Metryka Wassersteina

W matematyce rozkładami odległość Wassersteina lub metryka Kantorowicza - Rubinsteina to funkcja odległości zdefiniowana między prawdopodobieństwa $w$ danej przestrzeni . Nosi imię Leonida Vaseršteĭna .

Intuicyjnie, jeśli każdy rozkład jest postrzegany jako jednostkowa ilość ziemi (gleby) ułożonej na stosie , metryką jest minimalny „ $}$ ” przekształcenia jednego stosu w drugi, który przyjmuje się jako ilość ziemi M {\ displaystyle M którą należy przesunąć razy średnią odległość, na jaką ma zostać przesunięta. Problem ten został po raz pierwszy sformalizowany przez Gasparda Monge'a w 1781 roku. Z powodu tej analogii metryka jest znana w informatyce jako odległość poruszacza się ziemi .

Nazwa „odległość Wassersteina” została ukuta przez RL Dobrushina w 1970 roku, po zapoznaniu się z nią w pracy Leonida Vaseršteĭna na temat procesów Markowa opisujących duże systemy automatów (rosyjski, 1969). Jednak metryka została po raz pierwszy zdefiniowana przez Leonida Kantorowicza w Matematycznej metodzie planowania i organizacji produkcji (oryginał rosyjski 1939) w kontekście optymalnego planowania transportu towarów i materiałów. W ten sposób niektórzy uczeni zachęcają do używania terminów „metryka Kantorowicza” i „odległość Kantorowicza”. Najbardziej angielski -publikacje językowe posługują się pisownią niemiecką „Wasserstein” (przypisywaną niemieckiemu pochodzeniu nazwy „Vaseršteĭn” ).

Definicja

Niech ${\ Displaystyle (M, d)}$ będzie przestrzenią metryczną , która jest przestrzenią Radona . ${\ Displaystyle p \ w [1, \ infty)}$ ∈ Wasserstein ${\ Displaystyle p}$ - odległość między dwiema $nu$ prawdopodobieństwa i $}$${\ Displaystyle \$ na ${\ Displaystyle M}$ ze skończonym ${\ displaystyle p}$ - chwile są

${\ Displaystyle W_ {p} (\ mu, \ nu )=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\mathbf {E} _{(x,y)\sim \gamma }d(x,y)^{p} \right)^{1/p}}$

gdzie jest zbiorem wszystkich sprzężeń i Γ $\ Gamma (\ mu, \$$Displaystyle$$)$ . Sprzężenie jest wspólną miarą prawdopodobieństwa na $M}$ { \ $Displaystyle M \$ , którego brzegi to ${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$ odpowiednio na pierwszym i drugim czynniku. To jest,

${\ Displaystyle \ int _ {M} \ gamma (x, y) \ \ operatorname {d} y = \ mu (x)}$

${\ Displaystyle \ int _ {M} \ gamma (x, y) \, \ operatorname {d} x = \ nu (y)}$

Intuicja i połączenie z optymalnym transportem

Dwa jednowymiarowe rozkłady $i$ wykreślone na osiach x i y oraz jeden możliwy wspólny rozkład, który definiuje plan transportu $między$ nimi Wspólny plan dystrybucji/transportu nie jest wyjątkowy

Jednym ze sposobów zrozumienia powyższej definicji jest rozważenie optymalnego problemu transportowego . ${\ Displaystyle \ nu (x)}$$że$ dla rozkładu masy $($ przestrzeni chcemy przetransportować masę w taki sposób, aby została w tej samej przestrzeni; przekształcając „stos ziemi” w stos $}$$\ displaystyle \ nu$ . Ten problem ma sens tylko wtedy, gdy stos, który ma zostać utworzony, ma taką samą masę jak stos, który ma zostać przeniesiony; $\ displaystyle \ mu}$ bez utraty ogólności załóżmy, że i są rozkładami prawdopodobieństwa zawierającymi całkowitą masę równą 1. Załóżmy również, że dana jest jakaś funkcja kosztu ${$

${\ Displaystyle c (x, y) \ geq 0}$

co daje koszt transportu masy jednostkowej z punktu $displaystyle$ punktu $y}$ . $do$ transportu do przeniesienia można opisać funkcją , która podaje ilość masy do $y)}$$\ Displaystyle \ gamma (x$ przejść z ${\ displaystyle x}$ do ${\ displaystyle y}$ . Możesz $że$ wyobrazić zadanie jako potrzebę przeniesienia kupki ziemi o kształcie $dziury$ w ziemi o takim kształcie, na końcu zarówno kupka ziemi, jak i dziura w ziemi całkowicie znika. Aby ten plan był sensowny, musi spełniać następujące właściwości

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int \ gamma (x, y) \ \ operatorname {d} y = \ mu (x) & \ qquad {\ tekst {(ilość ziemi przesuniętej poza punkt}} x{\text{ musi być równe ilości, która była na początku)}}\\\int \gamma (x,y)\,\mathrm {d} x=\nu (y)&\qquad {\text {(ilość ziemi przemieszczona do punktu }}y{\text{musi być równa głębokości dziury, która była tam na początku)}}\end{wyrównane}}}$

Oznacza to, że całkowita masa przeniesiona z nieskończenie małego obszaru wokół musi być równa $Displaystyle \ mu (x) \ operatorname {d} x}$$\$ całkowita przeniesiona masa do regionu wokół ${$ być $\ displaystyle \ nu (y) \ operatorname {d} y}$ . Jest to równoważne z wymogiem, że ${\ displaystyle \ gamma}$ być wspólnym rozkładem prawdopodobieństwa z marginesami $displaystyle$ ν $\ nu}$ . Zatem nieskończenie mała masa przenoszona z do ${\ Displaystyle y}$$wynosi$ γ $,\mathrm {d} y}$$\ Displaystyle \ gamma (x, y) \, \ operatorname {d} x$ , a koszt przeprowadzki to ${\ Displaystyle c (x, y) \ gamma (x, y) \ \ \ operatorname {d} x \ \ operatorname {d} y} , zgodnie z definicją$ kosztu funkcjonować. Dlatego całkowity koszt planu transportowego wynosi ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ iint c (x, y) \ gamma (x, y) \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)}$

Plan $wyjątkowy$ ; optymalny plan transportowy to plan o minimalnych kosztach spośród wszystkich możliwych planów transportowych. Jak wspomniano, warunkiem ważności planu jest wspólna dystrybucja z marginesami $displaystyle$ ν $\ nu}$ ; pozwalając na oznaczenie zestawu wszystkich takich miar, jak w pierwszej sekcji, koszt optymalnego planu wynosi ${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle C = \ inf _ {\ gamma \ in \ Gamma (\ mu, \ nu)} \ int c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)}$

Jeśli koszt ruchu jest po prostu odległością między dwoma punktami, to koszt optymalny jest identyczny $z$ .

Przykłady

Masy punktowe

Rozkłady deterministyczne

Niech ${\ Displaystyle \ mu _ {1} = \ delta _ {a_ {1}}}$ i ${\ Displaystyle \ mu _ {2} = \ delta _ {a_ { 2}}}$ być dwoma zdegenerowanymi rozkładami (tj. rozkładami delta Diraca $a_ {2}}$ zlokalizowanymi w punktach $Displaystyle$ 2 w ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ . Istnieje tylko jedno możliwe połączenie $tych$${\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {2}) \ w \ mathbb {R} ^ {2}}$ w . Tak więc, używając zwykłej wartości bezwzględnej jako funkcji odległości dla dowolnego ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle p \ geq 1}$ , odległość ${\ displaystyle p}$ -Wasserstein między i wynosi ${\ Displaystyle \ mu _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ mu _ {2}}$

${\ Displaystyle W_ {p} (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = | a_ {1} -a_ {2} |.}$

Z podobnego rozumowania, jeśli i ${\ Displaystyle \ mu _ {1} = \ delta _ {a_ {1}}}$ i ${\ Displaystyle \ mu _ {2} = \ delta _ {a_ {2}}}$ to masy punktowe zlokalizowane w punktach $Displaystyle a_ {2}}$$\$ 2 w ${R} ^ {n} }$ i używamy zwykłej normy euklidesowej dla ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ jako funkcja odległości, zatem

${\ Displaystyle W_ {p} (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = \| a_ {1} -a_ {2} \|_ {2}.}$

Rozkłady empiryczne

Jeden wymiar

Jeśli jest $miarą$ empiryczną z próbkami ${n}}$$i$ jest miarą empiryczną z ${\ Displaystyle Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}}$ , odległość jest prostą funkcją statystyki porządku :

${\ Displaystyle W_ {p} (P, Q) = \ lewo ({\ frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\|X_{(i)}-Y_{(i)}\|^{p}\right)^{1/p} }$

Wyższe wymiary

Jeśli i są rozkładami empirycznymi, każdy $\ displaystyle$ na obserwacjach, to ${$$P$

${\ Displaystyle W_ {p} (P, Q) = \ inf _ {\ pi }\left(\sum _{i=1}^{n}\|X_{i}-Y_{\pi (i)}\|^{p}\right)^{1/p}}$

gdzie infimum obejmuje wszystkie permutacje $\ pi}$ n $\ displaystyle$ . Jest to problem przypisania liniowego , który można rozwiązać algorytmem węgierskim w czasie sześciennym .

Rozkłady normalne

Niech ${\ Displaystyle \ mu _ {1} = {\ mathcal {N}} (m_ {1}, C_ {1})}$ i ${\ Displaystyle \ mu _ {2} = {\ mathcal {N}} (m_ {2}, C_ {2})}$ być dwoma niezdegenerowanymi miarami Gaussa (tj. rozkładami normalnymi ) na ${\ displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , z odpowiednimi oczekiwane wartości ${\ Displaystyle m_ {1}}$ i ${\ Displaystyle m_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ i symetryczne dodatnie półokreślone macierze kowariancji ${1}}$${\ Displaystyle$${\ Displaystyle C_ {2} \ in \ mathbb {R} ^ {n \ razy n}}$ i do . Następnie, w odniesieniu do zwykłej normy euklidesowej na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ , odległość 2-Wassersteina między i $\ mu _ {1}$ 1 $Displaystyle$ }

${\ Displaystyle W_ {2} (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}) ^ {2} = \ | m_ {1} -m_ {2} \|_ {2} ^ {2} + \ mathop {\mathrm {ślad}} {\bigl (}C_{1}+C_{2}-2{\bigl (}C_{2}^{1/2}C_{1}C_{2}^{1 /2}{\bigr )}^{1/2}{\bigr )}.}$

${1}}$ obejmujący ślad) to dokładnie (nieznormalizowana) metryka Buresa $C_$ i do . Wynik ten uogólnia wcześniejszy przykład odległości Wassersteina między dwiema masami punktowymi (przynajmniej w przypadku ), ponieważ masę punktową można uznać za rozkład normalny z macierzą kowariancji równą zero, ${\ displaystyle p = 2}$ w takim razie ślad termin znika i pozostaje tylko termin obejmujący odległość euklidesową między środkami.

Rozkłady jednowymiarowe

Niech ${\ Displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2} \ w P_ {p} (\ mathbb {R})}$ będą miarami prawdopodobieństwa na ${\ Displaystyle \mathbb {R}}$ i oznacz ich skumulowane funkcje dystrybucyjne przez ${\ Displaystyle F_ {1} (x)}$ i ${\ Displaystyle F_ {2} (x)}$ . Wtedy problem transportu ma rozwiązanie analityczne: transport optymalny zachowuje kolejność elementów masy prawdopodobieństwa, więc masa w kwantylu $\ mu _ {1}}$ się do kwantyla ${\ displaystyle q}$ μ $q}$$displaystyle$ z ${\ Displaystyle \ mu _ {2}}$ . Zatem odległość -Wassersteina między i p $\ displaystyle$$\ displaystyle p}$$mu _ {1}}$ wynosi

${\ Displaystyle W_ {p} (\ mu _ {1 },\mu _{2})=\left(\int _{0}^{1}\left|F_{1}^{-1}(q)-F_{2}^{-1}(q )\right|^{p}\,\mathrm {d} q\right)^{1/p}}$

gdzie $i$$_$ ( _ _ _ W przypadku zmiana zmiennych prowadzi do wzoru ${\ displaystyle p = 1}$

${\ Displaystyle W_ {1} (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lewo | F_ {1} (x) -F_ {2} (x)\right|\,\mathrm {d} x}$ .

Aplikacje

Metryka Wassersteina to naturalny sposób porównywania rozkładów prawdopodobieństwa dwóch zmiennych X i Y , gdzie jedna zmienna pochodzi od drugiej za pomocą małych, niejednorodnych zaburzeń (losowych lub deterministycznych).

Na przykład w informatyce metryka W ₁ jest szeroko stosowana do porównywania rozkładów dyskretnych, np. histogramów kolorów dwóch obrazów cyfrowych ; zobacz odległość poruszającego się ziemi, aby uzyskać więcej informacji.

W swoim artykule „ Wasserstein GAN ”, Arjovsky et al. użyj metryki Wasserstein-1 jako sposobu na ulepszenie pierwotnej struktury Generative Adversarial Networks (GAN), aby złagodzić zanikający gradient i problemy z załamaniem się trybu. Specjalny przypadek rozkładów normalnych jest używany w odległości początkowej Frecheta .

Metryka Wassersteina ma formalne powiązanie z analizą Procrustes , z zastosowaniem do miar chiralności i analizy kształtu.

W biologii obliczeniowej metrykę Wassersteina można wykorzystać do porównania diagramów trwałości zbiorów danych cytometrii.

Metryka Wassersteina była również stosowana w problemach odwrotnych w geofizyce.

Metryka Wassersteina jest używana w zintegrowanej teorii informacji do obliczania różnicy między pojęciami a strukturami pojęciowymi.

Nieruchomości

Struktura metryczna

Można pokazać, że W p _spełnia wszystkie aksjomaty metryki na P _p ( M ). Ponadto zbieżność względem W _p jest równoważna zwykłej słabej zbieżności miar plus zbieżności pierwszych p -tych momentów.

Podwójna reprezentacja W ₁

Następująca podwójna reprezentacja W ₁ jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o dualności Kantorowicza i Rubinsteina (1958): gdy μ i ν mają ograniczone wsparcie ,

${\ Displaystyle W_ {1} (\ mu, \ nu) = \ sup \ lewo \ {\ lewo. \ int _ {M} f (x) \ \ operatorname {d} (\ mu - \ nu) (x )\right|{\text{continuous }}f:M\to \mathbb {R} ,\operatorname {Warga} (f)\leq 1\right\},}$

gdzie Lip( f ) oznacza minimalną stałą Lipschitza dla f .

Porównaj to z definicją metryki Radona :

${\ Displaystyle \ rho (\ mu, \ nu): = \ sup \ lewo \ {\ lewo. \ int _ {M} f (x) \, \ operatorname {d} (\ mu - \ nu) (x) \right|{\text{ciągły}}f:M\do [-1,1]\right\}.}$

Jeśli metryka d jest ograniczona przez jakąś stałą C , to

${\ Displaystyle 2W_ {1} (\ mu, \ nu) \ równoważnik do \ rho (\ mu, \ nu)}$

tak więc zbieżność w metryce Radona (identyczna z konwergencją całkowitej wariacji , gdy M jest polską przestrzenią ) implikuje zbieżność w metryce Wassersteina, ale nie odwrotnie.

Dowód

Poniżej znajduje się intuicyjny dowód, który pomija kwestie techniczne. W pełni rygorystyczny dowód znajduje się w.

Przypadek dyskretny : gdy jest dyskretny, rozwiązanie dla odległości 1-Wassersteina jest problemem w programowaniu liniowym: ${\ displaystyle M}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ min _ {\ gamma} \ suma _ {x, y} c (x, y) \ gamma (x, y) \\\ suma _ {y} \ gamma (x, y)=\mu (x)\\\suma _{x}\gamma (x,y)=\nu (y)\\\gamma \geq 0\end{przypadki}}}$$

gdzie jest ogólną „funkcją kosztu” ${\ Displaystyle c: M \ razy M \ do [0, \ infty )}$

Starannie zapisując powyższe równania jako równania macierzowe, otrzymujemy podwójny problem :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki }\max _{f,g}\sum _{x}\mu (x)f(x)+\sum _{y}\nu (y)g(y)\\f(x)+g(y )\leq c(x,y)\end{przypadki}}}$$

oraz przez twierdzenie o dualności programowania liniowego , ponieważ problem pierwotny jest wykonalny i ograniczony, podobnie problem dualny, a minimum w pierwszym problemie równa się maksimum w drugim problemie. Oznacza to, że para problemów wykazuje silną dwoistość .

W ogólnym przypadku podwójny problem można znaleźć, przekształcając sumy w całki:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki }\sup _{f,g}\mathbb {E} _{x\sim \mu }[f(x)]+\mathbb {E} _{y\sim \nu }[g(y)]\\ f(x)+g(y)\równoważnik c(x,y)\end{przypadki}}}$$

a silna dwoistość nadal się utrzymuje. To jest twierdzenie o dualności Kantorowicza . Cédric Villani przytacza następującą interpretację Luisa Caffarelliego :

$\ nu}$ , że chcesz wysłać trochę węgla z kopalni, dystrybuowanego jako , do fabryk, dystrybuowanego jako $displaystyle$ . Funkcja kosztów transportu to ${\ displaystyle c}$ . Teraz przychodzi spedytor i oferuje wykonanie transportu za Ciebie. Zapłaciłbyś mu $y)$$sol$ załadowanie węgla $)$ i zapłaciłbyś mu za węgiel do rozładunku węgla w ${\ displaystyle y}$ .

Aby zaakceptować ofertę, cennik musi spełniać ${\ Displaystyle f (x) + g (y) \ równoważnik c (x, y)}$ . Dualność Kantorowicza mówi, że nadawca może ustalić harmonogram cen, który sprawi, że zapłacisz prawie tyle, ile sam byś wysłał.

Ten wynik można nacisnąć dalej, aby uzyskać:

  Twierdzenie (dwoistość Kantorowicza-Rubensteina) - Gdy przestrzeń prawdopodobieństwa jest przestrzenią metryczną, to dla dowolnej ustalonej , $K$$\ displaystyle K>$,

$${\ Displaystyle W_ {1} (\ mu, \ nu )={\frac {1}{K}}\sup _{\|f\|_{L}\leq K}\mathbb {E} _{x\sim \mu }[f(x)]- \mathbb {E} _{y\sim \nu }[f(y)]}$$

gdzie $_$ _ _ _

Dowód

Wystarczy udowodnić przypadek ${\ displaystyle K = 1}$ . Zacząć od

$${\ Displaystyle W_ {1} (\ mu, \ nu) = \ sup _ {f (x) + g (y) \ równoważnik d (x, y)} \ mathbb {E} _ {x \ sim \ mu} [f(x)]+\mathbb {E} _{y\sim \nu }[g(y)]}$$

$dowolnego$ wyboru , można przesunąć termin wyżej, ustawiając $d (x, y) -g (y)}$$\ Displaystyle f (x) = \ inf _ {y$$stożkiem$ , co czyni go splotem ze . To implikuje ${\ Displaystyle f (x) -f (y) \ równoważnik d (x, y)}$ dla dowolnego ${\ Displaystyle x, y}$ , czyli ${\ Displaystyle \|f \|_ {L} \ równoważnik 1}$ .

Zatem,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} W_ {1} (\ mu, \ nu) & = \ sup _ {g} \ sup _ {f (x) + g (y) \ równoważnik d (x, y)} \mathbb {E} _{x\sim \mu }[f(x)]+\mathbb {E} _{y\sim \nu }[g(y)]\\&=\sup _{g}\ sup _{\|f\|_{L}\równik 1,f(x)+g(y)\równik d(x,y)}\mathbb {E} _{x\sim \mu }[f( x)]+\mathbb {E} _{y\sim \nu }[g(y)]\\&=\sup _{\|f\|_{L}\leq 1}\sup _{g, f(x)+g(y)\leq d(x,y)}\mathbb {E} _{x\sim \mu }[f(x)]+\mathbb {E} _{y\sim \nu }[g(y)]\end{wyrównane}}}$$

$,$${\ Displaystyle g (y) = \ inf _ {x} d (x, y) -f (x)}$ wyboru ustawiając $)$ re . ponieważ ${\ Displaystyle \|f \|_ {L} \ równoważnik 1}$ sol $y)}$ .

Dolny splot stożka z krzywą. Zwróć uwagę, jak dolna obwiednia ma nachylenie $krzywa$ jak dolna obwiednia jest $nachylenie$ krzywej w częściach, w których sama

Dwa początkowe etapy splotu są wizualnie jasne, gdy przestrzeń prawdopodobieństwa wynosi ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ .

Dla wygody notacji niech $oznaczamy$ splotu wewnętrznego.

W pierwszym kroku, w którym użyliśmy , wykreśl krzywą , a następnie przy każdym kroku ${\ Displaystyle f = stożek \ kwadrat ($$} punkt$$\ displaystyle f}$ narysuj stożek o nachyleniu 1 i weź dolną obwiednię stożków jako , jak pokazano na schemacie, to nie może wzrosnąć przy nachyleniu większym niż 1. Zatem wszystkie jego sieczne są $fa$ mieć nachylenie ${\ Displaystyle {\ Duży |} {\ Frac {f (x) -f (y)}} {xy}} {\ Duży |} \ równoważnik 1}$ .

$,$ drugim kroku wyobraź sobie wewnętrzny splot $,$ mają najwyżej do $\ Displaystyle stożek \ kwadrat (-f)}$ tylko same wierzchołki stożka, więc ${\ Displaystyle stożek \ kwadrat (-f) = -f}$ .

Przykład 1D . Gdy oba $,$ rozkładami na to całkowanie przez części daje $R}}$

$${\ Displaystyle \ mathbb {mi } _{x\sim \mu }[f(x)]-\mathbb {E} _{y\sim \nu }[f(y)]=\int f'(x)(F_{\nu }( x)-F_{\mu}(x))dx}$$

zatem

$${\ Displaystyle f (x) = K \ cdot \ mathop {znak} (F _ {\ nu} (x) -F_{\mu}(x))}$$

Mechanika płynów interpretacja W ₂

$znaleźli$ podwójną reprezentację mechaniki , która umożliwia rozwiązanie dzięki optymalizacji wypukłej .

Biorąc pod uwagę dwa rozkłady prawdopodobieństwa na , to ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ z gęstością ${\ displaystyle p, q$ }

$${\ Displaystyle W_ {2} (p, q) = \ min _ {v}\int _{0}^{T}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\|v(x,t)\|^{2}\rho (x,t)dxdt}$$

gdzie $polem$ prędkości i jest gęstości płynu, takim że ${\ Displaystyle \ rho (x$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ Frac {\częściowe \rho (\cdot ,t)}{\częściowe t}}=-\operatorname {div} \left(\rho (\cdot ,t)v\right)\\&\rho (x,0) =p\\&\rho (x,T)=q\end{wyrównane}}}$$

Oznacza to, że masa powinna być zachowana, a pole prędkości powinno przenosić rozkład prawdopodobieństwa $do$ czasu [ $Displaystyle$$[0, T]}$ .

Równoważność W ₂ i norma Sobolewa rzędu ujemnego

Przy odpowiednich założeniach odległość Wassersteina $.$ Lipschitzowi z jednorodną normą Sobolewa rzędu ujemnego Dokładniej, jeśli przyjmiemy, że jest to spójna rozmaitość riemannowska wyposażona w dodatnią miarę $displaystyle$ to możemy zdefiniować dla $f \ okrężnica M \ do \mathbb {R} }$${$ półnormę

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {{\ kropka {H}} ^ {1} (\ pi)} ^ {2} = \ int _ {M} | \ nabla f (x) |^{2}\,\pi (\mathrm {d} x)}$

a dla miary ze znakiem $M$ { \ $}$

${\ Displaystyle \|\ mu \| _ {{\ kropka {H}} ^ {-1} (\ pi)} = \ sup {\ bigg \ {} | \ langle f, \ mu \ rangle |\, { \bigg |}\,\|f\|_{{\kropka {H}}^{1}(\pi)}\równoważnik 1{\bigg \}}.}$

$spełniają$ dowolne dwie miary prawdopodobieństwa i na $displaystyle$$M}$ górną granicę μ

${\ Displaystyle W_ {2} (\ mu, \ nu) \ równoważnik 2 \ | \ mu - \ nu \| _ {{\ kropka {H}} ^ {- 1} (\ pi)}.}$

W przeciwnym kierunku, jeśli i $każdy$ z nich ma gęstości w stosunku do standardowej miary objętości na $M} ,$$displaystyle$ ograniczone powyżej pewnego ${\ displaystyle 0 <C <\ infty }$ i ma nieujemną krzywiznę Ricciego , a następnie ${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle \|\ mu - \ nu \|_ {{\ kropka {H}} ^ {- 1} (\ pi)} \ równoważnik {\ sqrt {C}} W_ {2} (\ mu, \ nu ).}$

Rozdzielność i kompletność

Dla dowolnego p ≥ 1 przestrzeń metryczna ( P _p ( M ), W _p ) jest rozdzielna i jest zupełna , jeśli ( M , d ) jest rozdzielna i zupełna.

Zobacz też

• Metryka Hutchinsona
• Metryka Lévy'ego
• Metryka Lévy'ego-Prochorowa
• Odległość Frécheta
• Całkowita odległość zmienności miar prawdopodobieństwa
• Teoria transportu
• Odległość poruszacza ziemi
• GAN Wassersteina

Dalsza lektura

•   Ambrosio L, Gigli N, Savaré G (2005). Przepływy gradientów w przestrzeniach metrycznych iw przestrzeni miar prawdopodobieństwa . Bazylea: ETH Zürich, Birkäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-2428-5 .
•      Jordan R, Kinderlehrer D, Otto F (styczeń 1998). „Wariacyjne sformułowanie równania Fokkera-Plancka”. SIAM Journal o analizie matematycznej . 29 (1): 1–17 (elektroniczny). CiteSeerX 10.1.1.6.8815 . doi : 10.1137/S0036141096303359 . ISSN 0036-1410 . MR 1617171 . S2CID 13890235 .
• Rüschendorf L (2001) [1994], "Metryka Wassersteina" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Villani C (2008). Optymalny transport, stary i nowy . Skoczek. ISBN 978-3-540-71050-9 .

Linki zewnętrzne

• „Jakie są zalety metryki Wassersteina w porównaniu z dywergencją Kullbacka – Leiblera?” . Wymiana stosu . 1 sierpnia 2017 r.