Stan Nowikowa

W teorii prawdopodobieństwa warunek Nowikowa jest warunkiem wystarczającym, aby proces stochastyczny , który w twierdzeniu Girsanowa przybiera postać pochodnej Radona-Nikodyma , był martyngałem . Jeśli zostanie spełnione wraz z innymi warunkami, twierdzenie Girsanova można zastosować do ruchu Browna w celu zmiany miary pierwotnej na nową miarę określoną przez pochodną Radona – Nikodyma.

Warunek ten został zaproponowany i udowodniony przez Aleksandra Nowikowa . Istnieją inne wyniki, które można wykorzystać do wykazania, że ​​pochodna Radona-Nikodyma jest martyngałem, takie jak bardziej ogólne kryterium warunek Kazamakiego , jednak warunek Nowikowa jest najbardziej znanym wynikiem.

Załóżmy, że ${\ Displaystyle (X_ {t}) _ {0 \ równoważnik t \ równoważnik T}}$ jest dostosowanym procesem o wartości rzeczywistej w przestrzeni prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ lewo (\ Omega, ({\ mathcal {F}} _ {t}), \ mathbb {P} \ prawej)} i ( W t ) ≤ t ≤$ T $) _{0\leq t\leq T}}$ jest zaadaptowanym ruchem Browna :

Jeśli warunek

${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [e ^ {{\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {T} | X | _ {t} ^ {2} \, dt} \ prawo] <\ infty}$

jest spełniony, a następnie proces

${\ Displaystyle \ {\ mathcal {E}} \ lewo (\ int _{0}^{t}X_{s}\;dW_{s}\right)\ =e^{\int _{0}^{t}X_{s}\,dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\,ds},\quad 0\równoważnik t\równoważnik T}$

$.$ martyngałem pod $miarą$ i filtracją Tutaj $oznacza$ Doléans -Dade .

Linki zewnętrzne

• Krogstad, HE (2003). „Komentarze do twierdzenia Girsanowa” (PDF) . MFW . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 1 grudnia 2005 r.