1/ rozwinięcie N

Przykłady
Jak wyglądałby wierzchołek z trzema gluonami w notacji podwójnego indeksu „t Hoofta”. To sprawia, że analogia do teorii strun, która pojawi się przy dużym N, jest oczywista.
1	2

W kwantowej teorii pola i mechanice statystycznej rozszerzenie 1/ N ) (znane również jako rozszerzenie „ dużego N ” ) jest szczególną perturbacyjną analizą kwantowych teorii pola z wewnętrzną grupą symetrii , taką jak SO(N) lub SU(N . Polega $ona$ wyprowadzeniu rozwinięcia właściwości teorii w potęgach jest traktowane jako mały parametr.

Ta technika jest używana w QCD (mimo że $3$ ) z grupą mierników SU (3). Innym zastosowaniem w fizyce cząstek elementarnych jest badanie dualności AdS/CFT .

Jest również szeroko stosowany w fizyce materii skondensowanej , gdzie można go wykorzystać do zapewnienia rygorystycznej podstawy teorii pola średniego .

Przykład

Zaczynając od prostego przykładu — O(N) φ ⁴ — pole skalarne φ przyjmuje wartości w rzeczywistej reprezentacji wektorowej O(N). Używając notacji indeksu dla N „ smaków ” zgodnie z konwencją sumowania Einsteina i ponieważ O(N) jest ortogonalny, nie będzie rozróżniania między indeksami kowariantnymi i kontrawariantnymi. Gęstość Lagrange'a jest dana przez

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ ponad 2} \ częściowe ^{\mu }\phi _{a}\częściowe _{\mu }\phi _{a}-{m^{2} \over 2}\phi _{a}\phi _{a}-{\ lambda \ponad 8N}(\phi _{a}\phi _{a})^{2}}

gdzie $N.$ Zauważ, że N zostało wchłonięte przez siłę sprzężenia λ. Jest to tutaj kluczowe.

Wprowadzenie pola pomocniczego F;

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ ponad 2}\częściowe ^{\mu }\phi _{a}\częściowe _{\mu }\phi _{a}-{m^{2} \over 2}\phi _{a}\phi _{a }+{1 \over 2}F^{2}-{{\sqrt {\lambda /N}} \over 2}F\phi _{a}\phi _{a}}

Na diagramach Feynmana graf dzieli się na rozłączne cykle , z których każdy składa się z krawędzi φ o tym samym smaku, a cykle są połączone krawędziami F (które nie mają linii propagatora, ponieważ pola pomocnicze nie propagują się).

Każdy 4-punktowy wierzchołek wnosi λ/N, a zatem 1/N. Każdy cykl smaku wnosi N, ponieważ istnieje N takich smaków do zsumowania. Należy zauważyć, że nie wszystkie cykle przepływu pędu są cyklami smaku.

Przynajmniej perturbacyjnie, dominujący udział w funkcji korelacji połączonej z punktami 2k jest rzędu (1/N) ^k-1 , a pozostałe wyrazy są wyższymi potęgami 1/N. Wykonywanie rozwinięcia 1/N staje się coraz dokładniejsze w dużym limicie N. Gęstość energii próżni jest proporcjonalna do N, ale można ją zignorować ze względu na niezgodność z założeniami ogólnej teorii względności . ^{[ wymagane wyjaśnienie ]}

można zastosować inną notację graficzną do oznaczenia diagramów Feynmana . Każdy cykl smaku może być reprezentowany przez wierzchołek. Ścieżki smaku łączące dwa wierzchołki zewnętrzne są reprezentowane przez pojedynczy wierzchołek. Dwa zewnętrzne wierzchołki wzdłuż tej samej ścieżki smaku są naturalnie sparowane i można je zastąpić pojedynczym wierzchołkiem i krawędzią (nie krawędzią F) łączącą go ze ścieżką smaku. Krawędzie F to krawędzie łączące ze sobą dwa cykle/ścieżki smaku (lub cykl/ścieżkę smaku do siebie). Interakcje wzdłuż cyklu/ścieżki smaku mają określony porządek cykliczny i reprezentują specjalny rodzaj wykresu, w którym kolejność krawędzi padających na wierzchołek ma znaczenie, ale tylko do permutacji cyklicznej, a ponieważ jest to teoria rzeczywistych skalarów, również odwrócenie kolejności (ale jeśli mamy SU(N) zamiast SU(2), odwrócenie kolejności nie jest ważne). Każdej krawędzi F przypisany jest pęd (przeniesienie pędu), a z każdym cyklem smakowym związana jest wewnętrzna całka pędu.

QCD

teoria cechowania SU(3) obejmująca gluony i kwarki . Kwarki lewoskrętne należą do reprezentacji trypletowej, prawoskrętne do reprezentacji antytrypletowej (po ich sprzężeniu z ładunkiem), a gluony do rzeczywistej reprezentacji sprzężonej . Krawędź kwarkowa ma przypisany kolor i orientację, a krawędź gluonowa ma przypisaną parę kolorów.

W dużym limicie N rozważamy tylko wyraz dominujący. Zobacz AdS/CFT .

G. 't Hooft (1974). „Teoria diagramów planarnych dla oddziaływań silnych” . Fizyka Jądrowa B. 72 (3): 461. Bibcode : 1974NuPhB..72..461T . doi : 10.1016/0550-3213(74)90154-0 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2006-10-11.