Środek neutralny pod względem ryzyka

W finansach matematycznych miara neutralna pod względem ryzyka (zwana także miarą równowagi lub równoważną miarą martyngału ) jest miarą prawdopodobieństwa taką, że każda cena akcji jest dokładnie równa zdyskontowanej oczekiwanej cenie akcji w ramach tej miary. Jest to szeroko stosowane w wycenie finansowych instrumentów pochodnych ze względu na fundamentalne twierdzenie wyceny aktywów , z którego wynika, że na pełnym rynku cena instrumentu pochodnego jest zdyskontowaną wartością oczekiwaną przyszłej wypłaty w ramach wyjątkowego środka neutralnego pod względem ryzyka. Taka miara istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy rynek jest wolny od arbitrażu.

Najłatwiejszym sposobem zapamiętania, czym jest miara neutralna pod względem ryzyka, lub wyjaśnienia jej generalnemu prawdopodobnikowi, który może nie wiedzieć zbyt wiele o finansach, jest uświadomienie sobie, że jest to:

Miara prawdopodobieństwa przekształconej zmiennej losowej. Zazwyczaj ta transformacja jest funkcją użyteczności wypłaty. Miara neutralna pod względem ryzyka byłaby miarą odpowiadającą oczekiwaniu wypłaty z liniową użytecznością.
Implikowana miara prawdopodobieństwa, to znaczy implikowana z bieżących obserwowalnych/opublikowanych/handlowych cen odpowiednich instrumentów . Odpowiednie oznacza te instrumenty, które są przyczynowo powiązane ze zdarzeniami w rozpatrywanej przestrzeni prawdopodobieństwa (tj. ceny bazowe plus instrumenty pochodne) oraz
Jest to implikowana miara prawdopodobieństwa (rozwiązuje rodzaj problemu odwrotnego), która jest zdefiniowana za pomocą liniowej (neutralnej pod względem ryzyka) użyteczności w wypłacie, przy założeniu pewnego znanego modelu wypłaty. Oznacza to, że próbujesz znaleźć miarę neutralną pod względem ryzyka, rozwiązując równanie, w którym obecne ceny są oczekiwaną obecną wartością przyszłych wypłat w ramach miary neutralnej pod względem ryzyka. Koncepcja wyjątkowej miary neutralnej pod względem ryzyka jest najbardziej użyteczna, gdy wyobraża się sobie ustalanie cen szeregu instrumentów pochodnych, które stworzyć unikalny środek neutralny pod względem ryzyka, ponieważ implikuje to pewną spójność hipotetycznych cen niehandlowych i teoretycznie wskazuje na możliwości arbitrażu na rynkach, na których widoczne są ceny kupna/sprzedaży.

Warto również zauważyć, że w większości wstępnych zastosowań w finansach rozważane wypłaty są deterministyczne, biorąc pod uwagę wiedzę o cenach w pewnym momencie końcowym lub w przyszłości. Nie jest to bezwzględnie konieczne do korzystania z tych technik.

Motywowanie do stosowania środków neutralnych pod względem ryzyka

Ceny aktywów zależą przede wszystkim od ich ryzyka , ponieważ inwestorzy zazwyczaj żądają większego zysku za poniesienie większego ryzyka. W związku z tym dzisiejsza cena wierzytelności na ryzykowną kwotę realizowaną jutro będzie generalnie różnić się od jej wartości oczekiwanej. Najczęściej inwestorzy są niechętni ryzyku , a dzisiejsza cena jest poniżej oczekiwań, wynagradzając tych, którzy ponoszą ryzyko (przynajmniej na dużych rynkach finansowych ; przykładami rynków poszukujących ryzyka są kasyna i loterie ).

aby wycenić aktywa , obliczone wartości oczekiwane należy dostosować do preferencji inwestora w zakresie ryzyka (patrz także współczynnik Sharpe'a ). Niestety, stopy dyskontowe będą się różnić w zależności od inwestorów, a indywidualne preferencje ryzyka są trudne do oszacowania.

Okazuje się, że na kompletnym rynku bez możliwości arbitrażu istnieje alternatywny sposób przeprowadzenia tego obliczenia: Zamiast najpierw przyjąć oczekiwania, a następnie dostosować je do preferencji ryzyka inwestora, można raz na zawsze skorygować prawdopodobieństwa przyszłych wyników w taki sposób, aby uwzględniały premie za ryzyko wszystkich inwestorów, a następnie uwzględniają oczekiwania w ramach tego nowego rozkładu prawdopodobieństwa, miary neutralnej pod względem ryzyka . Główna korzyść wynika z faktu, że po znalezieniu prawdopodobieństw neutralnych pod względem ryzyka, każdy składnik aktywów można wycenić, biorąc po prostu wartość bieżącą jego oczekiwanej wypłaty. Zauważ, że gdybyśmy zastosowali rzeczywiste prawdopodobieństwa ze świata rzeczywistego, każdy papier wartościowy wymagałby innej korekty (ponieważ różnią się ryzykiem).

Brak arbitrażu ma kluczowe znaczenie dla istnienia środka neutralnego pod względem ryzyka. W rzeczywistości, zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem dotyczącym wyceny aktywów , warunek braku arbitrażu jest równoznaczny z istnieniem środka neutralnego pod względem ryzyka. Kompletność rynku jest również ważna, ponieważ na niekompletnym rynku istnieje wiele możliwych cen aktywów odpowiadających różnym neutralnym pod względem ryzyka miarom. Zwykle argumentuje się, że efektywność rynku implikuje istnienie tylko jednej ceny („ prawo jednej ceny”. "); właściwy, neutralny pod względem ryzyka środek do ceny, który należy wybrać przy użyciu argumentów ekonomicznych, a nie czysto matematycznych.

Częstym błędem jest mylenie skonstruowanego rozkładu prawdopodobieństwa z prawdopodobieństwem w świecie rzeczywistym. Będą one inne, ponieważ w rzeczywistości inwestorzy żądają premii za ryzyko, podczas gdy można wykazać, że przy prawdopodobieństwach neutralnych pod względem ryzyka wszystkie aktywa mają tę samą oczekiwaną stopę zwrotu, stopę wolną od ryzyka (lub stopę krótką) , a tym samym nie obejmują żadnych takich premii. Metodę wyceny neutralnej pod względem ryzyka należy traktować jak wiele innych przydatnych narzędzi obliczeniowych — wygodnych i wydajnych, nawet jeśli pozornie sztucznych.

Pochodzenie środka neutralnego pod względem ryzyka (papiery wartościowe Arrow)

Naturalne jest pytanie, w jaki sposób środek neutralny pod względem ryzyka powstaje na rynku wolnym od arbitrażu. W jakiś sposób ceny wszystkich aktywów określą miarę prawdopodobieństwa. Jednym z wyjaśnień jest użycie zabezpieczenia Arrow . Dla uproszczenia rozważmy dyskretny (nawet skończony) świat z tylko jednym przyszłym horyzontem czasowym. Innymi słowy, istnieje teraźniejszość (czas 0) i przyszłość (czas 1), aw czasie 1 stan świata może być jednym ze skończenie wielu stanów. Papier wartościowy Arrow odpowiadający stanowi n , An , to taki _, który płaci 1 $ w czasie 1 w stanie n i 0 USD w dowolnym innym stanie na świecie.

teraz cena A _{n ?} Musi być dodatnia, ponieważ jest szansa, że zarobisz 1 $; powinna być mniejsza niż 1 $, ponieważ jest to maksymalna możliwa wypłata. _Tak An (0) więc cena każdego An _. , którą oznaczamy przez , mieści się dokładnie w przedziale od 0 do 1

W rzeczywistości suma wszystkich cen papierów wartościowych musi być równa obecnej wartości 1 dolara, ponieważ posiadanie portfela składającego się z każdego papieru wartościowego Arrow spowoduje pewną wypłatę w wysokości 1 dolara. Weźmy pod uwagę loterię, w której pojedynczy los wygrywa wszystkie opłaty za wstęp: jeśli nagroda wynosi 1 USD, opłata za wejście wyniesie 1/liczbę biletów. Dla uproszczenia przyjmiemy, że stopa procentowa wynosi 0, więc obecna wartość 1 dolara wynosi 1 dolara.

Zatem A _n (0) spełniają aksjomaty rozkładu prawdopodobieństwa. Każda z nich jest nieujemna, a ich suma wynosi 1. Jest to miara neutralna pod względem ryzyka! Teraz pozostaje pokazać, że działa to zgodnie z reklamą, tj. przyjęcie wartości oczekiwanych w odniesieniu do tej miary prawdopodobieństwa da właściwą cenę w czasie 0.

Załóżmy, że masz papier wartościowy C , którego cena w chwili 0 wynosi C(0) . W przyszłości w stanie i jego wypłata wyniesie C _i . Rozważmy portfel P składający się z C _i kwot każdego papieru wartościowego Arrow A _i . W przyszłości, niezależnie od stanu i , wtedy A _{i płaci 1 USD} Ci _, podczas gdy inne papiery wartościowe Arrow płacą 0 USD, więc P zapłaci . Innymi słowy, portfel P replikuje wypłatę C niezależnie od tego, co stanie się w przyszłości. Brak możliwości arbitrażu oznacza, że cena P i C musi być teraz taka sama, ponieważ każda różnica w cenie oznacza, że możemy bez żadnego ryzyka (krótko) sprzedać droższe, kupić tańsze i włożyć różnicę do kieszeni. W przyszłości będziemy musieli zwrócić aktywa będące przedmiotem krótkiej sprzedaży, ale możemy to sfinansować, sprzedając zakupione aktywa, pozostawiając nam początkowy zysk.

Traktując każdą cenę papieru wartościowego Arrow jako prawdopodobieństwo , widzimy, że cena portfela P(0) jest wartością oczekiwaną C przy prawdopodobieństwach neutralnych względem ryzyka. Gdyby stopa procentowa R nie wynosiła zero, musielibyśmy odpowiednio zdyskontować wartość oczekiwaną, aby otrzymać cenę. W szczególności portfel składający się z każdego papieru wartościowego Arrow ma teraz wartość bieżącą równą , ${\ frac {1} {1 + R}}}$ pod względem ryzyka prawdopodobieństwo stanu i staje się ${\ displaystyle (1 + R)}$ razy cena każdego papieru wartościowego Arrow ZA _ja lub jego cena terminowa .

Należy pamiętać, że papiery wartościowe firmy Arrow w rzeczywistości nie muszą być przedmiotem obrotu na rynku. W tym miejscu pojawia się kompletność rynku. Na kompletnym rynku każdy papier wartościowy Arrow może być replikowany przy użyciu portfela prawdziwych aktywów będących przedmiotem obrotu. Powyższy argument nadal działa, biorąc pod uwagę każdy papier wartościowy Arrow jako portfel.

W bardziej realistycznym modelu, takim jak model Blacka-Scholesa i jego uogólnienia, nasze zabezpieczenie Arrow byłoby czymś w rodzaju podwójnej opcji cyfrowej , która opłaca 1 USD, gdy aktywa bazowe znajdują się między dolną a górną granicą, a 0 USD w przeciwnym razie. Cena takiej opcji odzwierciedla zatem pogląd rynku na prawdopodobieństwo, że cena spot znajdzie się w tym przedziale cenowym, skorygowanym o premie za ryzyko, całkowicie analogicznie do sposobu, w jaki uzyskaliśmy powyższe prawdopodobieństwa dla jednoetapowego dyskretnego świata.

Stosowanie

Miary neutralne pod względem ryzyka ułatwiają wyrażenie wartości instrumentu pochodnego we wzorze. $}$ { \ displaystyle H_ { T } $losowym T$ $T$ \ displaystyle zmiennej na przestrzeni prawdopodobieństwa opisującej rynek. Załóżmy dalej, że współczynnik dyskontowy od teraz (czas zero) do czasu ${\ displaystyle T}$ jest ${\ Displaystyle P (0, T)}$ . Zatem dzisiejsza wartość godziwa instrumentu pochodnego wynosi

{\ Displaystyle H_ {0} = P (0, T) \ nazwa operatora {E} _ {Q} (H_ {T}).}

gdzie miara martyngału (miara T-forward) jest oznaczona przez ${\ displaystyle Q}$ . Można to ponownie określić w kategoriach fizycznej miary P jako

{\ Displaystyle H_ {0} = P (0, T) \ nazwa operatora {E} _ {P} \ lewo ({\ Frac {dQ} {dP}}H_{T}\prawo)}

gdzie $pochodną$ - Nikodyma względem $P$ $displaystyle$ } _

Inną nazwą miary neutralnej pod względem ryzyka jest równoważna miara martyngału . Jeśli na rynku finansowym istnieje tylko jeden środek neutralny pod względem ryzyka, to istnieje unikalna cena wolna od arbitrażu dla każdego składnika aktywów na rynku. Jest to podstawowe twierdzenie o cenach wolnych od arbitrażu . Jeśli takich miar jest więcej, to w przedziale cen żaden arbitraż nie jest możliwy. Jeśli nie istnieje równoważna miara martyngału, istnieją możliwości arbitrażu.

Na rynkach z kosztami transakcyjnymi, bez numéraire , spójny proces wyceny zastępuje równoważną miarę martyngału. W rzeczywistości istnieje 1 do 1 między spójnym procesem wyceny a równoważną miarą martyngału.

Przykład 1 – Dwumianowy model cen akcji

$uwagę$ przestrzeń prawdopodobieństwa model dwumianowy, oznacz początkową cenę ${ \ displaystyle S_ {0}},$ a cena akcji w czasie 1 jako ${\ displaystyle S ^ { u}}$ która może losowo przyjmować możliwe wartości: ${\ displaystyle S ^ {u}}$ jeśli akcje wzrosną, lub $akcje$ . Wreszcie niech ${\ displaystyle r> 0}$ oznaczają stopę wolną od ryzyka. Wielkości te muszą spełniać ${\ Displaystyle S ^ {d} \ równoważnik (1 + r) S_ {0} \ równoważnik S ^ {u}}$ inaczej istnieje arbitraż w rynku, a agent może generować bogactwo z niczego.

Miara prawdopodobieństwa na $nazywana$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ jest neutralną pod względem ryzyka, jeśli $Displaystyle S_{0}=\mathbb {E} _{\mathbb {P} ^{*}}(S_{1}/(1+r)}} co można zapisać$ jako ${\ Displaystyle S_ {0} (1 + r) = \ pi S ^ {u} + (1- \ pi) S ^ {d}}$ . Rozwiązując dla, stwierdzamy, że neutralne pod względem ryzyka prawdopodobieństwo ruchu zapasów w górę jest określone przez liczbę ${\ displaystyle \ pi}$

{\ Displaystyle \ pi = {\ Frac {(1 + r) S_ {0} -S ^ {d}} {S ^ {u} -S ^ {d}}}.}

Biorąc pod uwagę pochodną z wypłatą , gdy cena akcji rośnie i gdy spada, możemy wycenić pochodną za pomocą $}$ $X ^$

{\ Displaystyle X = {\ Frac {\ pi X ^ {u} + (1- \ pi) X ^ {d}} {1 + r}}.}

Przykład 2 – Model ruchów Browna cen akcji

Załóżmy, że nasza gospodarka składa się z 2 aktywów, akcji i obligacji wolnych od ryzyka , i że używamy modelu Blacka-Scholesa . W modelu ewolucję ceny akcji można opisać geometrycznym ruchem Browna :

{\ Displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t}}

gdzie $w$ standardowym ruchem Browna odniesieniu do miary fizycznej Jeśli zdefiniujemy

{\ Displaystyle {\ tylda {W}} _ {t} = W_ {t} + {\ Frac {\ mu -r} {\ sigma}} t,}

$stwierdza,$ Girsanova $w$ miara, ramach której ruchem Browna. $_ Wykorzystując$ jako ryzyka . $reguły$ w rachunku Itô, można nieformalnie różnicować w odniesieniu do przestawiać powyższe wyrażenie, aby wyprowadzić SDE

{\ Displaystyle dW_ {t} = d {\ tylda {W}} _ {t} - {\ Frac {\ mu -r} {\ sigma} }\,dt,}

Umieść to z powrotem w pierwotnym równaniu:

{\ Displaystyle dS_ {t} = rS_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, d {\ tylda {W}} _ {t}.}

Niech ${\ Displaystyle {\ tylda {S}} _ {t}}$ będzie obniżoną ceną akcji podaną przez ${\ Displaystyle {\ tylda {S}} _ {t} =e^{-rt}S_{t}}$ , to z lematu Ito otrzymujemy SDE:

{\ Displaystyle d {\ tylda {S}} _ {t} = \ sigma {\ tylda {S}} _ {t} \, d {\ tylda {W}} _ {t}.}

${\ displaystyle Q}$ jest unikalną miarą neutralną pod względem ryzyka dla modelu. ${\ Displaystyle H_ {t} = \ operatorname {E} _ {Q} (H_ {T} | F_ {t$ mi jest martyngałem pod ${\ Displaystyle Q}$ . Zauważ, że dryf SDE to $,$ ryzyka stopa procentowa co sugeruje neutralność ryzyka. Od $displaystyle {\$ są martyngałami, na które możemy powołać się na twierdzenie ${S}}}$ reprezentacji martyngału, $aby$ znaleźć strategię replikacji opłacalny portfel akcji i obligacji S ~ {\ przez cały czas ${\ Displaystyle H_ {t}}$ ${\ Displaystyle t \ równoważnik T}$ .