Ceny Martingale

Wycena martingale to podejście do wyceny oparte na pojęciach martingale i neutralności ryzyka . Podejście do wyceny martingale jest kamieniem węgielnym nowoczesnych finansów ilościowych i może być stosowane do różnych kontraktów na instrumenty pochodne , np. opcje , kontrakty futures , instrumenty pochodne na stopę procentową , kredytowe instrumenty pochodne itp.

W przeciwieństwie do podejścia PDE do wyceny, martyngałowe formuły cenowe mają postać oczekiwań, które można skutecznie rozwiązać numerycznie przy użyciu podejścia Monte Carlo . W związku z tym wycena Martingale jest preferowana przy wycenie kontraktów wielowymiarowych, takich jak koszyk opcji. Z drugiej strony wycena kontraktów w stylu amerykańskim jest kłopotliwa i wymaga dyskretyzacji problemu (uczynienia go jak opcji bermudzkiej ) i dopiero w 2001 roku FA Longstaff i ES Schwartz opracował praktyczną metodę Monte Carlo do wyceny opcji amerykańskich.

Reprezentacja teorii miary

Załóżmy, że stan rynku może być reprezentowany przez filtrowaną przestrzeń prawdopodobieństwa , ${\ Displaystyle (\ Omega, {{\ mathcal {F}} _ {t })_ {t\w [0,T]},{\tylda {\mathbb {P}}})}$ . Niech ${\ Displaystyle \ {S (t) \} _ {t \ w [0, T]}}$ być stochastycznym procesem cenowym w tej przestrzeni. Można wycenić pochodny papier wartościowy zgodnie z filozofią braku arbitrażu, ponieważ ${\ Displaystyle V (t, S (t))}$

${\ Displaystyle D (t) V (t, S (t)) = {\ tylda {\ mathbb {E}}} [D (T) V (T, S (T)) | {\ mathcal {F}} _{t}],\qquad dD(t)=-r(t)D(t)\ dt}$

Gdzie $względem$ neutralną pod ryzyka .

${\ Displaystyle (r (t)) _ {t \ w [0, T]}}$ jest ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t }}$ -mierzalny (pozbawiony ryzyka, ewentualnie stochastyczny) proces stopy procentowej.

Osiąga się to poprzez prawie pewną replikację wypłaty w czasie instrumentu pochodnego $przy$ użyciu tylko bazowych papierów wartościowych i wolnego od ryzyka rynku pieniężnego (MMA) Te instrumenty bazowe mają ceny, które są obserwowalne i znane. $_$ proces _ ${\ Displaystyle \ Delta (t)}$ akcje akcji bazowych za każdym razem ${\ Displaystyle t}$ i ${\ Displaystyle X (t) - \ Delta (t ) S (t)}$ gotówka zarabiająca na stopie wolnej od ryzyka ${\ displaystyle r (t)}$ . Portfel jest zgodny ze stochastycznym równaniem różniczkowym

${\ Displaystyle dX (t) = \ Delta (t) \ dS(t)+r(t)(X(t)-\Delta (t)S(t))\ dt}$

$_$ spróbujemy twierdzenie najpierw obliczając czyli pochodna Radona-Nikodyma w odniesieniu do obserwowanego rynkowego rozkładu prawdopodobieństwa. Gwarantuje to, że proces replikacji portfela zdyskontowanego jest Martingale w warunkach neutralnych pod względem ryzyka.

$V(0,S(0))=X(0)$ proces może być dobrze zdefiniowany i skonstruowany, to wybierając $\Delta (t)$ will result in ${\tilde {\mathbb {P} }}[X(T)=V(T)]=1$$,$ że tak się dzieje prawie na pewno również, ponieważ te dwie miary są równoważne.

Zobacz też

• Brownowski model rynków finansowych
• Martingale (teoria prawdopodobieństwa)