Metryka Hutchinsona

Zbiór Julii , fraktal powiązany ze zbiorem Mandelbrota

Fraktal modelujący powierzchnię góry (animacja)

W matematyce metryka Hutchinsona , znana również jako metryka Kantorowicza, jest funkcją , która mierzy „rozbieżność między dwoma obrazami do wykorzystania w przetwarzaniu obrazów fraktalnych ” i „może być również zastosowana do opisania podobieństwa między sekwencjami DNA wyrażonymi jako rzeczywiste lub złożone sygnały genomowe ” .

Definicja formalna

Rozważ tylko niepuste , zwarte i skończone przestrzenie metryczne . Dla takiej przestrzeni niech oznacza przestrzeń miar prawdopodobieństwa $displaystyle X$ na X $displaystyle X}$ , gdzie $X$

{\ Displaystyle \ delta: X \ strzałka w prawo P (X)}

osadzanie kojarzące się z $delta$ $_ {x}}$ \ . Wsparcie ${\ Displaystyle |\ mu |}$ miary w jest najmniejszym zamkniętym podzbiorem miary 1. ${\ Displaystyle P (X)}$

Jeśli jest mierzalny borelowski , to indukowana mapa fa $\ Displaystyle f: X_ {1} \ rightarrow X_ {2}}$

{\ Displaystyle f_ {*}: P (X_ {1}) \ strzałka w prawo P (X_ {2})}

$f_ {*} (\ mu)}$ z miarą określoną przez $Displaystyle$

{\ Displaystyle f_ {*} (\ mu) (B) = \ mu (f ^ {- 1} (B))}

dla wszystkich $Displaystyle$ w $X_ {2}}$ .

Wtedy metryka Hutchinsona jest dana przez

{\ Displaystyle d (\ mu _ {1}, \ mu _ {2})=\sup \left\lbrace \int u(x)\,\mu _{1}(dx)-\int u(x)\,\mu _{2}(dx)\right\rbrace }

gdzie ${\ displaystyle \ sup}$ przejmuje wszystkie funkcje o wartościach $≤$ ze stałą Lipschitza $\ Displaystyle \ leq \! 1.}$

Wtedy $}$ $Displaystyle$ ${1} }\rightarrow X_{2}}$ jest izometrycznym osadzeniem w , a jeśli $:$ to Lipschitz, więc ${\ Displaystyle f_ {*}: P (X_ {1}) \ rightarrow P (X_ {2})}$ to Lipschitz z tą samą stałą Lipschitza.

Zobacz też

Źródła i notatki