Twierdzenia o zbieżności martyngałowej Dooba

W matematyce - a konkretnie w teorii procesów stochastycznych - twierdzenia o zbieżności martyngałów Dooba to zbiór wyników dotyczących granic supermartyngałów , nazwany na cześć amerykańskiego matematyka Josepha L. Dooba . Nieformalnie twierdzenie o zbieżności martyngałów zazwyczaj odnosi się do wyniku, zgodnie z którym każdy supermartyngał spełniający określony warunek ograniczoności musi być zbieżny. Można myśleć o supermartyngałach jako o zmiennych losowych analogach nierosnących sekwencji; z tej perspektywy twierdzenie o zbieżności martyngałowej jest zmiennym losowym analogiem twierdzenia o zbieżności monotonicznej , które stwierdza, że ​​zbieżny jest dowolny ograniczony ciąg monotoniczny. Istnieją wyniki symetryczne dla podmartyngałów, które są analogiczne do sekwencji nie malejących.

Stwierdzenie dla martyngałów w czasie dyskretnym

Typowe sformułowanie twierdzenia o zbieżności martyngałów dla martyngałów w czasie dyskretnym jest następujące. Niech ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ kropki}$ będzie supermartyngałem. Załóżmy, że supermartyngał jest ograniczony w tym sensie, że

${\ Displaystyle \ sup _ {t \ w \ mathbf {N}} \ operatorname {E} [X_ {t} ^ {-}] <\ infty}$

gdzie ${\ Displaystyle X_ {t} ^ {-}}$ jest ujemną częścią ${\ displaystyle X_ {t}}$ , określoną przez ${\ textstyle X_ { t}^{-}=-\min(X_{t},0)}$ . Następnie sekwencja prawie na pewno zbiega się do zmiennej losowej $skończoną$ wartością oczekiwaną.

Istnieje symetryczne stwierdzenie dla podmartyngałów z ograniczonym oczekiwaniem części dodatniej. Supermartyngał jest stochastycznym analogiem nierosnącego ciągu, a warunek twierdzenia jest analogiczny do warunku w twierdzeniu o zbieżności monotonicznej, że ciąg jest ograniczony od dołu. Warunek, że martyngał jest ograniczony, jest niezbędny; na przykład nieobciążony $losowy$ jest martyngałem, ale nie jest zbieżny

Zgodnie z intuicją istnieją dwa powody, dla których sekwencja może się nie zbiegać. Może dążyć do nieskończoności lub może oscylować. Warunek ograniczoności zapobiega temu pierwszemu. To drugie jest niemożliwe z powodu argumentu „hazardowego”. $X_ {t}}$ szczególności rozważmy grę giełdową, w której w danym momencie akcje mają cenę $displaystyle$ . Nie ma strategii kupowania i sprzedawania akcji w czasie, zawsze trzymając nieujemną ilość akcji, która ma pozytywny oczekiwany zysk w tej grze. Powodem jest to, że za każdym razem oczekiwana zmiana ceny akcji, biorąc pod uwagę wszystkie przeszłe informacje, wynosi co najwyżej zero (z definicji supermartingale). Ale gdyby ceny oscylowały bez zbieżności, wówczas istniałaby strategia z dodatnim oczekiwanym zyskiem: luźno, kupuj tanio i sprzedawaj drogo. Argument ten można uczynić rygorystycznym, aby udowodnić wynik.

Szkic dowodowy

Dowód jest uproszczony poprzez przyjęcie (silniejszego) założenia, że ​​supermartyngał jest jednostajnie ograniczony; to znaczy istnieje stała $że$ , ${\ Displaystyle | X_ {n} | \ równoważnik M}$ zawsze obowiązuje. W przypadku, gdy sekwencja $\$ jest zbieżna, to $X_ {n$$Displaystyle$ i ${\ Displaystyle \ limsup X_ {n}}$ różnią się. Jeśli również sekwencja jest ograniczona, $\displaystyle [a,b]}$ istnieje kilka liczb rzeczywistych takich, że $za {\ displaystyle$ sekwencja przecina przedział $a }$$i b$$displaystyle$ nieskończenie często. Oznacza to, $że$ sekwencja jest ostatecznie mniejsza niż $,$$.$ przekracza a jeszcze później jest mniejsza niż i tak dalej w nieskończoność . Te okresy, w których sekwencja zaczyna się poniżej $a$ później przekracza $.$ nazywane są „skrzyżowaniami w górę”

Rozważmy grę giełdową, w której w danym momencie $}$ kupować lub sprzedawać akcje po cenie ${\ displaystyle X_ {t}$ . Z jednej strony z definicji supermartingale można wykazać, że dla dowolnej $strategii$ strategii, która utrzymuje nieujemną ilość zapasów i ma dodatnie oczekiwanie zysk po zagraniu w tę grę przez kroki ${\ displaystyle N}$ . Z drugiej strony, jeśli ceny bardzo często przekraczają ustalony przedział $spadnie$ strategia wydaje się skuteczna: kupuj akcje, gdy $displaystyle a}$ i sprzedać, gdy cena przekroczy ${\ displaystyle b}$ . Rzeczywiście, jeśli $u$ liczbą przecięć w sekwencji w czasie $displaystyle$ to zysk w czasie wynosi co najmniej $) u_ {N} -2M}$$u_ {N$$: każde skrzyżowanie w górę zapewnia$ najmniej , a jeśli ostatnią akcją było „kupowanie”, to w najgorszym przypadku cena zakupu wynosiła $a$ obecna cena to $Displaystyle -M}$ . Ale każda strategia oczekiwała zysku co najwyżej ${\ displaystyle 0}$ , więc koniecznie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} {\ duży [} u_ {N} {\ duży ]} \ równoważnik {\ Frac {2M} {ba}}.}$

Z twierdzenia o zbieżności monotonicznej dla oczekiwań , oznacza to, że

${\ Displaystyle \ operatorname {E} {\ duży [} \ lim _ {N \ do \ infty} u_ {N} {\ duży ]} \ leq {\ frac {2M} {ba}},}$

więc oczekiwana liczba skrzyżowań w górę w całej sekwencji jest skończona. Wynika $,$ że zdarzenie nieskończonego przecięcia dla przedziału prawdopodobieństwem $\ displaystyle 0}$ . Przez związek związany ze wszystkimi wymiernymi $displaystyle$ b $b}$ z prawdopodobieństwem $.$ istnieje żaden przedział, który jest przekraczany nieskończenie często Jeśli dla wszystkich $b$ wiele przecięć przedziału $b]} , to$ i granica przełożony sekwencji musi się zgadzać, więc sekwencja musi być zbieżna. To pokazuje, że martyngał zbiega się z prawdopodobieństwem ${\ displaystyle 1}$ .

Brak zbieżności średniej

W warunkach podanego powyżej twierdzenia o zbieżności martyngału niekoniecznie jest prawdą, że supermartyngał ${\ Displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$ zbiega się średnio (tj. ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ operatorname {E} [| X_ {n} -X|] = 0}$ ) .

Jako przykład niech będzie spacer losowy z ${\ Displaystyle X_ {0} = 1}$${\ Displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {$$N$ . Niech ${\ displaystyle N}$ będzie pierwszym razem, kiedy ${\ Displaystyle X_ {n} = 0}$ i niech ${\ Displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$ będzie procesem stochastycznym zdefiniowanym przez ${\ Displaystyle Y_ {n}: = X _ {\ min (N, n)}}$ . Wtedy ${\ displaystyle N}$ jest czasem zatrzymania w odniesieniu do martyngału ${\ Displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$ , więc $jest$ również martyngałem, zatrzymany . W szczególności ${\ Displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$ jest supermartyngałem, który jest ograniczony poniżej, więc przez twierdzenie o zbieżności martyngału prawie na pewno zbiega się punktowo do zmiennej losowej ${\ displaystyle Y}$ . Ale jeśli ${\ Displaystyle Y_ {n}> 0}$ to ${\ Displaystyle Y_ {n + 1} = Y_ {n} \ pm 1}$ , więc ${\ Displaystyle Y }$ jest prawie na pewno zerem.

Oznacza to, że ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [Y] = 0}$ . Jednak ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [Y_ {n}] = 1}$ dla każdego ${\ Displaystyle n \ geq 1}$ , ponieważ ${ \ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$ to błądzenie losowe, które zaczyna się od ${\ displaystyle 1}$ , a następnie wykonuje średnie zerowe ruchy (alternatywnie zwróć uwagę, że ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [Y_ {n}] = \ nazwa operatora {E} [Y_ {0}] = 1}$ od ${\ Displaystyle ( Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ jest martyngałem). Dlatego ${\ Displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}} nie może zbiegać się$ średnio do ${\ displaystyle Y} .$$,$ więcej, gdyby się średnio z dowolną zmienną to jakiś podsekwencja $}$ zbiega się prawie $pewno$ . Tak więc przez powyższy argument $zbieżnością$ średniej.

Instrukcje dla przypadku ogólnego

Poniżej ${\ Displaystyle (\ Omega, F, F_ {*}, \ mathbf {P})}$ będzie przefiltrowaną przestrzenią prawdopodobieństwa , w której ${\ Displaystyle F_ {*} = (F_ {t}) _ {t \ geq 0}}$ i ${\ Displaystyle N: [0, \ infty) \ razy \ Omega \ do \ mathbf {R}}$ będzie supermartyngałem ciągłym w prawo w odniesieniu do filtracji ${\ displaystyle F_ {*}}$ ; innymi słowy, dla wszystkich ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik s \ równoważnik t <+ \ infty$ }

${\ Displaystyle N_ {s} \ geq \ nazwa operatora {E} {\ duży [} N_ {t} \ środkowy F_ {s} {\ duży ]}.}$

Pierwsze twierdzenie Dooba o zbieżności martyngałowej

Pierwsze twierdzenie Dooba o zbieżności martyngałowej zapewnia warunek wystarczający, aby zmienne losowe $Displaystyle$ w sensie punktowym, tj. dla każdego $t \ do + \ infty}$${\ displaystyle \ omega}$$w$ przestrzeni próbki .

dla ${\ Displaystyle t \ geq 0}$ , niech N $\ Displaystyle N_ {t} ^ {-} = \ max (-N_ {t}, 0)}$ To

${\ Displaystyle \ sup _ {t> 0} \ nazwa operatora {E} {\ duży [} N_ {t} ^ {-} {\ duży ] <+ \ infty.}$

Następnie granica punktowa

${\ Displaystyle N (\ omega) = \ lim _ {t \ do + \ infty} N_ {t} (\ omega)}$

$-$ i jest skończony dla prawie wszystkie ${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ .

Twierdzenie o zbieżności drugiego martyngału Dooba

Należy zauważyć, że zbieżność w pierwszym twierdzeniu Dooba o zbieżności martyngałowej jest punktowa, a nie jednostajna i nie ma związku ze zbieżnością w średnim kwadracie ani w Lp ^żadnej przestrzeni . Aby uzyskać zbieżność w L ¹ (tj. zbieżność w średniej ), wymagana jest jednolita całkowalność zmiennych losowych. ${\ displaystyle N_ {t}}$ . Z nierówności Czebyszewa wynika , że ​​zbieżność w L ¹ implikuje zbieżność prawdopodobieństwa i zbieżność rozkładu.

Następujące są równoważne:

• ${\ Displaystyle (N_ {t}) _ {t> 0}}$ jest jednostajnie całkowalny , tj.

${\ Displaystyle \ lim _ {C \ do \ infty} \ sup _ {t> 0} \ int _ {\ {\ omega \ in \ Omega \, \ mid \, | N_ {t} (\ omega) |> C\}}\left|N_{t}(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=0;} istnieje$

• całkowalna zmienna losowa ${\ Displaystyle N \ w L ^ {1} (\ Omega, \ mathbf {P}; \ mathbf {R}}}$ tak, że ${\ Displaystyle N_ {t} \ do N}$ jak ${\ Displaystyle t \ do \ infty}$ zarówno - $\ Displaystyle L ^ {1} (\ Omega, \mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$ na $pewno$ iw L , tj.

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [\ lewo | N_ {t} -N \ prawo | \ prawo] = \ int _ {\ Omega} \ lewo | N_ {t} (\ omega) -N (\ omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )\to 0{\text{ as }}t\to +\infty .}$

Nierówność krzyżowa Dooba

Następujący wynik, zwany nierównością krzyżowania w górę Dooba lub czasami lematem Dooba o krzyżowaniu w górę , jest używany do udowodnienia twierdzeń o zbieżności martyngału Dooba. Argument „hazardowy” pokazuje, że w przypadku jednostajnie ograniczonych supermartyngałów liczba skrzyżowań w górę jest ograniczona; lemat o krzyżowaniu w górę uogólnia ten argument na supermartyngały z ograniczonymi oczekiwaniami co do ich części ujemnych.

Niech będzie $liczbą$ naturalną Niech ${\ Displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$ będzie supermartyngałem w odniesieniu do filtracji ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}_{n})_{n\w \mathbf {N}}}$ . Niech za $\ displaystyle a}$ , ${\ displaystyle b}$ będą dwiema liczbami rzeczywistymi z za $\ displaystyle a <b}$ . Zdefiniuj zmienne losowe ${\ Displaystyle (U_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {N}}}$ tak, aby ${\ Displaystyle U_ {n}}$ był maksymalną liczbą rozłącznych odstępy ${\ Displaystyle [n_ {i_ {1}}, n_ {i_ {2}}]}$ z ${\ Displaystyle n_ {i_ {2}} \ równoważnik n }$ , takie, że ${\ Displaystyle X_ {n_ {i_ {1}} <a <b <X_ {n_ {i_ {2}}}}$ . Nazywa się to skrzyżowaniami w górę w odniesieniu do przedziału ${\ Displaystyle [a, b]}$ . Następnie

${\ Displaystyle (ba) \ nazwa operatora {E} [U_ {n}] \ równoważnik \ nazwa operatora {E} [(X_ {n} -a) ^ {-}]. \ quad}$

gdzie $($$= - \ min (X, 0)}$$min$ X , .

Aplikacje

Konwergencja w L ^p

Niech ${\ Displaystyle M: ​​[0, \ infty ) \ razy \ Omega \ do \ mathbf {R}}$ będzie martyngałem ciągłym takim, że

${\ Displaystyle \ sup _ {t> 0} \ nazwa operatora {E} {\ duży [}{\ duży |} M_ {t} {\ duży |} ^ {p} {\ duży ]}< +\infty}$

dla niektórych ${\ displaystyle p> 1}$ . Wtedy istnieje zmienna losowa taka, że ${\ Displaystyle M \ w L ^ {p} (\ Omega, \ mathbf {P} ; \ mathbf {R})}$${\ Displaystyle M_ {t} \ do M}$ jak ${\ Displaystyle t \ do + \ infty}$ oba ${\ Displaystyle \ mathbf {P}} -$ prawie na pewno iw ${\ Displaystyle L ^ {p} (\ Omega, \ mathbf {P}; \ mathbf {R})}$ .

Stwierdzenie dla martyngałów w czasie dyskretnym jest zasadniczo identyczne, z oczywistą różnicą, że założenie ciągłości nie jest już konieczne.

Prawo zero-jedynkowe Lévy'ego

Twierdzenia o martyngałowej zbieżności Dooba implikują, że warunkowe oczekiwania również mają właściwość zbieżności.

Niech $\ Displaystyle (\ Omega, F, \ mathbf {P})}$$Displaystyle$ będzie przestrzenią prawdopodobieństwa i niech będzie zmienną losową w $L ^ {1} }}$ . Niech ${\ Displaystyle F_ {*} = (F_ {k}) _ {k \ in \ mathbf {N}}} będzie$ dowolną filtracją i zdefiniuj ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F _ {\ infty}}$ być minimalną algebrą σ generowaną przez ${\ Displaystyle (F_ {k}) _ {k \ in \ mathbf {N}}}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} {\ duży [} X \ środkowy F_ {k} {\ duży]} \ do \ nazwa operatora {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty }$

zarówno prawie na pewno, jak iw ${\ Displaystyle$$\ mathbf {P}$ .

Wynik ten jest zwykle nazywany prawem zero-jedynkowym Lévy'ego lub twierdzeniem Levy'ego w górę . Powodem nazwy jest to, że jeśli $,$ zdarzeniem w to twierdzenie mówi, że $∣$${P} [A\mid F_{k}]\to \mathbf {1} _{A}}$$\ Displaystyle$ prawie na pewno, tj. granica prawdopodobieństw wynosi 0 lub 1. Mówiąc prostym językiem, jeśli uczymy się stopniowo wszystkich informacje, które decydują o wyniku zdarzenia, to stopniowo będziemy pewni, jaki będzie wynik. Brzmi to prawie jak tautologia , ale wynik jest wciąż nietrywialny. Na przykład łatwo implikuje zero-jedynkowe prawo Kołmogorowa , ponieważ mówi, że dla każdego zdarzenia z ogona A musimy mieć ${\ Displaystyle \ mathbf {P} [A] = \ mathbf {1} _ {A}}$ prawie na pewno, stąd ${\ Displaystyle \ mathbf {P} [A] \ in \ {0,1 \}}$ .

Podobnie mamy twierdzenie Levy'ego w dół :

Niech $\ Displaystyle (\ Omega, F, \ mathbf {P})}$$Displaystyle$ będzie przestrzenią prawdopodobieństwa i niech będzie zmienną losową w $L ^ {1} }}$ . Niech ${N}}}$${\ Displaystyle F _ {\ infty}}$ będzie dowolną malejącą sekwencją algebr sub-sigma $fa$ zdefiniuj być skrzyżowaniem. Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} {\ duży [} X \ środkowy F_ {k} {\ duży]} \ do \ nazwa operatora {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty }$

zarówno prawie na pewno, jak iw ${\ Displaystyle$$\ mathbf {P}$ .

Zobacz też

• Twierdzenie o zbieżności martyngału wstecznego

•   Øksendal, Bernt K. (2003). Równania różniczkowe stochastyczne: wprowadzenie z aplikacjami (wyd. Szóste). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1 . (Patrz Dodatek C)