Wykładniczy Doléansa-Dade'a

W rachunku stochastycznym wykładniczy Doléansa -Dade'a lub wykładniczy stochastyczny półmartyngału X jest unikalnym silnym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego

$${\ Displaystyle dY_ {t} = Y_ {t-} \, dX_ {t}, \ quad \ quad Y_ {0} = 1,}$$

gdzie ${\ Displaystyle Y_ {-}}$ oznacza proces lewych granic, tj. ${\ Displaystyle Y_ {t-} = \ lim _ {s \ uparrow t} Y_ { s}}$ .

Koncepcja nosi imię Catherine Doléans-Dade . Wykładniczy stochastyczny ${\ displaystyle Y$ ważną rolę w formułowaniu twierdzenia Girsanowa i pojawia się naturalnie we wszystkich zastosowaniach, w których ważne są względne zmiany, ponieważ mierzy skumulowaną zmianę procentową w $}$ .

Notacja i terminologia

Proces uzyskany powyżej jest zwykle oznaczany przez $}} (X)$$X$ } „ wykładniczy stochastyczny” $z$ podobieństwa $:$ z absolutnie re Y $/ \ operatorname {d} t = Y_ { t} dX_ {t}/dt}$ re , którego rozwiązaniem jest ${\ Displaystyle Y = \ exp (XX_ {0})}$ .

Wzór ogólny i przypadki szczególne

• Bez żadnych założeń co do semimartingale $ma$ się
  $${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}(X)_{t}=\exp {\Bigl (}X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}^{c }{\Bigr )}\prod _{s\równoważnik t}(1+\Delta X_{s})\exp(-\Delta X_{s}),\qquad t\geq 0,}$$
  gdzie $jest$ ciągłą częścią kwadratowej wariacji $się$ na (przeliczalnie wiele do czasu t .
• Jeśli jest ciągła, to ${\ displaystyle X}$
  $${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (X) = \ exp {\ Bigl (} X-X_ {0} - {\ Frac {1} {2}} [X] {\ Bigr)}.}$$
  W szczególności, jeśli jest ruchem Browna $,$ to wykładniczy Doléansa-Dade'a jest geometrycznym Browna .
• Jeśli jest ciągła i ma skończoną zmienność, to ${\ displaystyle X}$
  $${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (X) = \ exp (XX_ {0}).}$$
  Tutaj nie musi być $;$ względem czasu na przykład $Cantora$ być funkcją .

Nieruchomości

• Wykładniczy stochastyczny nie może dążyć do zera w sposób ciągły, może tylko skakać do zera. Stąd wykładniczy stochastyczny ciągłego półmartyngału jest zawsze ściśle dodatni.
• Gdy $.$ do zera, zostanie Pierwszy raz, kiedy skacze do zera, to dokładnie pierwszy raz, kiedy ${\ Displaystyle \ Delta X = -1}$ .
• W przeciwieństwie do naturalnego wykładniczego $)}$$}$ , który zależy tylko od wartości w czasie $wykładniczy$ stochastyczny ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (X) _ {t}}$ zależy nie tylko od ${\ Displaystyle X_ {t}},$ ale od całej historii ${\ displaystyle X}$ w czasie interwał ${\ Displaystyle [0, t]}$ . Z tego powodu należy napisać mi $\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (X) _ {t}},$ a nie ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (X_ {t })}$ .
• Naturalny wykładniczy semimartyngału zawsze można zapisać jako wykładniczy stochastyczny innego semimartyngału, ale nie na odwrót.
• Wykładniczy stochastyczny martyngału lokalnego jest ponownie martyngałem lokalnym.
• $o$ wzory i właściwości mają również zastosowanie do stochastycznego wykładnika wartościach zespolonych . Ma to zastosowanie w teorii martyngałów konforemnych oraz w obliczaniu funkcji charakterystycznych.

Przydatne tożsamości

Formuła Yora: dla dowolnych dwóch semimartyngałów i jeden ma $displaystyle$$U}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (U) {\ mathcal {E}} (V) = {\ mathcal {E} }}(U+V+[U,V])}$$

Aplikacje

• Stochastyczny wykładniczy lokalnego martyngału pojawia się w stwierdzeniu twierdzenia Girsanowa . Kryteria zapewniające, że wykładniczy stochastyczny ciągłego martyngału lokalnego jest martyngałem , są określone przez warunek Kazamakiego , warunek Novikova i warunek Beneša mi ( ${$$Displaystyle {\ mathcal {E}} (X$ stan : schorzenie.

Wyprowadzenie jawnego wzoru na ciągłe semimartyngały

Dla każdego ciągłego półmartyngału X przyjmij za pewnik, że ${\ displaystyle Y}$ jest ciągły i ściśle dodatni. Wtedy zastosowanie wzoru Itō z ƒ ( Y ) = log( Y ) daje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ log (Y_ {t}) - \ log (Y_ {0}) & = \ int _ {0} ^ {t} {\ Frac {1} {Y_ {u}} }\,dY_{u}-\int _{0}^{t}{\frac {1}{2Y_{u}^{2}}}\,d[Y]_{u}=X_{t} -X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}.\end{wyrównane}}}$

Potęgowanie z daje rozwiązanie. ${\ displaystyle Y_ {0} = 1}$

${\ Displaystyle Y_ {t} = \ exp {\ Bigl (} X_ {t} -X_ {0} - {\ frac {1}{2}}[X]_{t}{\Bigr )},\qquad t\geq 0.}$

Różni się to od tego, czego można by się spodziewać, porównując z przypadkiem, w którym X ma skończoną zmienność ze względu na istnienie kwadratowego składnika zmienności [ X ] w rozwiązaniu.

Zobacz też

• Logarytm stochastyczny

•   Jacob, J.; Shiryaev, AN (2003), Twierdzenia graniczne dla procesów stochastycznych (wyd. 2), Springer, s. 58–61, ISBN 3-540-43932-3
•   Protter, Philip E. (2004), Integracja stochastyczna i równania różniczkowe (wyd. 2), Springer, ISBN 3-540-00313-4