigg ]}.}$

Z matematycznego punktu widzenia termin w obrębie śladu jest znany jako holonomia , która opisuje odwzorowanie włókna na siebie po poziomym podniesieniu wzdłuż zamkniętej pętli. Sam zbiór wszystkich holonomii tworzy grupę , która dla wiązek głównych musi być podgrupą grupy cechowania. Pętle Wilsona spełniają właściwość rekonstrukcji, gdzie znajomość zbioru pętli Wilsona dla wszystkich możliwych pętli pozwala na rekonstrukcję wszystkich niezmiennych informacji o połączeniu cechowania. Formalnie zbiór wszystkich pętli Wilsona stanowi nadmiernie kompletną podstawę rozwiązań ograniczenia prawa Gaussa.

Zbiór wszystkich linii Wilsona odpowiada jeden do jednego reprezentacjom grupy cechowania. Można to przeformułować w kategoriach języka algebry Liego, używając siatki wag grupy mierników ${\ displaystyle \ Lambda _ {w}}$ . W $tym$$przypadku$ typy pętli Wilsona są w relacji z gdzie grupą Weyla

Operatory przestrzeni Hilberta

Alternatywnym spojrzeniem na pętle Wilsona jest traktowanie ich jako operatorów działających na przestrzeni stanów Hilberta w sygnaturze Minkowskiego . Ponieważ przestrzeń Hilberta żyje w pojedynczym przedziale czasu, jedynymi pętlami Wilsona, które mogą działać jako operatory w tej przestrzeni, są pętle utworzone za pomocą podobnych do przestrzeni . Takie operatory $,$ zamkniętą pętlę strumienia elektrycznego $.$ , że operator pola elektrycznego pętli ${\ Displaystyle E ^ {i} W [\ gamma ] | 0 \ rangle \ neq 0},$ ale znika wszędzie indziej. Z twierdzenia Stokesa wynika, że ​​pętla przestrzenna mierzy strumień magnetyczny przechodzący przez pętlę.

Operator zamówienia

$odpowiadają$ konfiguracji utworzonej przez nieskończenie ciężkie nieruchome kwarki, pętla Wilsona powiązana z pętlą prostokątną dwoma składowymi czasowymi o długości $displaystyle T}$ dwoma składowymi przestrzennymi o długości $displaystyle r}$${\$ , może być interpretowany jako para kwark -antykwark w ustalonej separacji. Przez długi czas wartość oczekiwana próżni pętli Wilsona rzutuje stan z minimalną energią , czyli potencjałem ${\ Displaystyle V (r)}$ między kwarkami. Stany wzbudzone z energią są wykładniczo tłumione w czasie, więc wartość oczekiwana jest następująca: ${\ Displaystyle V (r) + \ Delta E}$

${\ Displaystyle \ langle W [\ gamma] \ rangle \ sim e ^ {-TV (r)} (1+{\mathcal {O}}(e^{-T\Delta E})),}$

czyniąc pętlę Wilsona przydatną do obliczania potencjału między parami kwarków. Potencjał ten musi koniecznie być monotonicznie rosnącą i wklęsłą funkcją separacji kwarków. Ponieważ przestrzenne pętle Wilsona nie różnią się zasadniczo od czasowych, potencjał kwarków jest bezpośrednio związany z czystą strukturą teorii Yanga-Millsa i jest zjawiskiem niezależnym od zawartości materii.

Twierdzenie Elitzura gwarantuje, że lokalne niezmienniki operatorów niezmienniczych nie mogą mieć niezerowych wartości oczekiwanych. Zamiast tego należy użyć niezmiennych operatorów nielokalnych skrajni jako parametrów porządkujących ograniczenie. Pętla Wilsona jest właśnie takim parametrem porządku w czystej teorii Yanga-Millsa , gdzie w fazie ograniczającej jej wartość oczekiwana jest zgodna z prawem obszaru

${\ Displaystyle \ langle W [\ gamma] \ rangle \ sim e ^ {-aA [\ gamma]}}$

dla pętli obejmującej obszar ${\ Displaystyle A [\ gamma ]}$ . Jest to motywowane potencjałem między nieskończenie ciężkimi kwarkami testowymi, które w fazie uwięzienia mają rosnąć liniowo ${\ Displaystyle V (r) \ sim \ sigma r}$ gdzie jest ${\ displaystyle \ sigma}$ znany jako napięcie struny. Tymczasem w fazie Higgsa wartość oczekiwana podlega prawu obwodu

${\ Displaystyle \ langle W [\ gamma] \ rangle \ sim e ^ {-bL [\ gamma]}}$

gdzie $pętli$ długością obwodu $i$ Prawo obszaru pętli Wilsona może być użyte do bezpośredniego wykazania ograniczenia w niektórych teoriach niskowymiarowych, takich jak model Schwingera , którego ograniczenie jest napędzane przez momentony .

Formuła kraty

W teorii pola kratowego linie i pętle Wilsona odgrywają fundamentalną rolę w formułowaniu pól cechowania na siatce . Najmniejsze linie Wilsona na siatce, te między dwoma sąsiednimi punktami sieci, są znane jako łącza, z pojedynczym łączem zaczynającym się od punktu $sieci$${\ Displaystyle U _ {\ mu} (n)}$$w$ oznaczonym przez . Cztery ogniwa wokół jednego kwadratu nazywane są plakietką, a ich ślad tworzy najmniejszą pętlę Wilsona. To właśnie te plakietki są wykorzystywane do konstruowania akcji skrajni kratowej, znanej jako akcja Wilsona . Większe pętle Wilsona są wyrażane jako iloczyny zmiennych łączących wzdłuż jakiejś pętli , oznaczonej przez ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle L [U] = {\ tekst {tr}} {\ bigg [} \ prod _ {n \ in \ gamma} U _ {\ mu} (n) {\ bigg ]}.}$

Te pętle Wilsona są używane do numerycznego badania ograniczeń i potencjałów kwarków . Liniowe kombinacje pętli Wilsona są również używane jako operatory interpolujące, które powodują powstanie stanów kuli klejowej . Masy kulek klejowych można następnie wyodrębnić z funkcji korelacji między tymi interpolatorami.

Sformułowanie sieciowe pętli Wilsona pozwala również na analityczną demonstrację uwięzienia w fazie silnie sprzężonej , zakładając przybliżenie wygaszone , w którym pomija się pętle kwarków. Odbywa się to poprzez rozwinięcie działania Wilsona jako potęgowego szeregu śladów plakietek, gdzie pierwszy nie znikający wyraz w wartości oczekiwanej pętli Wilsona w ${\ Displaystyle {\ tekst {SU}} ( 3)}$ teoria cechowania daje podstawę do prawa obszaru z napięciem struny postaci

${\ Displaystyle \ sigma = - {\ Frac {1} {a ^ {2}}} \ ln {\ bigg (}{ \frac {\beta }{18}}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}}(\beta )),}$

gdzie $_ Chociaż ten argument odnosi się$ stałą $jest$ sieci $przy .$ do przypadku abelowego, jak i nieabelowego, zwarta elektrodynamika wykazuje ograniczenie tylko przy sprzężeniu, z przejściem fazowym do kulombowskiej , pozostawiając teorię rozgraniczoną przy słabym sprzężeniu. Uważa się $, że$ takie przejście fazowe nie istnieje dla cechowania w temperaturze zerowej , zamiast tego wykazują sprzężenia

Nieruchomości

Równanie pętli Makeenko-Migdala

Podobnie jak pochodna funkcyjna , która działa na funkcje funkcji , funkcje pętli dopuszczają dwa rodzaje pochodnych zwanych pochodną obszaru i pochodną obwodu. $który$ kontur i inny kontur, tym samym $z$ dodatkowa mała pętla w ${\ displaystyle x}$ w ${\ displaystyle \ mu}$ - ${\ Displaystyle \ nu}$ płaszczyzna o powierzchni ${\ Displaystyle \ delta \ sigma _ {\ mu \ nu} = dx_ {\ mu} \ klin dx_ {\ nu} }$ . Następnie pochodna obszaru funkcjonału pętli $pochodna , jako znormalizowana$ funkcjonałem dwóch pętli

${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta F [\ gamma ]} {\ delta \ sigma _ {\ mu \ nu} (x)}} = {\ frac {1} {\ delta \ sigma _ {\ mu \ nu }(x)}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu}}]-F[\gamma]].}$

$niewielkie$ obwodu jest podobnie zdefiniowana, przy czym teraz $displaystyle$ , które w pozycji $x }$$io$ małą wystającą pętlę o $zerowym$ kierunku . Pochodna obwodu ${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} ^ {x}}$ funkcjonału pętli jest wtedy zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} ^ {x} F [\ gamma ] = {\ Frac {1} {\ delta x _ {\ mu}}} [F [\ gamma _ {\ delta x_ {\ mu} }]-F[\gamma]].}$

W dużej granicy N wartość oczekiwana próżni w pętli Wilsona spełnia równanie zamkniętej postaci funkcjonalnej zwane równaniem Makeenko – Migdala

${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} ^ {x} {\ Frac {\ delta}} {\ delta \ sigma _ {\ mu \ nu} (x)}} \ langle W [\ gamma] \ rangle = g ^ {2}N\oint _{\gamma }dy_{\nu }\delta ^{(D)}(xy)\langle W[\gamma _{yx}]\rangle \langle W[\gamma _{xy} ]\szereg .}$

Tutaj $Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {xy} \ kubek \ gamma _ {$$}}$ z linią, która nie blisko od do ${$$\ displaystyle y} , przy czym oba punkty$ jednak blisko siebie. Równanie można również zapisać dla skończonego ${\ displaystyle N}$ , ale w tym przypadku nie rozkłada na czynniki i zamiast tego prowadzi do wartości oczekiwanych iloczynów pętli Wilsona, a nie do iloczynu ich wartości oczekiwanych. Daje to początek nieskończonemu łańcuchowi sprzężonych równań dla różnych wartości oczekiwanych pętli Wilsona, analogicznie do równań Schwingera – Dysona . Równanie $–$ zostało rozwiązane dokładnie w dwuwymiarowej

Tożsamości Mandelstama

Grupy cechowania, które dopuszczają podstawowe reprezentacje w postaci $grupy$ , mają pętle Wilsona, które spełniają zestaw tożsamości zwanych tożsamościami Mandelstama, przy czym tożsamości te odzwierciedlają określone właściwości podstawowej ${\ Displaystyle \ gamma _ {1}}$ dotyczą pętli utworzonych z dwóch lub więcej podpętli, przy czym pętla utworzona przez pierwsze obejście ${\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {2} \ circ \ gamma _ {1}}$ a następnie chodząc dookoła ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ .

Tożsamość Mandelstama pierwszego rodzaju stwierdza, że ${\ Displaystyle W [\ gamma _ {1} \ circ \ gamma _ {2}] = W [\ gamma _{2}\circ \gamma _{1}]}$ , z tym trzymaniem dla dowolnej grupy cechowania w dowolnym wymiarze. Tożsamości Mandelstama drugiego rodzaju uzyskuje się, zauważając, że w $N + 1}$ każdy obiekt o $displaystyle$ całkowicie antysymetryczne wskaźniki znikają, co oznacza, że ${\ Displaystyle \ delta _ {[b_ {1}} ^ {a_ {1}} \delta _{b_{2}}^{a_{2}}\cdots \delta _{b_{N+1}]}^{a_{N+1}}=0}$ . W podstawowej reprezentacji holonomie użyte do utworzenia pętli Wilsona to reprezentacje macierzowe ${\ displaystyle N \ razy N}$ grup mierników. Kontraktowanie holonomii z funkcjami delta $daje$ zestaw tożsamości między Można je zapisać w kategoriach obiektów $zdefiniowanych$ iteracyjnie, tak że ${\ Displaystyle M_ {1} [\ gamma ] = W [\ gamma$ I

${\ Displaystyle (K + 1) M_ {K + 1} [\ gamma _ {1}, \ kropki, \ gamma _ {K + 1}] = W [\ gamma _ {K + 1}] M_ {K} [\gamma _{1},\kropki ,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\kropki ,\gamma _{K}]-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1} ].}$

W tej notacji są tożsamości Mandelstama drugiego rodzaju

${\ Displaystyle M_ {N + 1} [\ gamma _ {1}, \ kropki, \ gamma _ {N + 1}] = 0. }$

Na przykład dla grupy $mierników$ daje $W [\gamma _{1}]W[\gamma_{2}]=W[\gamma_{1}\circ \gamma_{2}]}$ .

Jeśli podstawową reprezentacją są macierze wyznacznika jednostkowego , to również utrzymuje, że ${\ Displaystyle M_ {N} (\ gamma, \ kropki, \ gamma) = 1}$ . Na przykład zastosowanie tej tożsamości do daje ${\ Displaystyle {\ tekst {SU}} (2)}$

${\ Displaystyle W [\ gamma _ {1}] W [\ gamma _ {2}] = W [\ gamma _ {1} \ circ \ gamma _ {2} ^ {-1}] + W [\ gamma _ {1}\circ \gamma_{2}].}$

Podstawowe reprezentacje składające się z macierzy jednostkowych spełniają ${\ Displaystyle W [\ gamma] = W ^ {*} [\ gamma ^ {-1}]}$ . Ponadto, chociaż równość $zachodzi dla wszystkich grup cechowań$ podstawowych reprezentacjach, dla grup ${\ Displaystyle | W [\ gamma] | \ równoważnik N}$ .

Renormalizacja

Ponieważ pętle Wilsona są operatorami pól cechowania, regularyzacja i renormalizacja podstawowych pól teorii Yanga-Millsa i sprzężeń nie zapobiega wymaganiu przez pętle Wilsona dodatkowych poprawek renormalizacji. W renormalizowanej teorii Yanga-Millsa szczególny sposób renormalizacji pętli Wilsona zależy od geometrii rozważanej pętli. Główne cechy to

• Gładka, nieprzecinająca się krzywa: może mieć tylko liniowe rozbieżności proporcjonalne do konturu, które można usunąć poprzez multiplikatywną renormalizację.
• Nieprzecinająca się krzywa z $wierzchołek$ każdy $wierzchołka$ lokalnym multiplikatywnym współczynnikiem renormalizacji który zależy od kąta .
• Samoprzecięcia: prowadzi to do mieszania operatorów między pętlami Wilsona związanymi z pełną pętlą i podpętlami.
• Segmenty podobne do światła: powodują dodatkowe rozbieżności logarytmiczne.

Dodatkowe aplikacje

Amplitudy rozpraszania

Pętle Wilsona odgrywają również rolę w amplitudach rozpraszania , gdzie znaleziono zestaw dualności między nimi a pewnymi amplitudami rozpraszania. Zostały one po raz pierwszy zasugerowane przy silnym sprzężeniu przy użyciu korespondencji AdS / CFT . Na przykład w $składową na$ teorii Yanga-Millsa amplitudy naruszające maksymalną helikalność rozkładają się drzewa i korektę na poziomie pętli. Ta korekcja poziomu pętli nie zależy od helikalności cząstek, ale okazało się, że jest podwójny z pewnymi wielokątnymi pętlami Wilsona w dużym $limicie$ skończonych terminów. Chociaż ta dwoistość była początkowo sugerowana tylko w przypadku naruszenia maksymalnej helikalności, istnieją argumenty, że można ją rozszerzyć na wszystkie konfiguracje helikalności poprzez zdefiniowanie odpowiednich supersymetrycznych uogólnień pętli Wilsona.

Zwięzłości teorii strun

W teoriach zwartych stany pola cechowania w trybie zerowym, które są lokalnie czystymi konfiguracjami cechowania, ale globalnie nie są równoważne próżni, są parametryzowane przez zamknięte linie Wilsona w kierunku zwartym. Ich obecność w zwartej teorii strun otwartych jest równoważna w warunkach T-dwoistości z teorią z nie pokrywającymi się D-branami , których separacje są określone przez linie Wilsona. Linie Wilsona również odgrywają rolę w orbifold kompakcje, gdzie ich obecność prowadzi do większej kontroli nad łamaniem symetrii cechowania, dając lepszą kontrolę nad ostatnią nieprzerwaną grupą cechowania, a także zapewniając mechanizm kontrolowania liczby multipletów materii pozostałych po kompakcie. Te właściwości sprawiają, że linie Wilsona są ważne w kompaktyfikacjach teorii superstrun.

Topologiczna teoria pola

W topologicznej teorii pola wartość oczekiwana pętli Wilsona nie zmienia się przy gładkich deformacjach pętli, ponieważ teoria pola nie zależy od metryki . Z tego powodu pętle Wilsona są kluczowymi obserwablami w tych teoriach i są używane do obliczania globalnych właściwości rozmaitości . W $one$ ściśle związane z węzłów z wartością oczekiwaną iloczynu pętli zależną tylko od struktury rozmaitości i od tego, jak pętle są ze sobą powiązane. Doprowadziło to do słynnego połączenia dokonanego przez Edwarda Wittena , w którym użył pętli Wilsona w teorii Cherna-Simonsa, aby powiązać ich funkcję podziału z wielomianami Jonesa teorii węzłów.

Zobacz też

• Stochastyczny model próżni
• Numer uzwojenia