Pętla Poliakova

W kwantowej teorii pola pętla Polyakova jest termicznym odpowiednikiem pętli Wilsona , pełniącym funkcję parametru porządku ograniczającego w czystych teoriach cechowania w temperaturach niezerowych . W szczególności jest to pętla Wilsona, która owija się wokół zwartego euklidesowego kierunku czasowego zgodnie z termiczną kwantową teorią pola . Wskazuje na zamknięcie ze względu na wartość oczekiwaną próżni musi zniknąć w fazie zamkniętej ze względu na swoją niezmienniczość pod transformacjami skrajni centralnej. Wynika to również z faktu, że wartość oczekiwana jest powiązana z energią swobodną poszczególnych kwarków , która w tej fazie jest rozbieżna. Wprowadzone przez Alexandra M. Polyakova w 1975 roku, można je również wykorzystać do badania potencjału między parami kwarków w temperaturach niezerowych.

Definicja

$czasowym$ sformułowana w czasoprzestrzeni euklidesowej ze zwartym wyimaginowanym kierunkiem długości . Długość $_$ pola Kompaktowanie prowadzi do specjalnej klasy topologicznie nietrywialnych pętli Wilsona, które owijają się wokół zwartego kierunku znanego jako pętle Polyakova. W ${\ Displaystyle {\ tekst {SU}} (N)}$ teorie prosta pętla Polyakova na współrzędnej przestrzennej jest dana przez ${\ displaystyle {\ Boldsymbol {x}}}$

${\ Displaystyle \ Phi ({\ Boldsymbol {x}}) = {\ Frac {1} {N }}{\text{tr}}\ {\mathcal {P}}\exp {\bigg [}\int _{0}^{\beta }dx_{4}A_{4}({\boldsymbol {x} },x_{f}){\bigg ]},}$

gdzie jest operatorem porządkowania $ścieżki,$ $a$ jest euklidesową czasową pola W teorii pola sieci operator ten jest przeformułowany w kategoriach pól połączeń czasowych $w$ położeniu przestrzennym ${\ Displaystyle U_ {4} ({\ Boldsymbol {m}}, j)$ $pogrubiony symbol {m}}}$ jako

{\ Displaystyle \ Phi ({\ Boldsymbol {m}}) = {\ Frac {1} {N}} {\ tekst {tr}} {\ bigg [} \ prod _ {j = 0} ^ {N_ {T }-1}U_{4}({\boldsymbol {m}},j){\bigg ]}.}

Granicę kontinuum sieci należy uwzględnić ostrożnie, aby zapewnić, że kierunek zwarty ma stały zasięg. Odbywa się to poprzez zapewnienie, że $T}}$ liczba tymczasowych punktów sieci taka, że jest jako odstęp między sieciami $N_$ ${\ displaystyle a}$ spada do zera.

Parametr zamówienia

cechowania

punktowy wartości oczekiwanej linii Polyakova w symulacji wokół przejścia fazowego w Czerwone kółko oznacza fazę ograniczającą, podczas gdy niebieskie i zielone kółka oznaczają niezerowe wartości oczekiwane w fazie zdekoncentrowanej. W fazie zdekoncentrowanej znajdują się trzy skupiska ze względu na

środek

mierników.

Pola miernika muszą spełniać warunek okresowości. ${\ Displaystyle A _ {\ mu} ({\ pogrubiony symbol {x}}, x_ {4} + \ beta )=A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4})}$ w kierunku zagęszczonym. Tymczasem przekształcenia cechowania $muszą$ spełniać to tylko do terminu centralnego jako ${\ Displaystyle \ Omega ({\ Boldsymbol {x}}, x_ {4} + \ beta) = h \ Omega ({\ Boldsymbol {x}}, x_ { 4})}$ . Zmiana podstawy może zawsze $zespolonej$ $to$ liczby . Pętla Polyakova jest topologicznie nietrywialna w kierunku czasowym, więc w przeciwieństwie do innych pętli Wilsona przekształca się jako ${\ Displaystyle \ Phi ({\ Boldsymbol {x}}) \ Rightarrow z \ Phi ({\ Boldsymbol {x}})}$ w ramach tych przekształceń. Ponieważ to sprawia $być$ że wskaźnik pętli jest zależny od $.$ twierdzeniem niezerowe wartości oczekiwane sugerują, że grupa środkowa musi złamany , co sugeruje ograniczenie w czystej teorii cechowania. To sprawia, że pętla Polyakova jest parametrem porządku ograniczenia w teorii cieplnej czystej miernika, z fazą ograniczającą występującą, gdy ${\ displaystyle \ langle \ Phi \ rangle = 0}$ i fazą dekonfinującą, gdy ${\ displaystyle \ langle \Phi \rangle \neq 0}$ . Na przykład obliczenia sieciowe chromodynamiki kwantowej z nieskończenie ciężkimi kwarkami, które odrywają się od teorii, pokazują, że przejście fazowe z uwolnieniem od ograniczeń zachodzi w temperaturze około ${\ displaystyle 270}$ MeV. Tymczasem w teorii cechowania z kwarkami rozbijają one grupę środkową, dlatego uwięzienie należy zamiast tego wywnioskować z widma stanów asymptotycznych, hadronów neutralnych pod względem koloru .

W przypadku teorii cechowania, w których brakuje nietrywialnego środka grupy, który mógłby zostać złamany w fazie ograniczającej, wartości oczekiwane pętli Polyakova są różne od zera nawet w tej fazie. Jednakże są one nadal dobrym wskaźnikiem zamknięcia, ponieważ na ogół doświadczają gwałtownego skoku przy przejściu fazowym . Dzieje się tak na przykład w $modelu$ Higgsa z grupą .

Nambu – Jona-Lasinio brakuje lokalnej symetrii kolorów i dlatego nie jest w stanie uchwycić skutków zamknięcia. Jednak pętle Polyakova można wykorzystać do skonstruowania modelu Nambu – Jony-Lasinio rozszerzonego o pętlę Polyakova, który traktuje zarówno chiralny kondensat , jak i pętle Polyakova jako klasyczne jednorodne pola , które łączą się z kwarkami zgodnie z symetriami i wzorami łamania symetrii chromodynamiki kwantowej .

Energia swobodna kwarków

Energię swobodną $}$ i antykwarków N $displaystyle$ ${\ bar {N}}$ , odejmując energię próżni , podaje się w postaci funkcji korelacji pętli Polyakova fa {\ displaystyle

{\ Displaystyle e ^ {- \ beta F} = \ langle \ Phi ({\ Boldsymbol {x}} _ {1}) \ kropki \ Phi ({\ Boldsymbol {x}} _ {N_ {q}}) \ Phi ^{\sztylet }({\boldsymbol {x}}'_{1})\cdots \Phi ^{\sztylet }({\boldsymbol {x}}_{\bar {N}}')\rangle . }

Ta swobodna energia to kolejny sposób, aby zobaczyć, że pętla Polyakova działa jako parametr porządku dla zamknięcia, ponieważ energia swobodna pojedynczego kwarku jest określona przez ${\ displaystyle e ^ {- \ beta \Delta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rangle }$ . Uwięzienie kwarków oznacza, że utworzenie konfiguracji z pojedynczym wolnym kwarkiem wymagałoby nieskończonej ilości energii, dlatego jego energia swobodna musi być nieskończona, a więc wartość oczekiwana pętli Polyakova musi w tej fazie zanikać, zgodnie z łamaniem symetrii środkowej argument.

Ze wzoru na energię swobodną można także obliczyć potencjał pomiędzy parą nieskończenie masywnych kwarków oddzielonych przestrzennie ${\ Displaystyle r = | {\ Boldsymbol {x}} _ {1} - {\ Boldsymbol {x}} _ {2} |}$ . Tutaj potencjał jest pierwszym członem energii swobodnej, tak że funkcja korelacji dwóch pętli Polyakova wynosi ${\ displaystyle V (r)}$

{\ Displaystyle \ langle \ Phi ({\ pogrubiony symbol {x} }_{1})\Phi ({\boldsymbol {x}}_{2})\rangle \propto e^{-\beta V(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{ -\beta \Delta E(r)})),}

gdzie $potencjałem$ a pierwszym stanem . $struny$ fazie ograniczającej potencjał jest liniowy stała proporcjonalności jest Napięcie struny uzyskane z pętli Polyakova jest zawsze ograniczone od góry przez napięcie struny uzyskane z pętli Wilsona.

Zobacz też