Geometria stochastyczna

Możliwy stochastyczny model geometrii (model boolowski) zasięgu i łączności sieci bezprzewodowej zbudowany z dysków o losowej wielkości umieszczonych w losowych lokalizacjach

W matematyce geometria stochastyczna to badanie losowych wzorców przestrzennych. U podstaw przedmiotu leży badanie losowych wzorców punktowych. Prowadzi to do teorii przestrzennych procesów punktowych , stąd pojęcia warunkowania Palm, które rozciągają się na bardziej abstrakcyjne ustawienie miar losowych .

modele

Istnieją różne modele procesów punktowych, zwykle oparte na klasycznym jednorodnym procesie punktowym Poissona (podstawowy model całkowitej przypadkowości przestrzennej ), ale wykraczające poza ten obszar, aby znaleźć ekspresyjne modele, które umożliwiają skuteczne metody statystyczne.

Teoria wzorców punktowych stanowi główny element konstrukcyjny do generowania losowych procesów obiektowych, umożliwiając konstruowanie skomplikowanych losowych wzorców przestrzennych. Najprostsza wersja, model boolowski , umieszcza losowy zwarty obiekt w każdym punkcie procesu punktu Poissona. Bardziej złożone wersje umożliwiają interakcje oparte na różne sposoby na geometrii obiektów. Różne kierunki zastosowań obejmują: wytwarzanie modeli dla przypadkowych obrazów jako zestawienia obiektów lub jako wzory nakładających się obiektów; także generowanie inspirowanych geometrycznie modeli dla podstawowego procesu punktowego (na przykład rozkład wzorca punktowego może być obciążony wykładniczym czynnikiem obejmującym obszar połączenia obiektów; jest to związane z modelem mechaniki statystycznej Widoma-Rowlinsona) .

Losowy obiekt

Co oznacza przypadkowy przedmiot? Pełna odpowiedź na to pytanie wymaga teorii losowych zbiorów domkniętych , która nawiązuje kontakt z zaawansowanymi koncepcjami teorii miary. Kluczową ideą jest skupienie się na prawdopodobieństwach trafienia danego losowego zbioru zamkniętego w określone zbiory testowe. Pojawiają się pytania o wnioskowanie (na przykład oszacuj zbiór, który zawiera dany wzorzec punktowy) i teorie uogólnień średnich itp., które można zastosować do zbiorów losowych. Obecnie tworzone są powiązania między tą ostatnią pracą a najnowszymi osiągnięciami w geometrycznej analizie matematycznej dotyczącej ogólnych przestrzeni metrycznych i ich geometrii. Dobre parametryzacje określonych zbiorów losowych pozwalają na odniesienie procesów obiektów losowych do teorii procesów punktowych; pary obiekt-punkt są postrzegane jako punkty w większej przestrzeni produktowej utworzonej jako iloczyn oryginalnej przestrzeni i przestrzeni parametryzacji.

Procesy liniowe i hiperpłaskie

Załóżmy, że nie zajmujemy się już obiektami zwartymi, ale obiektami rozciągłymi przestrzennie: liniami na płaszczyźnie lub mieszkaniami w przestrzeni trójwymiarowej. Prowadzi to do rozważenia procesów liniowych oraz procesów mieszkań lub hipermieszkań. Nie może już istnieć preferowana lokalizacja przestrzenna dla każdego obiektu; jednakże teorię można z powrotem odwzorować na teorię procesów punktowych, przedstawiając każdy obiekt za pomocą punktu w odpowiedniej przestrzeni reprezentacji. Na przykład w przypadku linii skierowanych na płaszczyźnie można przyjąć, że przestrzenią reprezentacji jest walec. Komplikacją jest to, że euklidesowe symetrie ruchu zostaną wtedy wyrażone w przestrzeni reprezentacji w nieco nietypowy sposób. Ponadto obliczenia muszą uwzględniać interesujące odchylenia przestrzenne (na przykład segmenty linii są mniej narażone na przypadkowe linie, do których są prawie równoległe), a to zapewnia interesujące i znaczące połączenie z niezwykle istotnym obszarem stereologia , którą pod pewnymi względami można postrzegać jako jeszcze jeden temat geometrii stochastycznej. Często zdarza się, że obliczenia najlepiej przeprowadzać w kategoriach wiązek linii uderzających w różne zestawy testowe, zamiast pracować w przestrzeni reprezentacji.

Procesy liniowe i hiperpłaskie mają swoje własne bezpośrednie zastosowania, ale znajdują również zastosowanie jako jeden ze sposobów tworzenia teselacji dzielących przestrzeń; stąd na przykład można mówić o teselacji linii Poissona. Godny uwagi niedawny wynik dowodzi, że komórka na początku teselacji linii Poissona jest w przybliżeniu okrągła, gdy jest uwarunkowana jako duża. Teselacje w geometrii stochastycznej można oczywiście tworzyć innymi sposobami, na przykład za pomocą Woronoja i wariantów, a także poprzez iterację różnych sposobów konstrukcji.

Pochodzenie nazwy

Wydaje się, że nazwa została wymyślona przez Davida Kendalla i Klausa Krickeberga podczas przygotowań do warsztatów w Oberwolfach w czerwcu 1969 r., Chociaż poprzednicy teorii sięgają znacznie dalej pod nazwą prawdopodobieństwo geometryczne . Termin „geometria stochastyczna” był również używany przez Frischa i Hammersleya w 1963 r. Jako jedna z dwóch propozycji nazw teorii „losowych struktur nieregularnych” inspirowanych teorią perkolacji .

Aplikacje

Ten krótki opis skupił się na teorii geometrii stochastycznej, która pozwala na wgląd w strukturę przedmiotu. Jednak znaczna część życia i zainteresowań tego przedmiotu, a nawet wiele jego oryginalnych pomysłów, wynika z bardzo szerokiego zakresu zastosowań, na przykład: astronomia, telekomunikacja rozproszona przestrzennie, modelowanie i analiza sieci bezprzewodowych, modelowanie zanikania kanałów , leśnictwo , statystyczna teoria kształtu, materiałoznawstwo, analiza wielowymiarowa , problemy analizy obrazu i stereologia . Istnieją linki do mechaniki statystycznej, Łańcuch Markowa Monte Carlo i implementacje teorii w obliczeniach statystycznych (np. spatstat w R ). Ostatnio pewną rolę zaczynają odgrywać procesy wyznacznikowe i permanentne (związane z teorią macierzy losowych).

Zobacz też

  1. Bibliografia _ _ Chayes, L.; Kotecki, R. (1995). „Analiza modelu Widoma-Rowlinsona stochastycznymi metodami geometrycznymi” . Komunikacja w fizyce matematycznej . 172 (3): 551–569. Bibcode : 1995CMaPh.172..551C . doi : 10.1007/BF02101808 .
  2. ^ Kowalenko, IN (1999). „Uproszczony dowód hipotezy DG Kendalla dotyczącej kształtów losowych wielokątów” . Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis . 12 (4): 301–310. doi : 10.1155/S1048953399000283 .
  3. ^ a b Patrz przedmowa w   Stoyan, D.; Kendall, WS; Mecke, J. (1987). Geometria stochastyczna i jej zastosowania . Wiley'a _ ISBN 0-471-90519-4 .
  4. Bibliografia _ Hammersley, JM (1963). „Procesy perkolacji i tematy pokrewne”. SIAM Journal na temat matematyki stosowanej . 11 (4): 894–918. doi : 10.1137/0111066 .
  5. Bibliografia    _ _ Weil, W. (2008). Geometria stochastyczna i całkowa . Prawdopodobieństwo i jego zastosowania. Springera . doi : 10.1007/978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4 . MR 2455326 .
  6. Bibliografia   _ Saar, E. (2001). Statystyki rozkładu galaktyki . Chapmana i Halla . ISBN 1-58488-084-8 .
  7. Bibliografia _ Klein, M.; Lebourges, M.; Zujew S. (1997). „Stochastyczna geometria i architektura sieci komunikacyjnych”. Systemy telekomunikacyjne . 7 : 209–227. doi : 10.1023/A:1019172312328 .
  8. Bibliografia _ Geometria stochastyczna dla sieci bezprzewodowych . Cambridge University Press, 2012.
  9. ^ Piterbarg, VI; Wong, KT (2005). „Współczynnik korelacji przestrzennej w stacji bazowej, w jawnym wyrażeniu analitycznym w postaci zamkniętej, ze względu na rozpraszacze o heterogenicznym rozkładzie Poissona”. Anteny IEEE i litery propagacji sieci bezprzewodowej . 4 (1): 385–388. Bibcode : 2005IAWPL...4..385P . doi : 10.1109/LAWP.2005.857968 .
  10. Bibliografia _ Shayan, YR (2014). „Zachowanie zanikania na dużą skalę w sieci komórkowej z równomiernym rozkładem przestrzennym”. Komunikacja bezprzewodowa i komputery przenośne . 4 (7): 1–17. ar Xiv : 1302.0891 . doi : 10.1002/WCM.2565 .
  11. Bibliografia _ Penttinen, A. (2000). „Najnowsze zastosowania metod procesów punktowych w statystyce leśnej”. Nauka statystyczna . 15 : 61–78.
  12. ^ Kendall, DG (1989). „Przegląd statystycznej teorii kształtu” . Nauka statystyczna . 4 (2): 87–99. doi : 10.1214/ss/1177012582 .
  13. ^   Torquato, S. (2002). Losowe materiały heterogeniczne . Springer-Verlag . ISBN 0-387-95167-9 .
  14. ^   Van Lieshout, MNM (1995). Modele geometrii stochastycznej w analizie obrazu i statystyce przestrzennej . CWI Traktat, 108. CWI . ISBN 90-6196-453-9 .
  15. ^ Georgii, HO; Häggström, O.; Maes, C. (2001). „Losowa geometria faz równowagi”. Przejścia fazowe i zjawiska krytyczne . Tom. 18. Prasa akademicka . s. 1–142.
  16. Bibliografia _ Turner, R. (2005). „Spatstat: pakiet R do analizy przestrzennych wzorców punktowych” . Dziennik oprogramowania statystycznego . 12 (6): 1–42. doi : 10.18637/jss.v012.i06 .
  17. Bibliografia _ Møller, J. (2006). „Trwały proces”. Postępy w stosowanym prawdopodobieństwie . 38 (4): 873–888. doi : 10.1239/aap/1165414583 .
Pobrane z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Stochastic_geometry&oldid=1126356877 ”