Abstrakcja (matematyka)

Abstrakcja w matematyce to proces wydobywania leżących u podstaw struktur , wzorców lub właściwości koncepcji matematycznej, usuwania wszelkiej zależności od obiektów świata rzeczywistego, z którymi pierwotnie mogła być powiązana, i uogólniania jej w taki sposób, aby miała szersze zastosowania lub pasowała do innych abstrakcji. opisy równoważnych zjawisk . Dwie najbardziej abstrakcyjne dziedziny współczesnej matematyki to teoria kategorii i teoria modeli .

Opis

Wiele dziedzin matematyki rozpoczęło się od badania rzeczywistych problemów, zanim leżące u ich podstaw zasady i koncepcje zostały zidentyfikowane i zdefiniowane jako struktury abstrakcyjne . Na przykład geometria ma swoje korzenie w obliczaniu odległości i powierzchni w świecie rzeczywistym, a algebra zaczęła się od metod rozwiązywania problemów arytmetycznych .

Abstrakcja jest ciągłym procesem w matematyce, a historyczny rozwój wielu zagadnień matematycznych wykazuje przejście od konkretu do abstrakcji. Na przykład pierwsze kroki w abstrakcji geometrii historycznie poczynili starożytni Grecy, a Elementy Euklidesa były najwcześniejszą zachowaną dokumentacją aksjomatów geometrii płaskiej - chociaż Proclus mówi o wcześniejszej aksjomatyzacji Hipokratesa z Chios . W XVII wieku Kartezjusz wprowadził współrzędne kartezjańskie , co umożliwiło rozwój geometrii analitycznej . Dalsze kroki w abstrakcji podjęli Łobaczewski , Bolyai , Riemann i Gauss , którzy uogólnili koncepcje geometrii, aby rozwinąć geometrie nieeuklidesowe . Później w XIX wieku matematycy jeszcze bardziej uogólnili geometrię, rozwijając takie dziedziny, jak geometria w n wymiarach , geometria rzutowa , geometria afiniczna i geometria skończona . Wreszcie „ Program Erlangen ” Felixa Kleina zidentyfikował temat leżący u podstaw wszystkich tych geometrii, definiując każdą z nich jako badanie właściwości niezmiennych w ramach danej grupy symetrii . Ten poziom abstrakcji ujawnił powiązania między geometrią a algebrą abstrakcyjną .

W matematyce abstrakcja może być korzystna na następujące sposoby:

Ujawnia głębokie powiązania między różnymi dziedzinami matematyki.
Znane wyniki w jednym obszarze mogą sugerować przypuszczenia w innym pokrewnym obszarze.
Techniki i metody z jednego obszaru można zastosować do udowodnienia wyników w innych powiązanych obszarach.
Wzorce z jednego obiektu matematycznego można uogólnić na inne podobne obiekty w tej samej klasie.

Z drugiej strony abstrakcja może być również niekorzystna, ponieważ bardzo abstrakcyjne koncepcje mogą być trudne do nauczenia. Do pojęciowego przyswojenia abstrakcji może być potrzebny pewien stopień matematycznej dojrzałości i doświadczenia.

Bertrand Russell w The Scientific Outlook (1931) pisze, że „zwykły język całkowicie nie nadaje się do wyrażania tego, co fizyka naprawdę stwierdza, ponieważ słowa życia codziennego nie są wystarczająco abstrakcyjne. Tylko matematyka i logika matematyczna mogą powiedzieć tak mało, jak fizyk myśli powiedzieć."

Zobacz też

Dalsza lektura

Bajnok, Bela (2013). Zaproszenie na matematykę abstrakcyjną . Skoczek. ISBN 978-1-4614-6635-2 .