Twierdzenie Girsanowa

Wizualizacja twierdzenia Girsanowa — Lewa strona przedstawia proces Wienera z ujemnym dryfem pod miarą kanoniczną P ; po prawej stronie każda ścieżka procesu jest pokolorowana zgodnie z jej prawdopodobieństwem pod miarą martyngału Q . Transformację gęstości z P do Q podaje twierdzenie Girsanowa.

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Girsanowa mówi, jak zmieniają się procesy stochastyczne pod wpływem zmian miary . Twierdzenie to jest szczególnie ważne w teorii matematyki finansowej, ponieważ mówi, jak dokonać konwersji z miary fizycznej , która opisuje prawdopodobieństwo, że instrument bazowy (taki jak cena akcji lub stopa procentowa ) przyjmie określoną wartość lub wartości na ryzyko- miara neutralna , która jest bardzo przydatnym narzędziem do oceny wartości instrumentów pochodnych na instrumencie bazowym.

Historia

Wyniki tego typu zostały po raz pierwszy udowodnione przez Camerona-Martina w latach czterdziestych XX wieku i przez Igora Girsanowa w 1960 roku. Zostały one następnie rozszerzone na bardziej ogólne klasy procesów, których kulminacją była ogólna postać Lenglarta (1977).

Znaczenie

, ponieważ umożliwia uzyskanie kluczowego wyniku, że jeśli Q jest miarą absolutnie ciągłą względem P , to każdy P -semimartyngał jest Q -semimartyngałem.

Stwierdzenie twierdzenia

Najpierw podajemy twierdzenie dla szczególnego przypadku, gdy leżący u podstaw proces stochastyczny jest procesem Wienera . Ten szczególny przypadek jest wystarczający do wyceny neutralnej pod względem ryzyka w modelu Blacka – Scholesa .

Niech ${\ Displaystyle \ {W_ {t} \}}$ będzie procesem Wienera w przestrzeni prawdopodobieństwa Wienera ${\ Displaystyle \ {\ Omega, {\ mathcal {F}}, P \}}$ . Niech będzie mierzalnym procesem dostosowanym do naturalnej filtracji procesu Wienera $\$$Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {t} ^ {W}$ ; zakładamy, że zostały spełnione zwykłe warunki.

Biorąc pod uwagę dostosowany proces, zdefiniuj ${\ displaystyle X_ {t}}$

${\ Displaystyle Z_ {t} = {\ mathcal {E}} (X) _ {t}, \,}$

gdzie $\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (X)}$ { jest stochastycznym wykładniczym X względem W , tj.

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (X) _ {t} = \ exp \ lewo (X_ {t} - {\ frac {1}{2}}[X]_{t}\right),}$

i $_$ X . _ _ _

Z $}}$$, to$ jest martyngałem prawdopodobieństwa można zdefiniować , że Radon- Pochodna Nikodyma

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {dQ} {dP}} \ prawo | _ {{\ mathcal {F}} _ {t}} = Z_ {t} = {\mathcal {E}}(X)_{t}}$

Wtedy dla każdego t miara Q $równoważna$ niepowiększonych pól sigma P ograniczonemu do

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} ^ {o}. \,}$

Ponadto, jeśli $,$ martyngałem pod P to proces

${\ Displaystyle {\ tylda {Y}} _ {t} = Y_ {t} - \ lewo [Y, X \ prawej] _ {t}}$

jest lokalnym martyngałem Q w przefiltrowanej przestrzeni prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ {\ Omega, F, Q, \ {{\ mathcal {F}} _ {t} ^ { W}\}\}}$ .

Następstwo

Jeśli X jest procesem ciągłym, a W jest ruchem Browna pod miarą P , to

${\ Displaystyle {\ tylda {W}} _ {t} = W_ {t} - \ lewo [W, X \ prawej] _ {t}}$

jest ruchem Browna pod Q .

Fakt, że $,$ jest trywialny z twierdzenia Girsanova jest to martyngał lokalny Q iz obliczeń

${\ Displaystyle \ lewo [{\ tylda {W}} \ prawo] _ {t} = \ lewo [W \ prawo] _ {t} = t}$

z charakterystyki ruchów Browna dokonanej przez Levy'ego wynika, że ​​jest to ruch Browna Q.

Uwagi

W wielu typowych aplikacjach proces X jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle X_ {t} = \ int _ {0} ^ {t} Y_ {s} \, dW_ {s}.}$

Dla X tej postaci warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby X był martyngałem, jest warunek Nowikowa , który wymaga, aby

${\ Displaystyle E_ {P} \ lewo [\ exp \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {T} Y_ {s} ^ {2} \, ds \ prawej) \ prawo]<\infty .}$

Stochastyczny wykładniczy to proces ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (X)$ , który rozwiązuje stochastyczne równanie różniczkowe mi }

${\ Displaystyle Z_ {t} = 1 + \ int _ {0} ^ {t} Z_ {s} \, dX_ {s}. \,}$

Miara Q skonstruowana powyżej nie jest równoważna P na ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}},$ ponieważ miałoby to miejsce tylko wtedy, gdyby pochodna Radona-Nikodyma była martyngałem jednostajnie całkowalnym, który opisany powyżej martyngał wykładniczy nie jest. Z drugiej strony $,$ dopóki warunek Nowikowa jest spełniony, miary są .

Dodatkowo łącząc powyższą obserwację w tym przypadku widzimy, że proces

${\ Displaystyle {\ tylda {W}} _ {t} = W_ {t} - \ int _ {0} ^ {t} Y_ {s} ds}$

dla ${\ Displaystyle t \ w [0, T]}$ jest ruchem Browna Q. To było oryginalne sformułowanie powyższego twierdzenia Igora Girsanowa.

Wniosek o finansowanie

Twierdzenie to można wykorzystać do pokazania w modelu Blacka-Scholesa jedynej miary neutralnej pod względem ryzyka, tj. miary, w której wartość godziwa instrumentu pochodnego jest zdyskontowaną wartością oczekiwaną, Q, jest określona przez

${\ Displaystyle {\ Frac {dQ} {dP}} = {\ mathcal {E}} \ lewo (\ int _ {0} ^ {t} {\ Frac {r_ {s} - \ mu _ {s}} {\sigma _{s}}}\,dW_{s}\right).}$

Zastosowanie do równań Langevina

Inne zastosowanie tego twierdzenia, również podane w oryginalnej pracy Igora Girsanowa, dotyczy stochastycznych równań różniczkowych . W szczególności rozważmy równanie

${\ Displaystyle dX_ {t} = \ mu (t, X_ {t}) dt + \ sigma (t, X_ {t})dW_{t},}$

gdzie $ruch$ . Tutaj i $są$$funkcjami$ . Zakładamy, że to równanie ma unikalne silne rozwiązanie na ${\ Displaystyle [0, T]}$ . W tym $przypadku$ twierdzenie Girsanova może być użyte do obliczenia funkcjonałów w terminach powiązanego funkcjonału dla ruchu Browna Mówiąc dokładniej, mamy dla dowolnego ograniczonego funkcjonału $Displaystyle$ funkcjach ciągłych, że do ( $([0, T])}$

${\ Displaystyle E \ Phi (X) = E \ lewo [\ Phi (W) \ exp \ lewo (\ int _ {0} ^ {T} \ mu (s, W_ {s}) dW_ {s} - { \frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})^{2}ds\right)\right].}$

Wynika to z zastosowania twierdzenia Girsanova i powyższej obserwacji do procesu martyngału

${\ Displaystyle Y_ {t} = \ int _ {0} ^ {t} \ mu (s, W_ {s}) dW_ {s}.}$

W szczególności zauważamy, że przy powyższym zapisie proces

${\ Displaystyle {\ tylda {W}} _ {t} = W_ {t} - \ int _ {0} ^ {t} \ mu (s,W_{s})ds}$

jest ruchem Q Browna. Przepisując to w formie różniczkowej jako

${\ Displaystyle dW_ {t} = d {\ tylda {W}} _ {t} + \ mu (t, W_ {t}) dt,}$

$}}$ że prawo Q rozwiązuje równanie definiujące , ponieważ $}}$$displaystyle$ , jak W ${\ displaystyle W_ {t}$ jest ruchem Q Browna. W szczególności widzimy $.$ prawą stronę można zapisać jako , miarą podjętą Y, więc wynikiem jest teraz tylko stwierdzenie twierdzenia Girsanowa.

Bardziej ogólna forma tego zastosowania jest taka, że ​​jeśli oba

${\ Displaystyle dX_ {t} = \ mu (X_ {t}, t) dt + \ sigma (X_ {t} }, t) dW_ {t},}$${\ Displaystyle dY_ { t}=(\mu (Y_{t},t)+\nu (Y_{t},t))dt+\sigma (Y_{t},t)dW_{t},}$

przyznać unikalne mocne rozwiązania na ${\ Displaystyle [0, T]}$ , to dla dowolnego ograniczonego funkcjonału na ${\ Displaystyle C ([0, T])}$ do

${\ Displaystyle E \ Phi (X) = E \ lewo [\ Phi (Y) \ exp \ lewo (- \ int _ {0} ^ {T} {\ Frac {\ nu (Y_ {s}, s)} {\sigma (Y_{s},s)}}dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s}, s)^{2}}{\sigma (Y_{s},s)^{2}}}ds\prawo)\prawo].}$

Zobacz też

• Twierdzenie Camerona-Martina - Twierdzenie teorii miary

•   Liptser, Robert S.; Shiriaev, AN (2001). Statystyka procesów losowych (2., rew. I eksp. Wyd.). Skoczek. ISBN 3-540-63929-2 .
•   Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1982). „Dekompozycja supermartyngałów, aplikacje”. Prawdopodobieństwa i potencjał . Tom. B. Przetłumaczone przez Wilsona, JP North-Holland. s. 183–308. ISBN 0-444-86526-8 .
• Lenglart, E. (1977). „Transformacja ustawień regionalnych martingales par changement absolue continu de probabilités”. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit (w języku francuskim). 39 : 65–70. doi : 10.1007/BF01844873 .

Linki zewnętrzne

• Uwagi dotyczące rachunku stochastycznego , które zawierają prosty zarys dowodu twierdzenia Girsanowa.