Metryka Buresa

W matematyce , w obszarze kwantowej geometrii informacji , metryka Buresa (nazwana na cześć Donalda Buresa) lub metryka Helstroma (nazwana na cześć Carla W. Helstroma ) określa nieskończenie małą odległość między operatorami macierzy gęstości definiującymi stany kwantowe . Jest to kwantowe uogólnienie metryki informacyjnej Fishera i jest identyczne z metryką Fubiniego – Study , gdy jest ograniczone tylko do czystych stanów.

Definicja

Metrykę Buresa można zdefiniować jako sol ${\ displaystyle G$

${\ Displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ Frac {1} {2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}$

gdzie jest hermitowskim operatorem 1-formy, pośrednio podanym przez. sol {\ displaystyle $}$

${\ Displaystyle \ rho G + G \ rho = d \ rho,}$

co jest szczególnym przypadkiem ciągłego równania Lapunowa .

Niektóre zastosowania metryki Buresa obejmują to, że biorąc pod uwagę błąd docelowy, pozwala ona na obliczenie minimalnej liczby pomiarów w celu rozróżnienia dwóch różnych stanów oraz użycie elementu objętości jako kandydata na gęstość prawdopodobieństwa wcześniejszego Jeffreysa dla mieszanych stanów kwantowych .

Odległość Buresa

Odległość Buresa jest skończoną wersją nieskończenie małej odległości kwadratowej opisanej powyżej i jest dana przez

${\ Displaystyle D_ {B} (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}) ^ {2 }=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),}$

gdzie funkcja wierności jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle F (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}) = \ lewo [{\ mbox {tr}} ({\ sqrt {{\ sqrt {\ rho _ {1}}} \ rho _ {2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})\right]^{2}.}$

Inną powiązaną funkcją jest łuk Buresa, znany również jako kąt Buresa, długość Buresa lub kąt kwantowy , zdefiniowany jako

${\ Displaystyle D_ {A} (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}) = \ arccos {\ sqrt { F(\rho _{1},\rho _{2})}},}$

który jest miarą statystycznej odległości między stanami kwantowymi.

Informacje Quantum Fishera

Metrykę Buresa można postrzegać jako kwantowy odpowiednik metryki informacyjnej Fishera i można ją przepisać pod względem zmienności parametrów współrzędnych jako

${\ Displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right )d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

co utrzymuje się tak długo, $rho}$ mają tę samą rangę. ${\$ W przypadkach, gdy nie mają tej samej rangi, po prawej stronie znajduje się dodatkowy termin. ${\ Displaystyle L _ {\ mu}}$ to symetryczny logarytmiczny operator pochodnej (SLD) zdefiniowany na podstawie

${\ Displaystyle {\ Frac {\ rho L_ {\ mu} + L_ {\ mu} \ rho} {2}} = {\ Frac {d \ rho ^ {\,}} {d \ teta ^ {\ mu} }}.}$

W ten sposób jeden ma

$\ Displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu}L_{\nu}+L_{\nu} L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

gdzie kwantowa metryka Fishera (składowe tensorowe) jest identyfikowana jako

${\ Displaystyle J _ {\ mu \ nu} = {\ mbox {tr}} \ lewo [\ rho {\ Frac {L_ {\ mu} L_ {\ nu} + L_ {\ nu} L_ {\ mu}} { 2}}\prawo].}$

Z definicji SLD wynika, że ​​kwantowa metryka Fishera jest 4 razy większa od metryki Buresa. Innymi słowy, biorąc pod uwagę, że są składnikami tensora metrycznego Buresa, mamy ${\ Displaystyle g_ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle J _ {\ mu \ nu} ^ {} = 4 g _ {\ mu \ nu}.}$

, kwantowa metryka Fishera może być wykorzystana do znalezienia granicy Craméra-Rao kowariancji .

Wyraźne formuły

Rzeczywiste obliczenie metryki Buresa nie wynika z definicji, więc w tym celu opracowano pewne wzory. Odpowiednio dla systemów 2x2 i 3x3 postać kwadratowa metryki Buresa jest obliczana jako

$\ Displaystyle [d (\ rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\ det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],}$

${\ Displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {4}} {\ mbox {tr}} \ lewo [d \ rho d \ rho + { \frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho + {\frac {3\det {\rho}}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\ mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].}$

W przypadku systemów ogólnych metrykę Buresa można zapisać za pomocą wektorów własnych i wartości własnych macierzy gęstości ${\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lambda _ {j} | j \ rangle \ langle j |}$ jak

${\ Displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {j, k = 1} ^ {n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}$

jako integralna,

${\ Displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty}{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{ -\rho t}d\rho ]\ dt,}$

lub pod względem produktu Kroneckera i wektoryzacji ,

$\ Displaystyle [d (\ rho, \ rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\sztylet}{\big (}\rho ^{*}\ otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho],}$

gdzie $^ {*}}$$Displaystyle$ oznacza koniugat i oznacza koniugat transpozycji . Ten wzór obowiązuje dla odwracalnych macierzy gęstości. W przypadku nieodwracalnych macierzy gęstości powyższa odwrotność jest zastępowana pseudoodwrotnością Moore'a-Penrose'a . Alternatywnie, wyrażenie można również obliczyć, wykonując ograniczenie dla pewnego stanu mieszanego, a zatem odwracalnego.

System dwupoziomowy

Stan systemu dwupoziomowego można sparametryzować trzema zmiennymi jako

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {1} {2}} (ja + {\ boldsymbol {r \ cdot \ sigma}}),}$

gdzie jest wektorem $macierzy$ Pauliego i $trójwymiarowym$ wektorem Blocha spełniającym ${\ Displaystyle r ^ {2} {\ stackrel {\ operatorname {def}}}} {=}} {\ boldsymbol {r \ cdot r}} \ równoważnik 1}$ . Składowe metryki Buresa w tej parametryzacji można obliczyć jako

${\ Displaystyle {\ mathsf {g}} = {\ Frac {\ mathsf {I}} {4}} + {\ Frac {\ boldsymbol {r \ czasami r}}{4(1-r^{2})}}}$ .

Miarę Buresa można obliczyć, biorąc pierwiastek kwadratowy z wyznacznika do znalezienia

${\ Displaystyle dV_ {B} = {\ Frac {d ^ {3} {\ boldsymbol {r}}} {8 {\ sqrt {1-r ^ {2} }}}}},}$

którego można użyć do obliczenia objętości Buresa jako

${\ Displaystyle V_ {B} = \ iiiint _ {r ^ {2} \ równoważnik 1} {\ Frac {d ^ {3} {\ boldsymbol {r}}} {8 {\ sqrt {1-r ^ {2 }}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}$

System trójpoziomowy

Stan systemu trójpoziomowego można sparametryzować ośmioma zmiennymi jako

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {1} {3}} (I + {\ sqrt {3}} \ suma _ {\ nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ nu}}$ to osiem macierzy Gell-Manna i ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ xi}} \ w \ mathbb {R} ^ {8}$ } 8-wymiarowy wektor Blocha spełniający pewne ograniczenia.

Zobacz też

• Metryka Fubiniego – Study
• Wierność stanów kwantowych
• Informacje Fishera
• Metryka informacyjna Fishera

Dalsza lektura

•   Uhlmann, A. (1992). „Metryka Buresa i faza geometryczna”. W Gielerak R.; Łukierski, J.; Popowicz, Z. (red.). Grupy i tematy pokrewne . Materiały z pierwszego sympozjum Maxa Borna. s. 267–274. doi : 10.1007/978-94-011-2801-8_23 . ISBN 94-010-5244-1 .
•   Sommers, HJ; Życzkowski, K. (2003). „Objętość Buresa zbioru mieszanych stanów kwantowych”. Dziennik Fizyki A. 36 (39): 10083–10100. arXiv : kwant-ph/0304041 . Bibcode : 2003JPhA...3610083S . doi : 10.1088/0305-4470/36/39/308 . S2CID 39943897 .
• Dittmann, J. (1993). „O geometrii riemannowskiej skończonych wymiarowych stanów mieszanych” (PDF) . Seminarium Sophus Kłamstwo . 73 .
• Łupek, Paul B. (1996). „Informacje Quantum Fishera-Buresa o systemach dwupoziomowych i trójpoziomowym rozszerzeniu”. J. Fiz. O: Matematyka. gen . 29 (10): L271–L275. doi : 10.1088/0305-4470/29/10/008 .
•   Nielsen, MA; Chuang, Illinois (2000). Obliczenia kwantowe i informacje kwantowe . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-63235-8 .