Pętla Hoofta

W kwantowej teorii pola pętla ' t Hoofta jest magnetycznym odpowiednikiem pętli Wilsona , dla której pętle przestrzenne tworzą cienkie pętle strumienia magnetycznego związanego z wirami magnetycznymi . Pełnią rolę parametru nieporządku dla fazy Higgsa w czystej teorii cechowania . Warunki spójności między elektrycznymi i magnetycznymi ograniczają możliwe pętle Hoofta, których można użyć, podobnie jak warunek kwantyzacji Diraca ogranicza zbiór dozwolonych monopoli magnetycznych . Zostały one po raz pierwszy wprowadzone przez Gerarda 't Hoofta w 1978 roku w kontekście możliwych faz , które dopuszczają teorie cechowania.

Definicja

Istnieje wiele sposobów definiowania linii i pętli Hoofta. W przypadku krzywych $do$ czasu są one równoważne konfiguracji cechowania wynikającej z linii świata wytyczonej przez monopol magnetyczny. Są to o osobliwej grubości na linii, takie że ich wycinek przestrzenny ma pole magnetyczne , którego postać zbliża się do monopolu magnetycznego

${\ Displaystyle B ^ {i} \ xrightarrow {r \ rightarrow 0} {\ Frac {x ^ {i}} {4 \ pi r ^ {3 }}}Q(x),}$

gdzie w teorii Yanga – Millsa jest ogólnie $,$ algebry Liego magnetyczny Linie Hoofta można również wstawić do całkowitej ścieżki , wymagając, aby miara pola cechowania mogła przebiegać tylko przez konfiguracje, których pole magnetyczne przyjmuje powyższą postać.

Mówiąc bardziej ogólnie, pętlę 't Hoofta można zdefiniować jako operator $, którego efekt$ równoważny z wykonaniem zmodyfikowanej transformacji cechowania, $jest$ pojedyncza w pętli w taki sposób, że każda inna pętla ${\ Displaystyle C '}$ sparametryzowana przez ${\ Displaystyle s \ w [0,1]}$ z numerem uzwojenia wokół ${\ Displaystyle C}$ spełnia do ${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle \ Omega (s = 1) = e ^ {i2 \ pi l / N} \ Omega (s = 0).}$

Te zmodyfikowane transformacje cechowania nie są prawdziwymi transformacjami cechowania, ponieważ nie pozostawiają działania niezmienniczego . W przypadku pętli czasowych tworzą one wyżej wymienione konfiguracje pól, podczas gdy w przypadku pętli przestrzennych zamiast tego tworzą pętle kolorowego strumienia magnetycznego, określane jako wiry centralne . Konstruując takie przekształcenia cechowania, można wyprowadzić wyraźną postać pętli „t Hoofta, wprowadzając sprzężony operator pędu Yanga – Millsa

${\ Displaystyle \ Pi _ {i} ^ {a} (x) = - i {\ Frac {\ delta} {\ delta A_ {i} ^ {a} (x)}}.}$

Jeśli pętla obejmuje powierzchnię $,$ to jawną postacią operatora pętli 't Hoofta jest $Sigma}$

${\ Displaystyle T [C] = e ^ {i \ int d ^ {3} x A_ {i} ^ {a} (\ Sigma, x) \ Pi _ {i} ^ {a} (x)}.}$

Korzystając z twierdzenia Stokesa, $można to$ w sposób, który pokazuje, że mierzy strumień elektryczny przez , analogicznie do tego, jak pętla Wilsona mierzy strumień magnetyczny przez zamkniętą powierzchnię.

Istnieje ścisły związek między pętlami 't Hoofta i Wilsona, gdzie podano dwie pętle i $pętle$ , które mają liczbę łączącą $}$$do$ pętlę 't Hoofta ${\ Displaystyle T [C]}$ i pętla Wilsona ${\ Displaystyle W [C ']}$ spełniają

${\ Displaystyle T [C] W [C'] = z ^ {l} W [C'] T [C], }$

gdzie $.$ elementem środka grupy mierników Ta relacja może być traktowana jako cecha definiująca pętle 't Hoofta. Właściwości komutacji między tymi dwoma operatorami pętli są często wykorzystywane w topologicznej teorii pola, gdzie operatory te tworzą algebrę .

Operator zaburzeń

Pętla 't Hoofta jest operatorem nieporządku, ponieważ tworzy osobliwości w polu cechowania, a ich wartość oczekiwana odróżnia nieuporządkowaną fazę czystej teorii Yanga-Millsa od uporządkowanej fazy ograniczającej . Podobnie jak w przypadku pętli Wilsona, wartość oczekiwana pętli 't Hoofta może być zgodna z prawem obszaru

${\ Displaystyle \ langle T [C] \ rangle \ sim e ^ {-aA [C]}}$

gdzie jest obszarem zamkniętym pętlą i $\$$Displaystyle A [C$ lub może podlegać prawu obwodu ZA [ do ]

${\ Displaystyle \ langle T [C] \ rangle \ sim e ^ {- bL [C]}}$

gdzie jest długością pętli i jest stałą. $C ]}$$\ Displaystyle L$

Na podstawie relacji komutacji między pętlami „t Hoofta i Wilsona można zidentyfikować cztery fazy dla $,$ które dodatkowo zawierają w reprezentacjach niezmiennych środek symetrii ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {N}}$ . Cztery fazy są

• Uwięzienie: pętle Wilsona są zgodne z prawem obszaru, podczas gdy pętle 't Hoofta są zgodne z prawem obwodu.
• Faza Higgsa: pętle Wilsona podlegają prawu obwodu, podczas gdy pętle 't Hoofta podlegają prawu obszaru.
• Uwięzienie wraz z fazą częściowo Higgsa: obie podlegają prawu obszarowemu.
• Faza mieszana: obie przestrzegają prawa obwodu.

W trzeciej fazie grupa cechowania jest tylko częściowo podzielona na mniejszą podgrupę nieabelową . Faza mieszana wymaga, $cechowania$ były cząstkami bezmasowymi i nie występuje w podobna do fazy dla teorii abelowej , która jest fazą kulombowską.

Ponieważ operatory 't Hoofta są operatorami kreacji dla wirów centralnych, odgrywają ważną rolę w scenariuszu uwięzienia wirów centralnych. W tym modelu to właśnie te wiry prowadzą do prawa obszaru pętli Wilsona poprzez przypadkowe fluktuacje liczby topologicznie połączonych wirów.

Ograniczenia opłat

W obecności zarówno linii 't Hoofta, jak i linii Wilsona, teoria wymaga warunków spójności podobnych do warunku kwantyzacji Diraca, który powstaje, gdy obecne są zarówno monopole elektryczne, jak i magnetyczne. $}}$ grupy mierników, gdzie jest uniwersalną grupą pokrywającą $\ tylda {G}}} / H$ algebrą Liego $\ Displaystyle G = {$$} \ displaystyle {$$\ mathfrak {g$${\ displaystyle G}$ i jest podgrupą centrum, to zbiór dozwolonych linii Wilsona jest w jeden do jednego z reprezentacjami sol . $mathfrak {g}})}$ to sformułować dokładniej, wprowadzając wagi algebry Liego, które obejmują siatkę wagową $sol$${\ Displaystyle \ Lambda _ {w} ({$ . Oznaczając $rozpiętą$ przez wagi związane z $G$ zamiast ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , linie Wilsona odpowiadają jeden do jednego punktom sieci ${\ Displaystyle \ Lambda _ {w} ^ {G} / W}$ gdzie ${\ displaystyle W}$ to grupa Weyl.

Ładunek wartościowany algebrą Liego linii 't Hoofta można zawsze zapisać w kategoriach rangi ${\$ subalgebra $Displaystyle {\ boldsymbol {H}}}$ jako $H}}}$${\ Displaystyle Q = {\ boldsymbol {m}} \$$cdot {$$\ boldsymbol {$ , gdzie dwuwymiarowym ładunku. Ze względu na linie Wilsona ładunek 't Hoofta musi spełniać uogólniony warunek kwantyzacji Diraca ${\ Displaystyle e ^ {i {\ boldsymbol {m}} \ cdot {\ boldsymbol {H}}} = 1 }$ , które musi być spełnione dla wszystkich reprezentacji algebry Liego.

Uogólniony warunek kwantyzacji jest równoważny wymaganiu, które zachodzi dla ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {m}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mu}} \ w 2 \ pi \ mathbb {Z}}$ wszystkie wektory wagowe. Aby uzyskać zestaw wektorów $sprzężonymi$$które$ spełniają ten warunek, należy wziąć pod uwagę pierwiastki , które są wektorami wagi reprezentacji Współkorzenie, zdefiniowane za pomocą pierwiastków przez ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ alfa}} ^ {\ vee} = 2 {\ boldsymbol {\ alfa}} / {\ boldsymbol {\ alfa} } ^ {2}}$ , obejmuj siatkę współkorzeń ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ tekst {współkorzeń}} ({\ mathfrak {g}})}$ . Wektory te mają użyteczną właściwość, że co oznacza, że ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ alfa}} ^ {\ vee} \ cdot {\ boldsymbol {\ mu}} \ in \ mathbb {Z}}$ tylko ładunki magnetyczne dozwolone dla linii 't Hoofta to te, które znajdują się w sieci współkorzeniowej

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {m}} \ w 2 \ pi \ Lambda _ {\ tekst {współroot}} ({\ mathfrak {g}}).}$

Jest to czasami zapisywane w kategoriach algebry dualnej Langlandsa $} \ Displaystyle \ Lambda _ {mw}}$ siatką wagową $}} ^ {\ vee}} sol {\$ Displaystyle $}}$ , w takim przypadku linie 't Hoofta są opisane przez ${\ Displaystyle \ Lambda _ {mw} / W}$ .

Można również skonstruować bardziej ogólne klasy operatorów linii dyonicznych , zarówno z ładunkami elektrycznymi, jak i magnetycznymi. Czasami nazywani operatorami linii Wilsona – 't Hoofta, są definiowani przez pary ładunków ${\ Displaystyle (\ lambda _ {e}, \ lambda _ {m}) \ w \ Lambda _ {w} \ razy \ Lambda _ {mw}}$ aż do identyfikacji , że dla wszystkich utrzymuje, że ${\ displaystyle w \ in W}$

${\ Displaystyle (\ lambda _ {e}, \ lambda _ {m}) \ sim (w \ lambda _ {e}, w \ lambda _ {m}).}$

${$ rolę we wskazywaniu różnic w teoriach cechowania w postaci, $displaystyle H}$ H. . Teorie te , o ile nie zostaną zwarte , nie różnią się lokalną fizyką i żadna liczba lokalnych eksperymentów nie może wydedukować dokładnej grupy cechowania teorii. Mimo to teorie różnią się swoimi globalnymi właściwościami, takimi jak posiadanie różnych zestawów dozwolonych operatorów linii. $w} ({\ mathfrak {$ przykład w teoriach cechowania pętle Wilsona są oznaczone przez . $_$ podczas gdy linie 't Hoofta przez ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ tekst {współkorzeń}} ({\ mathfrak {g}})}$ . Jednak w ${\ Displaystyle {\ tekst {SU}} (N) / \ mathbb {Z} _ {N}}$ kraty są odwrócone, gdzie teraz linie Wilsona są określone przez ${ \ Displaystyle \ Lambda _ {\ tekst {współkorzeń}}},$ podczas gdy linie 't Hoofta są określone przez ${\ Displaystyle \ Lambda _ {w}}$ .