Proces punktu Poissona

Wizualne przedstawienie procesu punktu Poissona rozpoczynającego się od 0, w którym przyrosty następują w sposób ciągły i niezależny z szybkością λ .

W prawdopodobieństwie , statystyce i dziedzinach pokrewnych proces punktu Poissona jest rodzajem losowego obiektu matematycznego , który składa się z punktów rozmieszczonych losowo w przestrzeni matematycznej z zasadniczą cechą, że punkty występują niezależnie od siebie. Proces punktu Poissona jest często nazywany po prostu procesem Poissona , ale jest również nazywany miarą losową Poissona , polem punktu losowego Poissona lub polem punktu Poissona . Ten proces punktowy ma dogodne właściwości matematyczne, co doprowadziło do tego, że jest często definiowany w przestrzeni euklidesowej i używany jako model matematyczny dla pozornie losowych procesów w wielu dyscyplinach, takich jak astronomia , biologia , ekologia, geologia, sejsmologia , fizyka , ekonomia, przetwarzanie obrazu i telekomunikacja .

Proces ten został nazwany na cześć francuskiego matematyka Siméona Denisa Poissona , mimo że Poisson nigdy nie badał tego procesu. Jego nazwa wywodzi się z faktu, że jeśli zbiór losowych punktów w jakiejś przestrzeni tworzy proces Poissona, to liczba punktów w obszarze o skończonej wielkości jest zmienną losową o rozkładzie Poissona . Proces ten został odkryty niezależnie i wielokrotnie w kilku ustawieniach, w tym w eksperymentach z rozpadem promieniotwórczym, nadejściami połączeń telefonicznych i matematyką ubezpieczeniową.

Proces punktu Poissona jest często definiowany na prostej rzeczywistej , gdzie można go uznać za proces stochastyczny . W tym ustawieniu jest używany na przykład w teorii kolejek do modelowania zdarzeń losowych, takich jak przybycie klientów do sklepu, rozmowy telefoniczne na giełdzie lub występowanie trzęsień ziemi, rozłożonych w czasie. Na płaszczyźnie proces punktowy, znany również jako przestrzenny proces Poissona , może reprezentować położenie rozproszonych obiektów, takich jak nadajniki w sieci bezprzewodowej , cząsteczki zderzenia z detektorem lub drzewami w lesie. W tym ustawieniu proces ten jest często używany w modelach matematycznych i powiązanych dziedzinach przestrzennych procesów punktowych, geometrii stochastycznej , statystyk przestrzennych i teorii perkolacji kontinuum . Proces punktu Poissona można zdefiniować na bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach. Poza zastosowaniami proces punktu Poissona jest samodzielnym przedmiotem badań matematycznych. We wszystkich ustawieniach proces punktu Poissona ma tę właściwość, że każdy punkt jest stochastycznie niezależny do wszystkich innych punktów procesu, dlatego czasami nazywa się go procesem czysto lub całkowicie przypadkowym. Modelowanie systemu jako procesu Poissona jest niewystarczające, gdy oddziaływania punkt-punkt są zbyt silne (tj. punkty nie są stochastycznie niezależne). Taki system można lepiej modelować za pomocą innego procesu punktowego.

Proces punktowy zależy od pojedynczego obiektu matematycznego, który w zależności od kontekstu może być stałą , lokalnie całkowalną funkcją lub, w bardziej ogólnych ustawieniach, miarą Radona . W pierwszym przypadku stałą, zwaną szybkością lub intensywnością , jest średnia gęstość punktów procesu Poissona znajdujących się w jakimś obszarze przestrzeni. Wynikowy proces punktowy nazywany jest jednorodnym lub stacjonarnym procesem punktu Poissona . W drugim przypadku proces punktowy nazywa się an niejednorodny lub niejednorodny proces punktu Poissona , a średnia gęstość punktów zależy od położenia przestrzeni bazowej procesu punktu Poissona. Słowo punkt jest często pomijane, ale istnieją inne procesy Poissona obiektów, które zamiast punktów składają się z bardziej skomplikowanych obiektów matematycznych, takich jak linie i wielokąty , i takie procesy mogą być oparte na procesie punktu Poissona. Zarówno jednorodne, jak i niejednorodne procesy punktu Poissona są szczególnymi przypadkami uogólnionego procesu odnowy .

Przegląd definicji

W zależności od ustawienia proces ma kilka równoważnych definicji, a także definicje o różnej ogólności ze względu na wiele zastosowań i charakterystyk. Proces punktu Poissona można zdefiniować, zbadać i zastosować w jednym wymiarze, na przykład na linii rzeczywistej, gdzie można go interpretować jako proces zliczania lub część modelu kolejkowania; w wyższych wymiarach, takich jak płaszczyzna, gdzie odgrywa rolę w geometrii stochastycznej i statystyce przestrzennej ; lub na bardziej ogólnych przestrzeniach matematycznych. W związku z tym notacja, terminologia i poziom rygoru matematycznego używane do definiowania i badania procesu punktu Poissona i ogólnie procesów punktowych różnią się w zależności od kontekstu.

Mimo to proces punktu Poissona ma dwie kluczowe właściwości — właściwość Poissona i właściwość niezależności — które odgrywają zasadniczą rolę we wszystkich ustawieniach, w których stosowany jest proces punktu Poissona. Te dwie właściwości nie są logicznie niezależne; w rzeczywistości niezależność implikuje rozkład Poissona liczby punktów, ale nie odwrotnie.

Rozkład Poissona liczby punktów

Proces punktu Poissona charakteryzuje się rozkładem Poissona . Rozkład Poissona to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej (nazywanej $\ textstyle N}$ losową Poissona $)$ taki, że prawdopodobieństwo, że jest , jest określone wzorem: $displaystyle$

${\ Displaystyle \ Pr \ {N = n \} = {\ Frac {\ Lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ Lambda}}$

gdzie $n!}$$,$ oznacza silnię a parametr określa kształt rozkładu. (W rzeczywistości ${\ textstyle \ Lambda}$ jest równe oczekiwanej wartości ${\ textstyle N}$ .)

Z definicji proces punktowy Poissona ma tę właściwość, że liczba punktów w ograniczonym obszarze podstawowej przestrzeni procesu jest zmienną losową o rozkładzie Poissona.

Całkowita niezależność

Rozważ zbiór rozłącznych i ograniczonych podregionów leżącej u podstaw przestrzeni. Z definicji liczba punktów procesu punktu Poissona w każdym ograniczonym podregionie będzie całkowicie niezależna od wszystkich pozostałych.

Ta właściwość jest znana pod kilkoma nazwami, takimi jak całkowita losowość , całkowita niezależność lub niezależne rozpraszanie i jest wspólna dla wszystkich procesów punktu Poissona. Innymi słowy, brakuje interakcji między różnymi regionami i ogólnie punktami, co motywuje, że proces Poissona jest czasami nazywany procesem czysto lub całkowicie losowym.

Jednorodny proces punktu Poissona

$miarą Lebesgue'a ($ ma parametr w postaci gdzie jest znaczy przypisuje długość, $objętość do$$stałą$ ) i jest , wówczas proces punktowy nazywany jest jednorodnym lub stacjonarnym procesem punktowym Poissona. Parametr, zwany szybkością lub intensywnością , jest związany z oczekiwaną (lub średnią) liczbą punktów Poissona istniejących w pewnym ograniczonym obszarze, gdzie szybkość jest zwykle używany, gdy przestrzeń bazowa ma jeden wymiar. Parametr można interpretować jako średnią liczbę punktów na pewną jednostkę rozciągłości, taką jak $długość$ , powierzchnia, objętość lub czas, w zależności od podstawowej przestrzeni matematycznej, i jest również nazywany gęstością lub średnia stawka ; patrz Terminologia .

Interpretowane jako proces liczenia

Jednorodny proces punktu Poissona, rozpatrywany na dodatniej półprostej, można zdefiniować jako proces zliczania , rodzaj procesu stochastycznego, który można oznaczyć jako ${\ textstyle \ {N ( t), t\geq 0\}}$ . Proces liczenia reprezentuje całkowitą liczbę wystąpień lub zdarzeń, które miały miejsce do czasu włącznie ${\textstyle t}$ . Proces liczenia jest jednorodnym procesem liczenia Poissona ze współczynnikiem ${\ textstyle \ lambda > 0}$ jeśli ma następujące trzy właściwości:

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• ma niezależne przyrosty ; I
• liczba zdarzeń (lub punktów) w dowolnym przedziale długości ${\ textstyle \ lambda t}$ zmienną losową Poissona z parametrem (lub średnią) ${\ textstyle \ lambda t}$ .

Ostatnia właściwość implikuje:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [N (t)] = \ lambda t.}$

Innymi słowy, prawdopodobieństwo, że zmienna losowa jest równa ${\ textstyle N (t)}$ jest określone wzorem: $( t ) {\ textstyle N (t)}$

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (t) = n \} = {\ Frac {(\ lambda t) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda t}.}$

Proces liczenia Poissona można również zdefiniować, stwierdzając, że różnice czasowe między zdarzeniami procesu liczenia są zmiennymi wykładniczymi ze średnią ${\ textstyle 1/\ lambda}$ . Różnice czasowe między wydarzeniami lub przyjazdami są znane jako czasy między przyjazdami lub interwystępowaniami .

Interpretowane jako proces punktowy na linii rzeczywistej

Interpretowany jako proces punktowy , proces punktu Poissona można zdefiniować na linii rzeczywistej $, biorąc$ uwagę liczbę punktów procesu w przedziale ( jednorodnego procesu na linii rzeczywistej z parametrem $,$ że ta losowa liczba punktów, zapisywana tutaj jako , będzie równa pewnemu ${\ textstyle N (a, b]}$ liczba licząca jest dana przez: ${\textstyle n}$

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (a, b] = n \} = {\frac {[\lambda (ba)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (ba)},}$

Dla pewnej dodatniej liczby całkowitej jednorodny proces punktu Poissona ma skończony wymiarowy rozkład określony wzorem: ${\textstyle k}$

$\ Displaystyle \ Pr \ {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, \ kropki, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i} )},}$

gdzie liczby rzeczywiste $\ textstyle a_ {i}<b_ {i} \ równoważnik a_ {i + 1}}$ .

Innymi słowy, $\ textstyle \ lambda (ba$ zmienną losową Poissona ze średnią $}$ gdzie $textstyle a\leq b}$ Ponadto liczba punktów w dowolnych dwóch rozłącznych przedziałach, powiedzmy, ${\textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}$ i ${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$ są od siebie niezależne i rozciąga się to na dowolną skończoną liczbę rozłącznych przedziałów. W kontekście teorii kolejek można rozważyć punkt istniejący (w przedziale ) jako zdarzenie , ale różni $się$ to od słowa zdarzenie w sensie teorii prawdopodobieństwa.Wynika z tego, że jest oczekiwaną liczbą przybyć , które mają miejsce w jednostce czasu

Kluczowe właściwości

Poprzednia definicja ma ogólnie dwie ważne cechy wspólne dla procesów punktu Poissona:

• liczba przybyszów w każdym skończonym przedziale ma rozkład Poissona;
• liczba przybyszów w przedziałach rozłącznych jest niezależnymi zmiennymi losowymi.

Ponadto ma trzecią cechę związaną tylko z jednorodnym procesem punktu Poissona:

• $}$ liczby przybyć w każdym przedziale przedziału ${$ .

Innymi słowy, dla dowolnego skończonego ${\textstyle t>0}$ , zmienna losowa ${\textstyle eN (a+t,b+t]}$ jest niezależna od ${ \textstyle t}$ , dlatego jest również nazywany stacjonarnym procesem Poissona.

Prawo wielkich liczb

Wielkość $ja$$\textstyle (a_{i},b_{i}]}$$lub$ liczbę punktów , a mianowicie:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [N (a_ {i}, b_ {i}]] = \ lambda (b_ { i}-a_{i}),}$

gdzie $operator$ oczekiwań . _ Innymi $gęstością$ , parametr procesu Poissona pokrywa się z punktów . Co więcej, jednorodny proces punktu Poissona jest zgodny z własną formą (mocnego) prawa wielkich liczb. Dokładniej, z prawdopodobieństwem jeden:

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty}} {\ Frac {N (t)}} {t}} = \ lambda,}$

gdzie $oczekiwaną$ oznacza granicę funkcji, a liczbę przybyć w jednostce $.$

Właściwość bez pamięci

${\ textstyle 1/\ lambda}$ linii rzeczywistej będzie wykładniczą zmienną losową z parametrem (lub równoważnie średnią $)$ . Oznacza to, że punkty mają braku pamięci : istnienie jednego punktu istniejącego w skończonym przedziale nie wpływa na prawdopodobieństwo (rozkład) istnienia innych punktów, ale ta właściwość nie ma naturalnej równoważności, gdy proces Poissona jest zdefiniowany na przestrzeni z wyższe wymiary.

Porządek i prostota

O procesie punktowym ze stacjonarnymi przyrostami mówi się czasem, że jest uporządkowany lub regularny, jeśli:

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (t, t + \ delta ]> 1 \} = o (\ delta),}$

gdzie używana jest notacja little-o . Proces punktowy nazywany jest prostym procesem punktowym , gdy prawdopodobieństwo, że którykolwiek z jego dwóch punktów zbiegnie się w tej samej pozycji w przestrzeni bazowej, wynosi zero. W przypadku procesów punktowych ogólnie na linii rzeczywistej właściwość uporządkowania implikuje, że proces jest prosty, co ma miejsce w przypadku jednorodnego procesu punktowego Poissona.

Charakterystyka Martingale

Na linii rzeczywistej jednorodny proces punktu Poissona ma związek z teorią martyngałów poprzez następującą charakterystykę: proces punktowy jest jednorodnym procesem punktu Poissona wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle N (- \ infty, t] -t,}$

jest martyngałem.

Związek z innymi procesami

W rzeczywistości proces Poissona jest rodzajem ciągłego procesu Markowa , znanego jako proces narodzin , szczególnym przypadkiem procesu narodzin i śmierci (z tylko narodzinami i zerową liczbą zgonów). Bardziej skomplikowane procesy z właściwością Markowa , takie jak procesy przybycia Markowa , zostały zdefiniowane, gdzie proces Poissona jest przypadkiem szczególnym.

Ograniczony do połowy linii

Jeśli jednorodny proces Poissona jest rozważany tylko na półprostej, $co$ może mieć miejsce, gdy $textstyle t} reprezentuje czas$ wynikowy proces nie jest naprawdę niezmienny w trakcie tłumaczenia. W takim przypadku proces Poissona nie jest już stacjonarny, zgodnie z niektórymi definicjami stacjonarności.

Aplikacje

Było wiele zastosowań jednorodnego procesu Poissona na linii rzeczywistej, próbując modelować pozornie losowe i niezależne zachodzące zdarzenia. Odgrywa fundamentalną rolę w teorii kolejek , która jest polem prawdopodobieństwa rozwoju odpowiednich modeli stochastycznych do reprezentowania losowego nadejścia i odejścia pewnych zjawisk. Na przykład klienci przybywający i obsługiwani lub rozmowy telefoniczne przychodzące do centrali telefonicznej można badać za pomocą technik z teorii kolejek.

Uogólnienia

Jednorodny proces Poissona na linii rzeczywistej jest uważany za jeden z najprostszych procesów stochastycznych do liczenia losowych liczb punktów. Proces ten można uogólnić na wiele sposobów. Jednym z możliwych uogólnień jest rozszerzenie rozkładu czasów między przybyciem z rozkładu wykładniczego na inne rozkłady, co wprowadza proces stochastyczny znany jako proces odnowy . Innym uogólnieniem jest zdefiniowanie procesu punktu Poissona na przestrzeniach o wyższych wymiarach, takich jak płaszczyzna.

Przestrzenny proces punktu Poissona

Dalsze informacje: Całkowita losowość przestrzenna

Przestrzenny proces Poissona to proces punktu Poissona zdefiniowany na płaszczyźnie ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ . Aby zdefiniować matematycznie, $najpierw$ rozważa się ograniczony, otwarty lub zamknięty (a dokładniej mierzalny Borel obszar płaszczyzny. Liczba punktów procesu punktowego $displaystyle \ textstyle B \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2}}$ w tym regionie $\$ jest zmienną losową, oznaczoną przez ${\ Displaystyle \ textstyle N (B)}$ . ${\ displaystyle \ textstyle n}$ punkty należą do jednorodnego procesu Poissona z parametrem , to prawdopodobieństwo istnienia punktów w ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda >$$}$ jest określone przez :

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (B) = n \} = {\ Frac {(\ lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda | B|}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ textstyle | B|}$ oznacza obszar ${\ Displaystyle \ textstyle B}$ .

Dla pewnej skończonej liczby całkowitej możemy podać skończony wymiarowy rozkład jednorodnego procesu punktu Poissona, rozważając najpierw zbiór rozłącznych, ograniczonych zbiorów $mierzalnych$${\ Displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ kropki, B_ {k}$ } Liczbę punktów procesu punktowego istniejących w $}$ zapisać jako $textstyle N$${\ Displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$ . Wtedy jednorodny proces punktu Poissona z parametrem ma rozkład skończonych wymiarów: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda > 0}$

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ kropki, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Aplikacje

Według jednego z badań statystycznych pozycje stacji bazowych telefonii komórkowej lub komórkowej w australijskim mieście Sydney na powyższym zdjęciu przypominają realizację jednorodnego procesu punktu Poissona, podczas gdy w wielu innych miastach na całym świecie tak nie jest, a inne procesy punktowe są wymagany.

Przestrzenny proces punktu Poissona zajmuje ważne miejsce w statystyce przestrzennej , geometrii stochastycznej i teorii perkolacji kontinuum . Ten proces punktowy jest stosowany w różnych naukach fizycznych, takich jak model opracowany do wykrywania cząstek alfa. W ostatnich latach była często wykorzystywana do modelowania pozornie nieuporządkowanych konfiguracji przestrzennych niektórych bezprzewodowych sieci komunikacyjnych. Na przykład opracowano modele sieci telefonii komórkowej lub komórkowej, w których zakłada się, że nadajniki sieci telefonicznej, znane jako stacje bazowe, są rozmieszczone zgodnie z jednorodnym procesem punktu Poissona.

Zdefiniowane w wyższych wymiarach

Poprzedni jednorodny proces punktu Poissona natychmiast rozciąga się na wyższe wymiary, zastępując pojęcie obszaru (wysokowymiarową) objętością. Dla $displaystyle$ ograniczonego regionu przestrzeni euklidesowej , jeśli punkty tworzą jednorodny proces Poissona z parametrem $\ textstyle \ textstyle B {$$\ textstyle B } \ lambda > 0}$ prawdopodobieństwo $istnienia$ punktów w ${\ Displaystyle \ textstyle B \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {d}}$ jest dana przez:

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (B) = n \} = {\ Frac {(\ lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda | B|}}$

gdzie $\ displaystyle \ textstyle | B|}$${$ oznacza teraz -wymiarową objętość $\ displaystyle \ textstyle B}$ . Ponadto dla zbioru rozłącznych, ograniczonych zbiorów borelowskich ${\ Displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ kropki, B_ {k} \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {d}}$$\ textstyle N (B_ {i})}$ Displaystyle oznaczyć liczbę punktów $\ textstyle N}$ w ${\ displaystyle$ . Wtedy odpowiedni jednorodny proces punktu Poissona z parametrem ma rozkład skończonych wymiarów: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda > 0}$

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ kropki, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Jednorodne procesy punktu Poissona nie zależą od położenia przestrzeni bazowej poprzez jej parametr , co oznacza, że ​​jest to zarówno proces stacjonarny (niezmienny względem translacji), jak i izotropowy (niezmienny względem obrotu) proces stochastyczny ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$ . Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, jednorodny proces punktowy jest ograniczony do pewnego ograniczonego podzbioru $,$ w zależności od niektórych definicji stacjonarności proces nie jest już stacjonarny.

Punkty są równomiernie rozłożone

Jeżeli jednorodny proces punktowy zdefiniujemy na prostej rzeczywistej jako model matematyczny występowania jakiegoś zjawiska, to ma on tę właściwość, że położenia tych wystąpień lub zdarzeń na prostej rzeczywistej (często interpretowanej jako czas) będą równomiernie rozłożone. Dokładniej, jeśli zdarzenie ma miejsce (zgodnie z tym procesem) w przedziale ${\ Displaystyle \ textstyle (a, b]}$ gdzie ${\ Displaystyle \ textstyle a \ leq b}$ , to jego lokalizacja będzie jednolitą zmienną losową zdefiniowaną w tym przedziale. Ponadto jednorodny proces punktowy jest czasami nazywany jednolitym procesem punktowym Poissona (patrz Terminologia ). Ta właściwość jednorodności rozciąga się na wyższe wymiary we współrzędnych kartezjańskich, ale nie na przykład we współrzędnych biegunowych.

Niejednorodny proces punktu Poissona

Wykres niejednorodnego procesu punktu Poissona na linii rzeczywistej. $czerwono$ czarnymi krzyżykami, tempo zależne od czasu określa funkcja oznaczona na

Niejednorodny lub niejednorodny proces punktu Poissona (patrz Terminologia ) to proces punktu Poissona z parametrem Poissona ustawionym jako pewna zależna od lokalizacji funkcja w podstawowej przestrzeni, w której zdefiniowany jest proces Poissona . przypadku przestrzeni euklidesowej $R$ lokalnie całkowalnej funkcji dodatniej ${\ Displaystyle \ lambda \ okrężnica \ mathbb {R} ^ {d} \ do [0, \ infty)}$ tak, że dla każdego ograniczonego regionu ${\ Displaystyle \ textstyle B}$ ( ${\ Displaystyle \ textstyle d}$ -wymiarowa $objętościowa$ po skończona $_$ Innymi słowy, jeśli ta całka, oznaczona przez , to: ${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ operatorname {d} x <\ infty,}$

gdzie ${d} x}}$$operatorname$ jest elementem objętości ( ) elementem objętości, to dla każdego zbioru rozłącznych ograniczonych borelowskich mierzalnych zbiorów ${\ Displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ kropki, B_ {k}}$ , niejednorodny proces Poissona z funkcją (intensywności) ma rozkład skończonych wymiarów ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$ :

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ kropki, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

Ponadto interpretuje się jako oczekiwaną liczbę punktów procesu Poissona zlokalizowanych w ograniczonym regionie, a mianowicie $Lambda ($${\ Displaystyle \ textstyle \$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = \ nazwa operatora {E} [N (B)].}$

Zdefiniowane na linii rzeczywistej

Na linii rzeczywistej niejednorodny lub niejednorodny proces punktu Poissona ma średnią miarę określoną przez całkę jednowymiarową. Dla dwóch liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle \ textstyle$ i $b}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ textstyle a \ równoważnik b}$ , oznacz przez ${\ Displaystyle \ textstyle N(a,b]}$ liczba punktów niejednorodnego procesu Poissona z funkcją intensywności ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda (t)}$ występujące w przedziale ${\ Displaystyle \ textstyle (a, b]}$ . Prawdopodobieństwo istnienia punktów w powyższym przedziale ${\ Displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle n}$ jest podane przez:

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (a, b] = n \} = {\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

gdzie średnia lub miara intensywności to:

${\ Displaystyle \ Lambda (a, b) = \ int _ {a} ^ {b} \ lambda (t) \, \ operatorname {d} T,}$

$displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$ że ​​zmienna losowa zmienną losową $ze$$N$ .

Cechą ustawienia jednowymiarowego jest to, że niejednorodny proces Poissona można przekształcić w jednorodny przez monotoniczną transformację lub odwzorowanie, co uzyskuje się za pomocą odwrotności ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$ .

Interpretacja procesu liczenia

Niejednorodny proces punktu Poissona, rozpatrywany na dodatniej półprostej, jest czasami definiowany jako proces zliczania. Przy tej $,$ proces, który jest czasami zapisywany liczbę zdarzały się do czasu włącznie ${\ displaystyle \ textstyle t}$ . Mówi się, że proces liczenia jest niejednorodnym procesem liczenia Poissona, jeśli ma cztery właściwości:

• ${\ Displaystyle \ textstyle N (0) = 0;}$
• ma niezależne przyrosty ;
• ${\ Displaystyle \ textstyle \ Pr \ {N (t + h) -N (t) = 1 \} = \ lambda (t) h + o (h);}$ i
• ${\ Displaystyle \ textstyle \ Pr \ {N (t + h) -N (t) \ geq 2 \} = o ( H),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ textstyle o (h) / h \$ asymptotyczną lub mało o dla $h$ as $\textstyle h\rightarrow 0$. In the case of point processes with refractoriness (e.g., neural spike trains) a stronger version of property 4 applies: ${\ Displaystyle \ Pr \ {N (t + h) -N (t) \ geq 2 \} = o (h ^ {2})}$ .

Powyższe właściwości implikują, że jest zmienną losową Poissona z parametrem (lub średnią) ${\ Displaystyle \ textstyle N (t + h) -N (t)}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [N (t + h) -N (t)] = \int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,}$

co implikuje

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [N (h)] = \ int _ {0} ^ {h} \ lambda (s) \, ds.}$

Przestrzenny proces Poissona

Niejednorodny proces Poissona zdefiniowany na płaszczyźnie $,$ jest przestrzennym procesem Poissona. Jest zdefiniowany za pomocą funkcji wykonując całkę powierzchniową jego intensywności funkcjonować w jakimś regionie. Na przykład jego funkcja intensywności (jako funkcja współrzędnych kartezjańskich i ) może być ${\ textstyle x}$ i ${\ displaystyle \ textstyle y}$

${\ Displaystyle \ lambda (x, y) = e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})},}$

więc odpowiednia miara intensywności jest określona przez całkę powierzchniową

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ { 2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

gdzie jest pewnym ograniczonym $regionem$ na płaszczyźnie $R} ^ {2}}$ .

W wyższych wymiarach

Na płaszczyźnie ${\ textstyle \ Lambda (B)}$ odpowiada całce powierzchniowej, podczas gdy na ${$ całka staje się za ( $textstyle d}$ -wymiarowa) całka objętościowa.

Aplikacje

Kiedy linia rzeczywista jest interpretowana jako czas, proces niejednorodny jest używany w dziedzinie procesów zliczania i teorii kolejek. Przykłady zjawisk, które były reprezentowane przez niejednorodny proces punktu Poissona lub pojawiają się jako niejednorodny proces punktu Poissona, obejmują:

• Strzelanie goli w meczu piłki nożnej.
• Wady na płytce drukowanej

Na płaszczyźnie proces punktu Poissona jest ważny w pokrewnych dyscyplinach geometrii stochastycznej i statystyki przestrzennej. Miara intensywności tego procesu punktowego zależy od położenia przestrzeni pod spodem, co oznacza, że ​​można jej użyć do modelowania zjawisk o gęstości, która zmienia się w pewnym regionie. Innymi słowy, zjawiska można przedstawić jako punkty o gęstości zależnej od lokalizacji. Proces ten był wykorzystywany w różnych dyscyplinach, a zastosowania obejmują badanie łososi i wszy morskich w oceanach, leśnictwo i problemy z poszukiwaniami.

Interpretacja funkcji intensywności

Funkcja intensywności Poissona $ma$ interpretację, uważaną za intuicyjną, ${\ textstyle \ lambda (x) \ \ \ mathrm {d} x}$$x$ sensie jest nieskończenie małym prawdopodobieństwem punktu procesu punktu Poissona istniejącego w obszarze przestrzeni o objętości ${\ textstyle \ operatorname {d} x}$ znajduje się w ${\ textstyle x}$ .

Na przykład, biorąc pod uwagę jednorodny proces punktu Poissona na linii rzeczywistej, prawdopodobieństwo znalezienia pojedynczego punktu procesu w małym przedziale szerokości wynosi około $\ lambda \ delta}$$textstyle$ . W rzeczywistości taka intuicja polega na tym, jak czasami wprowadza się proces punktu Poissona i wyprowadza się jego rozkład.

Prosty proces punktowy

Jeśli proces punktu Poissona ma miarę intensywności, która jest lokalnie skończona i rozproszona (lub nieatomowa), to jest to prosty proces punktowy . W przypadku prostego procesu punktowego prawdopodobieństwo istnienia punktu w pojedynczym punkcie lub lokalizacji w podstawowej przestrzeni (stanów) wynosi zero lub jeden. Oznacza to, że z prawdopodobieństwem jeden żadne dwa (lub więcej) punkty procesu punktu Poissona nie pokrywają się w położeniu w leżącej poniżej przestrzeni.

Symulacja

Symulacja procesu punktu Poissona na komputerze jest zwykle wykonywana w ograniczonym obszarze przestrzeni, znanym jako okno symulacji , i wymaga dwóch kroków: odpowiedniego utworzenia losowej liczby punktów, a następnie odpowiedniego rozmieszczenia punktów w losowy sposób. Oba te dwa kroki zależą od konkretnego symulowanego procesu punktu Poissona.

Krok 1: Liczba punktów

Liczba punktów $,$ oknie, oznaczona tutaj przez $.$ musi zostać zasymulowana, co odbywa się za pomocą (pseudo) - funkcji generującej liczby losowe zdolnej do symulowania zmiennych losowych Poissona

Homogeniczny przypadek

$Dla$ jednorodnego przypadku ze stałą $,$ zmiennej losowej Poissona ustawiona na ${\textstyle \lambda |W|}$ gdzie $| W |}$$-wymiarowa$ to długość, powierzchnia lub ( ) objętość ${\ textstyle W}$ .

Niejednorodny przypadek

Dla przypadku niejednorodnego ${\textstyle \ lambda |W|}$ zostaje zastąpione całką objętościową ( ${\textstyle d}$ -wymiarowa)

${\ Displaystyle \ Lambda (W) = \ int _ {W} \ lambda (x) \, \ operatorname {d} x}$

Krok 2: Pozycjonowanie punktów

Drugi etap wymaga $losowego$$umieszczenia$ oknie .

Homogeniczny przypadek

W przypadku jednorodnego w jednym wymiarze wszystkie punkty są równomiernie i niezależnie umieszczone w oknie lub przedziale. ${\ displaystyle \ textstyle W}$ . W przypadku $oknie$ wymiarów w kartezjańskim układzie współrzędnych każda współrzędna jest równomiernie i niezależnie umieszczana w . Jeśli okno nie jest podprzestrzenią przestrzeni kartezjańskiej (na przykład wewnątrz sfery jednostkowej lub na powierzchni sfery jednostkowej), wówczas punkty nie będą równomiernie rozmieszczone w i odpowiednia zmiana W $\ displaystyle \ textstyle W}$ potrzebne są współrzędne (z kartezjańskiego).

Niejednorodny przypadek

$.$ zastosować kilka różnych metod w zależności od funkcji Jeśli funkcja intensywności jest wystarczająco prosta, to można wygenerować niezależne i losowe niejednorodne (kartezjańskie lub inne) współrzędne punktów. Na przykład symulację procesu punktu Poissona w okrągłym oknie można przeprowadzić dla funkcji intensywności izotropowej (we współrzędnych biegunowych $displaystyle$ θ $\ textstyle \ theta}$ ), co sugeruje, że jest to wariant rotacyjny lub niezależny od, $r}$ zależny od zmiany zmiennej w $,$$textstyle$ funkcja intensywności jest wystarczająco proste.

W przypadku bardziej skomplikowanych funkcji intensywności można zastosować metodę akceptacji-odrzucenia , która polega na wykorzystaniu (lub „akceptacji”) tylko niektórych przypadkowych punktów i nie wykorzystaniu (lub „odrzuceniu”) innych punktów, w oparciu o stosunek:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ lambda (x_ {i})} {\ Lambda (W)}} = {\ Frac {\ lambda (x_ {i})} {\ int _ {W} \ lambda (x) \,\mathrm {d} x.}}}$

gdzie $akceptacji$ lub odrzuceniu.

Ogólny proces punktu Poissona

$punktu$ Poissona można dalej uogólnić na tak zwany ogólny proces punktu Poissona lub ogólny proces Poissona za pomocą miary Radona która jest miarą lokalnie skończoną. Ogólnie rzecz biorąc, ta miara Radona może być atomowa, co oznacza, że ​​​​wiele punktów procesu punktu Poissona może istnieć w tym samym miejscu w przestrzeni bazowej. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$ W tej sytuacji liczba punktów w ${\ displaystyle \ textstyle x}$ jest zmienną losową Poissona ze średnią . ${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda ({x})}$ . Ale czasami zakłada się odwrotność, więc miara Radona $.$ rozproszona lub nieatomowa

Proces punktowy jest ogólnym procesem punktowym Poissona o intensywności, jeśli ma dwie następujące właściwości: $N}}$$displaystyle \ textstyle {$

• liczba punktów w ograniczonym zbiorze borelowskim $\$ zmienną losową Poissona ze średnią $textstyle \ Lambda (B)}$ . Innymi słowy, oznacz całkowitą liczbę punktów znajdujących się w , a $)$${\ displaystyle \ textstyle {N$ zmiennej losowej $} displaystyle \textstyle {N}(B)}$ jest równe ${\ Displaystyle \ textstyle n}$ jest dana przez:

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (B) = n \} = {\ Frac {(\ Lambda (B)) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ Lambda ( b)}}$

• liczba punktów w rozłącznych zestawach borelowskich form $n}$$textstyle$ niezależne zmienne losowe.

Miara Radona $,$$textstyle \ Lambda}$ interpretację jako oczekiwaną liczbę punktów znajdujących się w ograniczonym regionie a mianowicie $\$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = \ nazwa operatora {E} [N (B)].}$

Ponadto, jeśli jest absolutnie ciągły, tak że ma gęstość (która jest gęstością lub pochodną Radona-Nikodyma ) $B$ odniesieniu do miary Lebesgue'a, to dla wszystkich zbiorów Borela $\ displaystyle \ textstyle B}$ można zapisać jako:

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \ \ operatorname {d} x,}$

$gdzie$ gęstość znana między innymi jako

Historia

Rozkład Poissona

Pomimo swojej nazwy proces punktu Poissona nie został odkryty ani zbadany przez francuskiego matematyka Siméona Denisa Poissona ; nazwa jest cytowana jako przykład prawa Stiglera . Nazwa wywodzi się z nieodłącznego związku z rozkładem Poissona , wyprowadzonym przez Poissona jako ograniczający przypadek rozkładu dwumianowego . Opisuje to prawdopodobieństwo sumy $textstyle$ Bernoulliego z prawdopodobieństwem $p}$ , często porównywane do liczby orłów (lub reszek) po $p$ rzutach monetą, przy czym prawdopodobieństwo wystąpienia orła (lub reszki) wynosi $textstyle p}$ \ . Dla pewnej dodatniej stałej $Lambda > 0}$ rośnie $displaystyle$ kierunku nieskończoności i maleje do zera, tak że iloczyn $\ textstyle \$${\ displaystyle \ textstyle np = \ Lambda}$ jest naprawiony, rozkład Poissona jest bardziej zbliżony do rozkładu dwumianowego.

$.$ , Badając rozkład dwumianowy w granicach $do$ zera ) i (do nieskończoności) Pojawia się tylko raz w całej pracy Poissona, a wynik nie był dobrze znany w jego czasach. W następnych latach wiele osób korzystało z dystrybucji bez cytowania Poissona, w tym Philipp Ludwig von Seidel i Ernst Abbe . Pod koniec XIX wieku Władysław Bortkiewicz ponownie zbadałby rozkład w innym układzie (cytując Poissona), używając rozkładu z rzeczywistymi danymi do zbadania liczby zgonów spowodowanych kopnięciami z konia w armii pruskiej .

Odkrycie

Istnieje wiele twierdzeń dotyczących wczesnych zastosowań lub odkryć procesu punktu Poissona. Na przykład John Michell w 1767 r., Dziesięć lat przed narodzinami Poissona, interesował się prawdopodobieństwem, że gwiazda znajduje się w pewnym obszarze innej gwiazdy, zakładając, że gwiazdy zostały „rozproszone przez zwykły przypadek” i zbadał przykład składający się z sześć najjaśniejszych gwiazd w Plejadach , bez wyprowadzania rozkładu Poissona. Ta praca zainspirowała Simona Newcomba zbadać problem i obliczyć rozkład Poissona jako przybliżenie rozkładu dwumianowego w 1860 roku.

Na początku XX wieku proces Poissona (w jednym wymiarze) pojawiał się niezależnie w różnych sytuacjach. W Szwecji w 1903 r. Filip Lundberg opublikował rozprawę zawierającą pracę, obecnie uważaną za fundamentalną i pionierską, w której zaproponował modelowanie roszczeń ubezpieczeniowych za pomocą jednorodnego procesu Poissona.

W Danii w 1909 r. nastąpiło kolejne odkrycie, kiedy AK Erlang wyprowadził rozkład Poissona, opracowując model matematyczny liczby przychodzących połączeń telefonicznych w skończonym przedziale czasu. Erlang nie był wówczas świadomy wcześniejszych prac Poissona i założył, że połączenia telefoniczne z numerów przychodzących w każdym przedziale czasu są od siebie niezależne. Następnie znalazł przypadek graniczny, który skutecznie przekształca rozkład Poissona jako granicę rozkładu dwumianowego.

W 1910 roku Ernest Rutherford i Hans Geiger opublikowali eksperymentalne wyniki liczenia cząstek alfa. Ich eksperymentalna praca miała matematyczny wkład Harry'ego Batemana , który wyprowadził prawdopodobieństwa Poissona jako rozwiązanie rodziny równań różniczkowych, chociaż rozwiązanie zostało wyprowadzone wcześniej, co doprowadziło do niezależnego odkrycia procesu Poissona. Po tym czasie było wiele badań i zastosowań procesu Poissona, ale jego wczesna historia jest skomplikowana, co zostało wyjaśnione różnymi zastosowaniami tego procesu w wielu dziedzinach przez biologów, ekologów, inżynierów i różnych fizyków.

Wczesne aplikacje

Lata po 1909 roku doprowadziły do ​​wielu badań i zastosowań procesu punktu Poissona, jednak jego wczesna historia jest złożona, co zostało wyjaśnione różnymi zastosowaniami tego procesu w wielu dziedzinach przez biologów, ekologów, inżynierów i inne osoby pracujące w nauki fizyczne . Wczesne wyniki zostały opublikowane w różnych językach iw różnych ustawieniach, bez stosowania standardowej terminologii i notacji. Na przykład w 1922 roku szwedzki chemik i laureat Nagrody Nobla Theodor Svedberg zaproponowali model, w którym przestrzenny proces punktu Poissona jest procesem leżącym u podstaw badania rozmieszczenia roślin w zbiorowiskach roślinnych. Wielu matematyków zaczęło badać ten proces na początku lat trzydziestych XX wieku, a ważny wkład wnieśli między innymi Andriej Kołmogorow , William Feller i Aleksandr Khinchin . W dziedzinie inżynierii teletraffic matematycy i statystycy badali i stosowali Poissona i inne procesy punktowe.

Historia terminów

Szwed Conny Palm w swojej rozprawie z 1943 roku badał Poissona i inne procesy punktowe w układzie jednowymiarowym, badając je pod kątem statystycznej lub stochastycznej zależności między punktami w czasie. W jego pracy istnieje pierwsze znane odnotowane użycie terminu procesy punktowe jako Punktprozesse w języku niemieckim.

Uważa się, że William Feller jako pierwszy w druku nazwał to procesem Poissona w artykule z 1940 roku. Chociaż Szwed Ove Lundberg użył terminu proces Poissona w swojej rozprawie doktorskiej z 1940 r., W której Feller został uznany za wpływowego, twierdzono, że Feller ukuł ten termin przed 1940 r. Zauważono, że zarówno Feller, jak i Lundberg używali tego terminu jako chociaż był dobrze znany, co sugeruje, że był już wtedy używany w mowie. Feller pracował od 1936 do 1939 wraz z Haraldem Cramérem na Uniwersytecie Sztokholmskim , gdzie Lundberg był doktorantem pod kierunkiem Craméra, który nie użył terminu proces Poissona w swojej książce, ukończonej w 1936 r., Ale zrobił to w kolejnych wydaniach, co doprowadziło do spekulacji, że termin proces Poissona powstał gdzieś między 1936 r. i 1939 na Uniwersytecie Sztokholmskim.

Terminologia

Ogólnie terminologia teorii procesów punktowych była krytykowana za zbyt zróżnicowaną. Oprócz często pomijanego słowa punkt , jednorodny proces Poissona (punktowy) jest również nazywany stacjonarnym procesem Poissona (punktowym), jak również jednolitym procesem Poissona (punktowym). Niejednorodny proces punktu Poissona, jak również nazywany niejednorodnym , jest również określany jako niestacjonarny proces Poissona.

Termin proces punktowy był krytykowany, ponieważ termin proces może sugerować w czasie i przestrzeni, a więc losowe pole punktowe , w wyniku czego używane są również terminy pole losowego punktu Poissona lub pole punktu Poissona . Proces punktowy jest uważany i czasami nazywany miarą zliczania losowego, stąd proces punktowy Poissona jest również określany jako miara losowa Poissona , termin używany w badaniu procesów Lévy'ego, ale niektórzy decydują się na użycie tych dwóch terminów dla Poissona procesy punktowe zdefiniowane na dwóch różnych bazowych przestrzeniach.

Przestrzeń matematyczna leżąca u podstaw procesu punktu Poissona nazywana jest przestrzenią nośną lub przestrzenią stanu , chociaż ten ostatni termin ma inne znaczenie w kontekście procesów stochastycznych. W kontekście procesów punktowych termin „przestrzeń stanów” może oznaczać przestrzeń, w której zdefiniowany jest proces punktowy, taką jak linia rzeczywista, która odpowiada zestawowi indeksów lub zestawowi parametrów w terminologii procesów stochastycznych.

Miara nazywana jest miarą intensywności , miarą średnią lub $miarą$ parametru ponieważ nie ma standardowych terminów. Jeśli $nazywa$ pochodną lub gęstość, oznaczoną przez $,$ się intensywności punktu W przypadku jednorodnego procesu punktu Poissona pochodna miary intensywności jest po prostu stałą ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda > 0}$ , które można nazwać szybkością , zwykle gdy przestrzeń bazowa jest linią rzeczywistą lub intensywnością . Nazywa się to również średnią szybkością lub średnią gęstością lub szybkością . Dla $)$ procesu jest czasami nazywany standardowym procesem Poissona .

Zakres procesu punktu Poissona jest czasami nazywany ekspozycją .

Notacja

Główny artykuł: Notacja procesu punktowego

Notacja procesu punktu Poissona zależy od jego ustawienia i dziedziny, w której jest stosowana. Na przykład na linii rzeczywistej proces Poissona, zarówno jednorodny, jak i niejednorodny, jest czasami interpretowany jako proces zliczania, a notacja ${\ Displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$ służy do reprezentowania procesu Poissona.

Innym powodem zróżnicowanej notacji jest teoria procesów punktowych, która ma kilka matematycznych interpretacji. Na przykład prosty proces punktu Poissona można uznać za zbiór losowy, $\ displaystyle \ textstyle x$ sugeruje notację , co sugeruje, że jest losowym punktem należącym do $\ in N}$ lub będąc elementem procesu punktu Poissona ${\ displaystyle \ textstyle N}$ . Inną, bardziej ogólną interpretacją jest rozważenie Poissona lub dowolnego innego procesu punktowego jako losowej miary zliczania, więc można zapisać liczbę punktów procesu punktu Poissona, które zostały znalezione lub zlokalizowane w ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ jakiś (mierzalny borelowski) region jako $b$${\ displaystyle \ textstyle N (B)}$ zmienną losową. Te różne interpretacje skutkują stosowaniem notacji z dziedzin matematycznych, takich jak teoria miary i teoria mnogości.

W przypadku ogólnych procesów punktowych czasami dołączany jest indeks dolny symbolu punktu, na przykład , więc pisze się (z ustaloną notacją) $textstyle$$x_ {i} \ in$ zamiast ${\ Displaystyle \ textstyle x \ in N}$ i można użyć ${\ Displaystyle \ textstyle x} dla$ zmiennej powiązanej w wyrażeniach całkowych, takich jak twierdzenie Campbella, zamiast oznaczania losowych punktów. Czasami wielka litera oznacza proces punktowy, podczas gdy mała litera oznacza punkt z procesu, więc na przykład punkt należy ${\ displaystyle \ textstyle x}$ lub ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$ jest punktem procesu punktowego i być zapisanym w notacji zestawu jako ${\ Displaystyle \ textstyle x \ in$$X$ lub ${\ Displaystyle \ textstyle x_ {i} \ w X}$ .

Co więcej, teoria mnogości i notacja teorii całki lub teorii miary mogą być używane zamiennie. Na przykład dla procesu punktowego zdefiniowanego w euklidesowej przestrzeni stanów i funkcji (mierzalnej) $\textstyle f}$$R} ^ {d}}}$$Displaystyle \ textstyle {\ mathbb$${$ na wyrażenie ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} f (x) \, \ operatorname { d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),}$

demonstruje dwa różne sposoby pisania podsumowania procesu punktowego (patrz także twierdzenie Campbella (prawdopodobieństwo) ). Mówiąc dokładniej, zapis całkowy po lewej stronie interpretuje proces punktowy jako losową miarę zliczania, podczas gdy suma po prawej stronie sugeruje interpretację zbioru losowego.

Funkcjonały i miary momentów

W teorii prawdopodobieństwa operacje są stosowane do zmiennych losowych w różnych celach. Czasami te operacje są regularnymi oczekiwaniami, które dają średnią lub wariancję zmiennej losowej. Inne, takie jak funkcje charakterystyczne (lub transformaty Laplace'a) zmiennej losowej, mogą być użyte do jednoznacznej identyfikacji lub scharakteryzowania zmiennych losowych i udowodnienia wyników, takich jak centralne twierdzenie graniczne. W teorii procesów punktowych istnieją analogiczne narzędzia matematyczne, które zazwyczaj występują w postaci miar i funkcjonałów zamiast odpowiednio momentów i funkcji.

Funkcjonały Laplace'a

Dla procesu punktu Poissona z miarą intensywności funkcjonał Laplace'a jest określony wzorem: $}$${\ displaystyle \ textstyle$

${\ Displaystyle L_ {N} (f) = e ^ {- \ int _ {\ mathbb {R } ^{d}}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

${\ Displaystyle L_ {N} (f) = e ^ {- \ lambda \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} (1-e ^ {- f (x)}) \, \ operatorname {d } X}.}$

Jedna wersja twierdzenia Campbella obejmuje funkcjonał Laplace'a procesu punktu Poissona.

Funkcjonały generujące prawdopodobieństwo

Funkcja generująca prawdopodobieństwo nieujemnej zmiennej losowej o wartościach całkowitych prowadzi do analogicznego definiowania funkcjonału generującego prawdopodobieństwo w odniesieniu do dowolnej nieujemnej ograniczonej funkcji ${\ displaystyle \ textstyle v}$ on ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb { R} ^ {d}}$ takie, że ${\ Displaystyle \ textstyle 0 \ równoważnik v (x) \ równoważnik 1}$ . Dla procesu punktowego funkcjonał generujący prawdopodobieństwo jest zdefiniowany jako: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ Displaystyle G (v) = \ nazwa operatora {E} \ lewo [\ prod _ {x \ w N} v (x) \ prawo]}$

gdzie iloczyn jest wykonywany dla wszystkich punktów w ${\textstyle N}$ . Jeśli miara intensywności $zdefiniowana$ lokalnie $skończona$ , to $jest$ dla dowolnej $u}$$funkcji$ na ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ . Dla procesu punktu Poissona z miarą intensywności ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$ funkcjonał generujący jest określony przez:

${\ Displaystyle G (v) = e ^ {- \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} [1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

co w przypadku jednorodnym sprowadza się do

${\ Displaystyle G (v) = e ^ {- \ lambda \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} [1-v (x)] \, \ operatorname {d} x}.}$

Miara momentu

Dla ogólnego procesu punktu Poissona z miarą intensywności pierwszą miarą momentu jest jego miara intensywności: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle M ^ {1} (B) = \ Lambda (B)}$

co dla jednorodnego procesu punktu Poissona o stałej intensywności oznacza: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

$\ Displaystyle M ^ {1} (B) = \ lambda | B |,}$

gdzie ${\ displaystyle \ textstyle | B|}$ to długość, powierzchnia lub objętość (lub bardziej ogólnie miara Lebesgue'a ) ${\ displaystyle \ textstyle B}$ .

Równanie Meckego

Równanie Meckego charakteryzuje proces punktu Poissona. Niech $będzie$ wszystkich $.$ na jakiejś $przestrzeni$ Proces punktowy $jest$ intensywnością $funkcji$$×$ punktu Poissona wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich ${\ Displaystyle f: {\ mathcal {Q}} \ razy \ mathbb {N} _ {\ sigma} \ do \ mathbb {R} _ {+}} co$ następuje

${\ Displaystyle \ Pr \ lewo [\ int f (x, \ eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

Aby uzyskać więcej informacji, zob.

Czynnikowa miara momentu

Dla ogólnego procesu punktu Poissona z miarą intensywności -ta czynnikowa miara momentu jest wyrażona równaniem: $\ Lambda}$$textstyle$

${\ Displaystyle M ^ {(n)} (B_ {1} \ razy \ cdots \ razy B_ { n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

gdzie jest miarą intensywności lub miarą pierwszej chwili , która dla pewnego zbioru Borela $\ displaystyle \ textstyle \$ dana przez $}$${$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) = M ^ {1} (B) = \ nazwa operatora {E} [N (B)].}$

Dla jednorodnego procesu punktu Poissona -ta czynnikowa miara momentu to po prostu: ${\ displaystyle \ textstyle n}$

$\ Displaystyle M ^ {(n)} (B_ {1} \ razy \ cdots \ razy B_ {n}) = \ lambda ^ {n} \ prod _ {i = 1} ^ {n} | B_ {i }|,}$

gdzie ${\ displaystyle \ textstyle | B_ {i}|}$ to długość, powierzchnia lub objętość (lub bardziej ogólnie miara Lebesgue'a ) ${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$ . Ponadto, ${\ displaystyle \ textstyle n}$ wynosi: n {\ displaystyle \ textstyle n}

${\ Displaystyle \ mu ^ {(n)} (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) = \ lambda ^ {n}.}$

Funkcja unikania

Funkcja unikania lub $,$ nieważności procesu punktowego $textstyle$ zdefiniowana w odniesieniu do pewnego zbioru który jest podzbiorem $B}$ przestrzeń bazowa $N$$textstyle$ prawdopodobieństwo, że żadne punkty nie istnieją w { ${N}}$ . Dokładniej, dla zestawu testowego ${\ displaystyle \ textstyle B}$ funkcja unikania jest dana przez:

${\ Displaystyle v (B) = \ Pr \ {N (B) = 0 \}.}$

Dla ogólnego procesu punktu Poissona z miarą intensywności jego funkcja unikania jest dana wzorem: $N}}$$\ textstyle {$

${\ Displaystyle v (B) = e ^ {- \ Lambda (B)}}$

Twierdzenie Rényiego

Proste procesy punktowe są całkowicie scharakteryzowane przez ich puste prawdopodobieństwo. Innymi słowy, pełna informacja o prostym procesie punktowym jest całkowicie uchwycona w jego prawdopodobieństwach pustych, a dwa proste procesy punktowe mają takie same prawdopodobieństwa nieważne wtedy i tylko wtedy, gdy są tymi samymi procesami punktowymi. Przypadek procesu Poissona jest czasami nazywany twierdzeniem Rényi , które nosi imię Alfréda Rényi , który odkrył wynik dla przypadku jednorodnego procesu punktowego w jednym wymiarze.

$textstyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ Rényi mówi o rozproszonej (lub nieatomowej) miary Radona na ${\ Displaystyle \$ i zbiorze $}$$displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ jest skończoną sumą prostokątów (więc nie Borel), jeśli jest policzalnym podzbiorem ${\$ takie, że:

${\ Displaystyle \ Pr \ {N (A) = 0 \} = v (A) = e ^ {- \ Lambda (A) }}$

wtedy jest procesem punktu Poissona z miarą intensywności $Λ$$displaystyle \ textstyle \ Lambda}$ .

Operacje procesów punktowych

Główny artykuł: Operacja procesu punktowego

Na procesach punktowych można wykonywać operacje matematyczne w celu uzyskania nowych procesów punktowych i opracowania nowych modeli matematycznych dla lokalizacji określonych obiektów. Jednym z przykładów operacji jest tzw. przerzedzanie, które polega na kasowaniu lub usuwaniu punktów jakiegoś procesu punktowego zgodnie z regułą, tworząc nowy proces z pozostałymi punktami (usunięte punkty również tworzą proces punktowy).

Rębnia

W przypadku procesu Poissona niezależne $rozrzedzania$ dają inny proces Dokładniej, $}$ punktu Poissona z miarą intensywności punktowy usuniętych punktów, który jest również Poissonem ${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda$ proces punktowy z miarą intensywności ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {p}}$ , co dla ograniczonego zbioru borelowskiego jest określone przez: ${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ Displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} p (x) \, \ Lambda (\ operatorname {d} X)}$

Ten przerzedzony wynik procesu punktu Poissona jest czasami nazywany twierdzeniem Prekopy . Ponadto, po losowym przerzedzeniu procesu punktu Poissona, zachowane lub pozostałe punkty również tworzą proces punktu Poissona, który ma miarę intensywności

${\ Displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} (1-p (x)) \, \ Lambda (\ operatorname {d} x).}$

Dwa oddzielne procesy punktu Poissona utworzone odpowiednio z usuniętych i zachowanych punktów są od siebie stochastycznie niezależne. Innymi słowy, jeśli wiadomo, że region zawiera $zachowane$ (z pierwotnego procesu punktu Poissona), nie będzie to miało wpływu na losową liczbę usuniętych punktów w tym samym regionie. Ta zdolność do losowego tworzenia dwóch niezależnych procesów punktu Poissona z jednego jest czasami nazywana podziałem procesu punktu Poissona.

Nałożenie

Jeśli istnieje policzalny zbiór procesów punktowych, $,$ lub, w języku teorii mnogości Jest

${\ Displaystyle N = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} N_ {i},}$

tworzy również proces punktowy. Innymi słowy, wszelkie punkty znajdujące się w którymkolwiek z procesów punktowych będą również znajdować się w superpozycji tych procesów punktowych ${\ displaystyle \ textstyle N_ {1}, N_ {2} \$$} styl wyświetlania \textstyle {N}}$ .

Twierdzenie o superpozycji

Twierdzenie o superpozycji procesu ${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ kropki}$ Poissona mówi, że superpozycja niezależnych procesów punktu Poissona ze średnimi miarami $N 2 … {\ Displaystyle \ textstyle N_ {1}, N_ {2}$ będzie również procesem punktu Poissona ze średnią miarą

${\ Displaystyle \ Lambda = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ Lambda _ {i}.}$

Innymi słowy, połączenie dwóch (lub przeliczalnie więcej) procesów Poissona jest kolejnym procesem Poissona. Jeśli punkt $}$ próbkowany z policzalnej $procesów$ Poissona, to prawdopodobieństwo, że punkt należy do th $textstyle j$ x $\$ proces ${\textstyle N_ {j}}$ jest określony przez:

${\ Displaystyle \ Pr \ {x \ in N_ {j} \} = {\ Frac {\ Lambda _ {j}}} {\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ Lambda _ {i}}}. }$

Dla dwóch jednorodnych procesów Poissona o $intensywnościach$ się

${\ Displaystyle \ lambda = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ lambda _ {i},}$

I

${\ Displaystyle \ Pr \ {x \ in N_ {j} \} = {\ Frac {\ lambda _ {j}}} {\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i}}}. }$

Grupowanie

$jakiegoś$ operacji jest wykonywane, gdy każdy punkt $jest$ punktowego zastępowany przez inny (prawdopodobnie inny) proces punktowy. Jeśli pierwotny proces $nazywany$$procesem$ punktu Poissona, to wynikowy proces procesem punktu klastra Poissona

Losowe przemieszczenie

Model matematyczny może wymagać losowego przesuwania punktów procesu punktowego do innych miejsc w podstawowej przestrzeni matematycznej, co prowadzi do operacji procesu punktowego znanej jako przemieszczenie lub translacja. Proces punktu Poissona został wykorzystany do modelowania, na przykład, przemieszczania się roślin między pokoleniami, dzięki twierdzeniu o przemieszczeniu, które luźno mówi, że losowe niezależne przemieszczenie punktów procesu punktu Poissona (w tej samej podstawowej przestrzeni) tworzy inny Proces punktu Poissona.

Twierdzenie o przemieszczeniu

Jedna wersja twierdzenia o przemieszczeniu obejmuje proces punktu Poissona na $\ Displaystyle \ textstyle$$\ mathbb {R} ^ {d}}$ z funkcją intensywności $\ styl tekstu \lambda (x)}$ . Następnie $\ textstyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ się, że punkty są losowo przesunięte gdzie indziej w $Displaystyle$ tak, że przemieszczenie każdego punktu jest niezależne i że przemieszczenie punktu wcześniej w $) {\$ jest losowym wektorem o gęstości prawdopodobieństwa $\ textstyle \ rho (x, \ cdot )}$ . Wtedy nowy proces punktowy jest również procesem punktowym Poissona z funkcją intensywności ${\ displaystyle \ textstyle N_ {D}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ lambda (x) \ rho (x, y) \, \ operatorname {d} x.}$

Jeśli proces Poissona jest jednorodny z ${\ Displaystyle \ textstyle \ lambda (x) = \ lambda > 0}$ i jeśli jest ${\ Displaystyle \ rho (x, y)}$ zatem funkcja ${\ displaystyle yx} y - x {\ displaystyle yx}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ lambda.}$

Innymi słowy, po każdym losowym i niezależnym przesunięciu punktów pierwotny proces punktu Poissona nadal istnieje.

Twierdzenie o przemieszczeniu można rozszerzyć tak, że punkty Poissona są losowo przemieszczane z jednej przestrzeni euklidesowej $} ^ {d}}$ innej przestrzeni euklidesowej ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {$ , gdzie niekoniecznie jest równe $Displaystyle \ textstyle$$d'\ geq 1}$ .

Mapowanie

Inną właściwością, która jest uważana za przydatną, jest możliwość mapowania procesu punktu Poissona z jednej podstawowej przestrzeni do innej przestrzeni.

Twierdzenie o mapowaniu

Główny artykuł: Twierdzenie o mapowaniu (proces punktowy)

Jeśli odwzorowanie (lub transformacja) jest zgodne z pewnymi warunkami, to wynikowy zmapowany (lub przekształcony) zbiór punktów również tworzy proces punktowy Poissona, a wynik ten jest czasami nazywany twierdzeniem o odwzorowaniu . Twierdzenie obejmuje pewien proces punktu Poissona ze średnią $na$ jakiejś podstawowej przestrzeni. Jeśli lokalizacje punktów są mapowane (to znaczy proces punktowy jest przekształcany) zgodnie z jakąś funkcją na inną podstawową przestrzeń, wówczas wynikowy proces punktowy jest również procesem punktowym Poissona, ale z inną średnią miarą ${\ Displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$ .

Dokładniej, można rozważyć funkcję (mierzalną Borela), $odwzorowuje$$proces$ punktowy $.$ miarą intensywności jednej przestrzeni ${\ displaystyle \ textstyle S}$$do$ innej przestrzeni w taki sposób, aby nowy proces punktowy miał miarę intensywności: $textstyle S}$

${\ Displaystyle \ Lambda (B) '= \ Lambda (f ^ {- 1} (B))}$

bez atomów, gdzie jest zbiorem Borela i $-$ odwrotność funkcji $^ {-1}$$textstyle$ . Jeśli $punktu Poissona,$$\$ nowy proces jest również procesem punktu Poissona z miarą intensywności $displaystyle$ .

Aproksymacje z procesami punktu Poissona

Podatność procesu Poissona oznacza, że ​​czasami wygodnie jest przybliżyć proces punktu innego niż Poissona procesem Poissona. Ogólnym celem jest przybliżenie zarówno liczby punktów pewnego procesu punktowego, jak i lokalizacji każdego punktu za pomocą procesu punktowego Poissona. Istnieje wiele metod, które można wykorzystać do uzasadnienia, nieformalnego lub rygorystycznego, przybliżania występowania zdarzeń lub zjawisk losowych za pomocą odpowiednich procesów punktu Poissona. Bardziej rygorystyczne metody obejmują wyznaczanie górnych granic metryk prawdopodobieństwa między procesami punktowymi Poissona i nie-Poissona, podczas gdy inne metody można uzasadnić mniej formalną heurystyką.

Heurystyka grupowania

Jedną z metod aproksymacji losowych zdarzeń lub zjawisk za pomocą procesów Poissona jest heurystyka zlepiania . Ogólna heurystyka lub zasada polega na wykorzystaniu procesu punktu Poissona (lub rozkładu Poissona) do przybliżenia zdarzeń, które są uważane za rzadkie lub mało prawdopodobne, w jakimś procesie stochastycznym. W niektórych przypadkach te rzadkie zdarzenia są bliskie niezależności, dlatego można zastosować proces punktu Poissona. Gdy zdarzenia nie są niezależne, ale mają tendencję do występowania w klastrach lub skupiskach , to jeśli te skupiska są odpowiednio zdefiniowane tak, że są w przybliżeniu niezależne od siebie, to liczba występujących skupisk będzie zbliżona do zmiennej losowej Poissona, a położenie skupisk będzie zbliżone do procesu Poissona.

Metoda Steina

Metoda Steina to technika matematyczna pierwotnie opracowana do aproksymacji zmiennych losowych, takich jak zmienne Gaussa i Poissona, która została również zastosowana do procesów punktowych. Metodę Steina można wykorzystać do wyznaczenia górnych granic metryk prawdopodobieństwa , które dają możliwość ilościowego określenia, jak różne losowe obiekty matematyczne różnią się stochastycznie. Wyprowadzono górne granice metryk prawdopodobieństwa, takich jak całkowita zmienność i odległość Wassersteina .

Naukowcy zastosowali metodę Steina do procesów punktu Poissona na wiele sposobów, na przykład za pomocą rachunku Palma . Techniki oparte na metodzie Steina zostały opracowane w celu uwzględnienia w górnych granicach skutków niektórych operacji procesu punktowego, takich jak przerzedzanie i superpozycja. Metoda Steina została również wykorzystana do wyznaczenia górnych granic metryk Poissona i innych procesów, takich jak proces punktowy Coxa , który jest procesem Poissona z losową miarą intensywności.

Zbieżność do procesu punktu Poissona

Ogólnie rzecz biorąc, gdy operacja jest stosowana do ogólnego procesu punktowego, wynikowy proces zwykle nie jest procesem punktu Poissona. Na przykład, jeśli proces punktowy, inny niż Poissona, ma swoje punkty losowo i niezależnie przesunięte, to proces niekoniecznie byłby procesem punktowym Poissona. Jednak w pewnych warunkach matematycznych zarówno dla pierwotnego procesu punktowego, jak i losowego przemieszczenia, wykazano za pomocą twierdzeń granicznych, że jeśli punkty procesu punktowego są wielokrotnie przemieszczane w sposób losowy i niezależny, to skończony rozkład punktu proces będzie zbieżny (słabo) z procesem punktu Poissona.

Podobne wyniki zbieżności zostały opracowane dla operacji przerzedzania i superpozycji, które pokazują, że takie powtarzające się operacje na procesach punktowych mogą w pewnych warunkach doprowadzić do zbieżności procesu do procesów punktowych Poissona, pod warunkiem odpowiedniego przeskalowania miary intensywności (w przeciwnym razie wartości miara intensywności wynikowych procesów punktowych zbliżałaby się do zera lub nieskończoności). Taka praca nad konwergencją jest bezpośrednio związana z wynikami znanymi jako równania Palma-Khinchina, które mają swoje korzenie w pracach Conny'ego Palma i Aleksandra Khinchina , a pomoc wyjaśnia, dlaczego proces Poissona może być często używany jako model matematyczny różnych zjawisk losowych.

Uogólnienia procesów punktu Poissona

Proces punktu Poissona można uogólnić, na przykład zmieniając jego miarę intensywności lub definiując bardziej ogólne przestrzenie matematyczne. Te uogólnienia można badać matematycznie, a także wykorzystywać do matematycznego modelowania lub przedstawiania zjawisk fizycznych.

Miary losowe typu Poissona

Miary losowe typu Poissona (PT) to rodzina trzech losowych miar zliczeniowych, które są domknięte z ograniczeniem do podprzestrzeni, tj. zamknięte pod operacją procesu punktowego#Trzebienie . Te losowe miary są przykładami mieszanego procesu dwumianowego i mają wspólną właściwość dystrybucyjnego samopodobieństwa losowej miary Poissona . Są jedynymi członkami rodziny rozkładów kanonicznych nieujemnych szeregów potęgowych, którzy posiadają tę właściwość i obejmują rozkład Poissona , ujemny rozkład dwumianowy i rozkład dwumianowy . Losowa miara Poissona jest niezależna od rozłącznych podprzestrzeni, podczas gdy inne losowe miary PT (ujemny dwumian i dwumian) mają dodatnie i ujemne kowariancje. Miary losowe PT są omówione i obejmują losową miarę Poissona , ujemną dwumianową miarę losową i dwumianową miarę losową.

Procesy punktu Poissona na bardziej ogólnych przestrzeniach

W przypadku modeli matematycznych proces punktu Poissona jest często definiowany w przestrzeni euklidesowej, ale został uogólniony na bardziej abstrakcyjne przestrzenie i odgrywa fundamentalną rolę w badaniu miar losowych, co wymaga zrozumienia dziedzin matematycznych, takich jak teoria prawdopodobieństwa, teoria miary i topologia .

Ogólnie rzecz biorąc, pojęcie odległości ma znaczenie praktyczne w zastosowaniach, podczas gdy struktura topologiczna jest potrzebna do dystrybucji Palm, co oznacza, że ​​procesy punktowe są zwykle definiowane w przestrzeniach matematycznych za pomocą metryk. Ponadto realizację procesu punktowego można uznać za miarę zliczania, więc procesy punktowe są rodzajem miar losowych, znanych jako miary zliczania losowego. W tym kontekście zbadano proces Poissona i inne procesy punktowe na lokalnie zwartej drugiej przeliczalnej przestrzeni Hausdorffa.

Proces punktowy Coxa

Główny artykuł: proces Coxa

Proces punktu Coxa , proces Coxa $lub$ podwójnie stochastyczny proces Poissona jest uogólnieniem procesu punktu Poissona, pozwalając, aby jego miara intensywności również losowa i niezależna od podstawowego procesu Poissona. Proces ten został nazwany na cześć Davida Coxa który wprowadził go w 1955 roku, chociaż inne procesy Poissona o losowych intensywnościach zostały niezależnie wprowadzone wcześniej przez Luciena Le Cama i Maurice'a Quenouille'a. Miarą intensywności może być realizacja zmiennej losowej lub pola losowego. Na przykład, jeśli logarytmem miary intensywności jest losowe pole Gaussa , to wynikowy proces jest znany jako proces logarytmiczny Gaussa Coxa . Mówiąc bardziej ogólnie, miary intensywności są realizacją nieujemnej lokalnie skończonej miary losowej. Procesy punktowe Coxa wykazują grupowanie punktów, które można matematycznie wykazać jako większe niż w procesach punktowych Poissona. Powszechność i wykonalność procesów Coxa spowodowały, że są one wykorzystywane jako modele w takich dziedzinach, jak statystyka przestrzenna i sieci bezprzewodowe.

Oznaczony proces punktu Poissona

Ilustracja zaznaczonego procesu punktowego, w którym nieoznaczony proces punktowy jest zdefiniowany na dodatniej linii rzeczywistej, która często reprezentuje czas. Losowe znaki przyjmują wartości w przestrzeni stanów $znaków$ jako przestrzeń . Każdy taki oznaczony proces punktowy można zinterpretować jako nieoznaczony proces punktowy w przestrzeni ${\ Displaystyle [0, \ infty] \ razy S}$ . Twierdzenie o znakowaniu mówi, że jeśli pierwotny nieoznaczony proces punktowy jest procesem punktu Poissona, a znaki są stochastycznie niezależne, to proces zaznaczonego punktu jest również procesem punktu Poissona na [ , ∞ ] $0, \ infty] \razy S}$ . Jeśli proces punktu Poissona jest jednorodny, to luki $diagramie$ rysowane z rozkładu wykładniczego.

Dla danego procesu punktowego każdy losowy punkt procesu punktowego może mieć losowo przypisany obiekt matematyczny, znany jako znak . Znaki te mogą być tak różne, jak liczby całkowite, liczby rzeczywiste, linie, obiekty geometryczne lub inne procesy punktowe. Para składająca się z punktu procesu punktowego i odpowiadającego mu znaku nazywana jest punktem zaznaczonym, a wszystkie zaznaczone punkty tworzą proces zaznaczonego punktu . Często zakłada się, że losowe znaki są niezależne od siebie i identycznie rozmieszczone, jednak znak punktu może nadal zależeć od położenia odpowiadającego mu punktu w przestrzeni bazowej (stanu). Jeśli leżący u podstaw proces punktowy jest procesem punktu Poissona, to wynikowy proces punktowy jest zaznaczonym procesem punktu Poissona .

Zobacz też: Proces odnowy Markowa

Twierdzenie o znakowaniu

Jeśli ogólny proces punktowy jest zdefiniowany w jakiejś przestrzeni matematycznej , a przypadkowe znaki są zdefiniowane w innej przestrzeni matematycznej, to proces zaznaczonego punktu jest zdefiniowany na iloczynie kartezjańskim tych dwóch przestrzeni. W przypadku oznaczonego procesu punktu Poissona z niezależnymi i identycznie rozłożonymi znakami twierdzenie o znakowaniu stwierdza, że ​​​​ten proces oznaczonego punktu jest również (nieoznaczonym) procesem punktu Poissona zdefiniowanym na wspomnianym wcześniej iloczynie kartezjańskim dwóch przestrzeni matematycznych, co nie jest prawdziwe dla ogólne procesy punktowe.

Złożony proces punktu Poissona

Złożony proces punktu Poissona lub złożony proces Poissona jest tworzony przez dodanie losowych wartości lub wag do każdego punktu procesu punktu Poissona zdefiniowanego w jakiejś podstawowej przestrzeni, więc proces jest zbudowany z zaznaczonego procesu punktu Poissona, w którym znaki tworzą zbiór niezależnych i identycznie rozmieszczone nieujemne zmienne losowe. Innymi słowy, dla każdego punktu pierwotnego procesu Poissona istnieje niezależna i identycznie rozłożona nieujemna zmienna losowa, a następnie złożony proces Poissona jest tworzony z sumy wszystkich zmiennych losowych odpowiadających punktom procesu Poissona zlokalizowanym w jakimś obszarze podstawowej przestrzeni matematycznej.

Jeśli istnieje zaznaczony proces punktu Poissona utworzony z procesu punktu Poissona ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ zdefiniowanego na przykład na $)$ i zbiór $}$ i identycznie rozłożonych nieujemnych znaków $textstyle x_ {$ każdego punktu procesu Poissona $\displaystyle \textstyle N}$$\$ istnieje nieujemna zmienna losowa , wynikowy złożony proces Poissona to wtedy: ${\ displaystyle \ textstyle M_ {i}}$

${\ Displaystyle C (B) = \ suma _ {i = 1} ^ {N (B)} M_ {i},}$

gdzie $_$ .

$przyjmują$$textstyle \ mathbb {R} ^{d}}$ losowe wartości na przykład w $\ Displaystyle \$ euklidesowej , powstały złożony proces Poissona jest przykładem procesu Lévy'ego pod warunkiem, że jest utworzony z jednorodnego procesu punktowego $liczbach$ nieujemnych ${\ Displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$ .

Proces zniszczenia z wykładniczym wygładzaniem funkcji intensywności

Proces zniszczenia z wykładniczym wygładzaniem funkcji intensywności (FP-ESI) jest rozszerzeniem niejednorodnego procesu Poissona. Funkcja intensywności FP-ESI jest wykładniczą funkcją wygładzania funkcji intensywności w ostatnich punktach czasowych wystąpienia zdarzenia i przewyższa inne dziewięć procesów stochastycznych na 8 rzeczywistych zestawach danych o błędach, gdy modele są używane do dopasowania zestawów danych, gdzie wydajność modelu mierzona jest w kategoriach AIC ( kryterium informacyjne Akaike ) i BIC ( kryterium informacyjne Bayesa ).

Zobacz też

• Model Boole'a (teoria prawdopodobieństwa)
• Teoria perkolacji kontinuum
• Złożony proces Poissona
• Proces Coxa
• Proces punktowy
• Geometria stochastyczna
• Modele geometrii stochastycznej sieci bezprzewodowych
• Markowskie procesy przybycia

Notatki

Ogólny

Książki

•   A. Baddeleya; I. Bárány; R. Schneider (26 października 2006). Stochastic Geometry: Wykłady wygłoszone podczas Letniej Szkoły CIME, która odbyła się w Martina Franca we Włoszech, 13–18 września 2004 r . . Skoczek. ISBN 978-3-540-38175-4 .
•   Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Procesy punktowe . Chapmana i Halla. ISBN 978-0-412-21910-8 .
•   Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2003). Wprowadzenie do teorii procesów punktowych: Tom I: Elementarna teoria i metody . Skoczek. ISBN 978-1475781090 .
•   Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Wprowadzenie do teorii procesów punktowych: tom II: ogólna teoria i struktura . Skoczek. ISBN 978-0387213378 .
•   Kingman, John Frank (1992). Procesy Poissona . Prasa Clarendona. ISBN 978-0198536932 .
•   Moller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Wnioskowanie statystyczne i symulacja procesów punktowych w przestrzeni . Prasa CRC. ISBN 978-1584882657 .
•   Ross, SM (1996). Procesy stochastyczne . Wileya. ISBN 978-0-471-12062-9 .
•   Snyder, DL; Miller, MI (1991). Losowe procesy punktowe w czasie i przestrzeni . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1 .
•   Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S.; Mecke, Józef (1995). Geometria stochastyczna i jej zastosowania . Wileya. ISBN 978-0471950998 .
•   Streit, Streit (2010). Procesy punktu Poissona: obrazowanie, śledzenie i wykrywanie . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224 .
•   HC Tijms (18 kwietnia 2003). Pierwszy kurs modeli stochastycznych . John Wiley & Synowie. s. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3 .

Artykuły

• Stirzaker, David (2000). „Rady dla jeży lub stałe mogą się różnić” . Gazeta Matematyczna .
• Guttorp, Piotr; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). „Co się stało z dyskretnym chaosem, procesem Quenouille'a i ostrą właściwością Markowa? Trochę historii stochastycznych procesów punktowych”. Międzynarodowy Przegląd Statystyczny .