Modele geometrii stochastycznej sieci bezprzewodowych

W matematyce i telekomunikacji modele geometrii stochastycznej sieci bezprzewodowych odnoszą się do modeli matematycznych opartych na geometrii stochastycznej , które mają reprezentować aspekty sieci bezprzewodowych . Powiązane badania polegają na analizie tych modeli w celu lepszego zrozumienia bezprzewodowych sieci komunikacyjnych w celu przewidywania i kontrolowania różnych wskaźników wydajności sieci. Modele wymagają zastosowania technik z geometrii stochastycznej i dziedzin pokrewnych, w tym procesów punktowych , statystyka przestrzenna , prawdopodobieństwo geometryczne , teoria perkolacji , a także metody z bardziej ogólnych dyscyplin matematycznych, takich jak geometria , teoria prawdopodobieństwa , procesy stochastyczne , teoria kolejek , teoria informacji i analiza Fouriera .

We wczesnych latach sześćdziesiątych opracowano model geometrii stochastycznej do badania sieci bezprzewodowych. Ten model jest uważany za pionierski i za początek perkolacji kontinuum . Modele sieci oparte na prawdopodobieństwie geometrycznym zostały później zaproponowane i wykorzystane pod koniec lat 70. XX wieku i kontynuowane w latach 80. do badania pakietowych sieci radiowych . Później znacznie wzrosło ich wykorzystanie do badania wielu technologii sieci bezprzewodowych, w tym mobilnych sieci ad hoc , sieci czujników , samochodowych sieci ad hoc kognitywne sieci radiowe i kilka rodzajów sieci komórkowych , takich jak heterogeniczne sieci komórkowe . Kluczowe parametry wydajności i jakości usług często opierają się na koncepcjach z teorii informacji, takich jak stosunek sygnału do zakłóceń plus szum , który stanowi matematyczną podstawę definiowania łączności i zasięgu sieci.

Główną ideą leżącą u podstaw badań tych modeli geometrii stochastycznej, zwanych również losowymi modelami przestrzennymi , jest założenie, że położenie węzłów lub struktura sieci oraz wspomniane wielkości mają charakter losowy ze względu na wielkość i nieprzewidywalność użytkowników w sieciach bezprzewodowych. Zastosowanie geometrii stochastycznej może następnie pozwolić na wyprowadzenie wyrażeń w postaci zamkniętej lub półzamkniętej dla tych wielkości bez uciekania się do metod symulacyjnych lub (prawdopodobnie trudnych lub niedokładnych) modeli deterministycznych .

Przegląd

Dyscyplina geometrii stochastycznej obejmuje matematyczne badanie przypadkowych obiektów zdefiniowanych w pewnej (często euklidesowej ) przestrzeni. W kontekście sieci bezprzewodowych obiektami losowymi są zazwyczaj proste punkty (które mogą reprezentować lokalizacje węzłów sieci, takich jak odbiorniki i nadajniki) lub kształty (na przykład obszar pokrycia nadajnika), a przestrzeń euklidesowa to albo 3- wymiarowa lub częściej (2-wymiarowa) płaszczyzna, która reprezentuje region geograficzny. W sieciach bezprzewodowych (np. sieciach komórkowych) podstawowa geometria (względne położenie węzłów) odgrywa fundamentalną rolę ze względu na zakłócenia innych nadajników, podczas gdy w sieciach przewodowych (np. Internet ) podstawowa geometria jest mniej ważna.

Kanały w sieci bezprzewodowej

Trzy rodzaje kanałów lub sytuacje połączeń w sieciach bezprzewodowych.

Sieć bezprzewodową można postrzegać jako zbiór ( teoretycznie informacyjnych ) kanałów współdzielących przestrzeń i pewne wspólne pasmo częstotliwości. Każdy kanał składa się z zestawu nadajników próbujących wysłać dane do zestawu odbiorników. Najprostszym kanałem jest kanał punkt-punkt , w którym pojedynczy nadajnik ma na celu przesłanie danych do jednego odbiornika. Kanał rozgłoszeniowy, w terminologii teorii informacji, to jeden-do-wielu, w której pojedynczy nadajnik ma na celu wysłanie różnych danych do różnych odbiorników i powstaje na przykład w downlink sieci komórkowej. Kanał wielokrotnego dostępu jest odwrotny, z kilkoma nadajnikami mającymi na celu wysyłanie różnych danych do jednego odbiornika. Ta sytuacja typu „wiele do jednego” pojawia się na przykład w łączu w górę sieci komórkowych. Istnieją inne typy kanałów, takie jak sytuacja wiele do wielu. Te (informacyjne) kanały są również określane jako łącza sieciowe, z których wiele będzie jednocześnie aktywnych w danym momencie.

Geometryczne obiekty zainteresowania w sieciach bezprzewodowych

Istnieje wiele przykładów obiektów geometrycznych, które mogą być interesujące w sieciach bezprzewodowych. Rozważmy na przykład zbiór punktów na płaszczyźnie euklidesowej. Dla każdego punktu umieść na płaszczyźnie dysk, którego środek znajduje się w tym punkcie. Dyski mogą zachodzić na siebie, a promień każdego dysku jest losowy i (stochastycznie) niezależny od wszystkich innych promieni. Obiekt matematyczny składający się z połączenia wszystkich tych dysków jest znany jako model logiczny (losowy dysk) i może reprezentować na przykład obszar wykrywania sieci czujników. Jeśli wszystkie promienie nie są przypadkowe, ale mają wspólną dodatnią stałą, to wynikowy model jest znany jako dysku Gilberta (boolowski).

Model boolowski jako model pokrycia w sieci bezprzewodowej.

Symulacja czterech modeli Poissona-Boole'a (o stałym promieniu lub dysku Gilberta) w miarę wzrostu gęstości wraz z największymi skupieniami zaznaczonymi na czerwono.

Zamiast umieszczać dyski na płaszczyźnie, każdemu węzłowi można przypisać rozłączny (lub nienakładający się) podregion. Następnie płaszczyzna jest dzielona na zbiór rozłącznych podregionów. Na przykład każdy podregion może składać się ze zbioru wszystkich lokalizacji tej płaszczyzny, które są bliżej jakiegoś punktu bazowego wzoru punktowego niż jakikolwiek inny punkt wzoru punktowego. Ta matematyczna struktura jest znana jako teselacja Woronoja i może reprezentować na przykład komórki asocjacyjne w sieci komórkowej, w których użytkownicy łączą się z najbliższą stacją bazową.

Zamiast umieszczać dysk lub komórkę Woronoja w punkcie, można umieścić komórkę zdefiniowaną na podstawie kanałów teorii informacji opisanych powyżej. Na przykład komórka kanału punkt-punkt punktu została zdefiniowana jako zbiór wszystkich lokalizacji płaszczyzny, w których odbiornik może obsługiwać kanał punkt-punkt o określonej jakości z nadajnika znajdującego się w tym punkcie. To, biorąc pod uwagę, że drugi punkt jest również aktywnym nadajnikiem, jest osobnym kanałem typu punkt-punkt.

W każdym przypadku fakt, że leżący u podstaw wzorzec punktowy jest losowy (na przykład proces punktowy) lub deterministyczny (na przykład siatka punktów) lub pewna kombinacja obu, wpłynie na charakter modelu boolowskiego, teselacji Woronoja i inne struktury geometryczne, takie jak zbudowane z niego komórki kanałów typu punkt-punkt.

Kluczowe wielkości wydajności

W komunikacji przewodowej dziedzina teorii informacji (w szczególności twierdzenie Shannona-Hartleya ) motywuje potrzebę badania stosunku sygnału do szumu (SNR). W komunikacji bezprzewodowej, gdy zbiór kanałów jest aktywny w tym samym czasie, interferencja z innych kanałów jest traktowana jako szum, co uzasadnia potrzebę określenia wielkości znanej jako stosunek sygnału do zakłóceń plus szum (SINR) . ). Na przykład, jeśli mamy zbiór kanałów punkt-punkt, SINR kanału określonej pary nadajnik-odbiornik jest zdefiniowany jako:

${\ Displaystyle {\ tekst {SINR}} = {\ Frac {S} {I + N}}}$

gdzie S jest mocą w odbiorniku sygnału przychodzącego ze wspomnianego nadajnika, I jest łączną mocą wszystkich innych (zakłócających) nadajników w sieci, a N jest mocą pewnego składnika szumu termicznego. SINR zmniejsza się do SNR , gdy nie ma zakłóceń (tj. I = 0). W sieciach, w których szum jest znikomy, znanych również jako sieci „z ograniczonymi zakłóceniami”, my N = 0, co daje stosunek sygnału do zakłóceń (SIR).

Zasięg

Wspólnym celem modeli sieci bezprzewodowych o geometrii stochastycznej jest uzyskanie wyrażeń dla SINR lub funkcji SINR, które określają zasięg (lub awarię) i łączność. Na przykład pojęcie prawdopodobieństwa wyłączenia p _out , które jest nieformalnie prawdopodobieństwem niemożności pomyślnego wysłania sygnału w kanale, jest uściślane w przypadku połączenia punkt-punkt poprzez zdefiniowanie go jako prawdopodobieństwa, że SINR kanału jest mniejszy lub równy pewnemu progowi zależnemu od sieci. Prawdopodobieństwo pokrycia p _c jest wtedy prawdopodobieństwo, że SINR jest większy niż próg SINR. W skrócie, biorąc pod uwagę próg SINR t , prawdopodobieństwa wyłączenia i pokrycia są wyrażone wzorem

${\ Displaystyle p _ {\ tekst {na zewnątrz}} = P ({\ tekst {SINR}} \ równoważnik t)}$

I

${\ Displaystyle p _ {\ tekst {c}} = P ({\ tekst {SINR}}> t) = 1- p _ {\ tekst {na zewnątrz}}}$ .

Komórki SINR modelu sieci bezprzewodowej rozszerzają się wraz ze wzrostem mocy nadajnika.

Pojemność kanału

Jednym z celów modeli geometrii stochastycznej jest wyprowadzenie praw prawdopodobieństwa pojemności kanału Shannona lub szybkości typowego kanału, biorąc pod uwagę interferencję stworzoną przez wszystkie inne kanały.

W przypadku kanału punkt-punkt zakłócenia powodowane przez inne nadajniki są uważane za szum, a gdy ten szum jest gaussowski , prawo typowej przepustowości kanału Shannona jest następnie określane przez SINR za pomocą wzoru Shannona (w bitach na sekundę):

${\ Displaystyle C = B \ log _ {2} (1 + {\ tekst {SINR}})}$

gdzie B jest szerokością pasma kanału w hercach . Innymi słowy, istnieje bezpośredni związek między prawdopodobieństwem pokrycia lub wyłączenia a przepustowością kanału Shannon. Problem określenia rozkładu prawdopodobieństwa C w takim losowym ustawieniu był badany w kilku typach architektur lub typów sieci bezprzewodowych .

Wczesna historia

Ogólnie rzecz biorąc, stosowanie metod z teorii prawdopodobieństwa i procesów stochastycznych w systemach komunikacyjnych ma długą i przeplatającą się historię sięgającą ponad stu lat wstecz, aż do pionierskiej pracy Agnera Erlanga w dziedzinie teletraffic . Tworząc modele geometrii stochastycznej, Edgar Gilbert w latach 60. zaproponował matematyczny model sieci bezprzewodowych, obecnie znany jako model dysku Gilberta, który dał początek dziedzinie teorii perkolacji kontinuum, która z kolei jest uogólnieniem perkolacji dyskretnej. Począwszy od późnych lat 70., Leonard Kleinrock a inni używali modeli bezprzewodowych opartych na procesach Poissona do badania sieci przesyłania pakietów. Prace te trwały do ​​lat 90., kiedy to krzyżowały się z pracami nad odgłosem śrutu.

Hałas wystrzału

Ogólna teoria i techniki geometrii stochastycznej, aw szczególności procesów punktowych, często były motywowane zrozumieniem rodzaju szumu , który pojawia się w systemach elektronicznych, znanego jako szum śrutowy . W przypadku niektórych funkcji matematycznych procesu punktowego standardową metodą znajdowania średniej (lub wartości oczekiwanej ) sumy tych funkcji jest wzór lub twierdzenie Campbella , które ma swoje korzenie w pionierskiej pracy Normana R. Campbella na temat szumu wystrzału nad a wiek temu. Znacznie później, w latach 60., Gilbert u boku Henry'ego Pollaka badali proces odgłosu strzału utworzony z sumy funkcji odpowiedzi procesu Poissona i zmiennych losowych o identycznym rozkładzie. Proces szumu strzałowego zainspirował bardziej formalne prace matematyczne w dziedzinie procesów punktowych, często z wykorzystaniem funkcji charakterystycznych , a później został wykorzystany do modeli interferencji sygnału z innych węzłów w sieci.

Zakłócenia sieciowe jako odgłos strzału

Mniej więcej na początku lat 90. badano szum wystrzału w oparciu o proces Poissona i funkcję odpychania na mocy prawa potęgowego i zaobserwowano, że ma on stabilny rozkład . Niezależnie naukowcy z powodzeniem opracowali Fouriera i Laplace'a techniki interferencji doświadczanej przez użytkownika w sieci bezprzewodowej, w której lokalizacje (zakłócających) węzłów lub nadajników są rozmieszczone zgodnie z procesem Poissona. Niezależnie wykazano ponownie, że szum strzału Poissona, obecnie jako model interferencji, ma stabilny rozkład dzięki zastosowaniu funkcji charakterystycznych lub, równoważnie, transformat Laplace'a, z którymi często łatwiej jest pracować niż z odpowiednimi rozkładami prawdopodobieństwa.

Co więcej, założenie, że odbierana (tj. użyteczna) moc sygnału ma rozkład wykładniczy (na przykład z powodu zaniku Rayleigha) i szumu strzału Poissona (z którego znany jest Laplace) pozwala na jawne wyrażenie w postaci zamkniętej dla prawdopodobieństwa pokrycia na SINR. Ta obserwacja pomaga wyjaśnić, dlaczego o zanikaniu Rayleigha jest często przyjmowane podczas konstruowania modeli geometrii stochastycznej.

Modele zasięgu i łączności SINR

Później, na początku XXI wieku, naukowcy rozpoczęli badanie właściwości regionów objętych SINR w ramach geometrii stochastycznej, aw szczególności procesów pokrycia. Łączność pod względem SINR badano przy użyciu technik z teorii perkolacji kontinuum. Mówiąc dokładniej, wczesne wyniki Gilberta zostały uogólnione na kontekst sprawy SINR.

Podstawy modelu

Sieć bezprzewodowa składa się z węzłów (z których każdy jest nadajnikiem, odbiornikiem lub jednym i drugim, w zależności od systemu), które wytwarzają, przekazują lub zużywają dane w sieci. Na przykład stacje bazowe i użytkownicy w sieci telefonii komórkowej lub węzły czujników w sieci czujników. Przed opracowaniem geometrii stochastycznej modele bezprzewodowe, modele są wymagane do matematycznego przedstawienia propagacji sygnału i pozycjonowania węzła. Model propagacji rejestruje, w jaki sposób sygnały rozchodzą się od nadajników do odbiorników. Lokalizacja węzłów lub model pozycjonowania (idealizuje i) reprezentuje pozycje węzłów jako proces punktowy. Wybór tych modeli zależy od charakteru sieci bezprzewodowej i jej otoczenia. Typ sieci zależy od takich czynników jak specyficzna architektura (np. komórkowa) oraz kontrola dostępu do kanału lub medium (MAC), który kontroluje kanały, a tym samym struktury komunikacyjne sieci. W szczególności, aby zapobiec kolizjom transmisji w sieci, protokół MAC dyktuje, w oparciu o określone reguły, kiedy pary nadajnik-odbiornik mogą uzyskać dostęp do sieci zarówno w czasie, jak iw przestrzeni, co również wpływa na aktywny model pozycjonowania węzłów.

Model propagacji

propagacji sygnałów elektromagnetycznych (lub fal) w różnych ośrodkach , takich jak powietrze, potrzebne są odpowiednie i łatwe w obsłudze modele , uwzględniające propagację wielościeżkową (w wyniku odbicia, załamania, dyfrakcji i dyspersji) powodowaną przez sygnały zderzające się z przeszkodami, takimi jak budynki. Model propagacji jest elementem składowym modelu sieci bezprzewodowej o geometrii stochastycznej. Powszechnym podejściem jest rozważenie modeli propagacji z dwiema oddzielnymi częściami składającymi się z losowych i deterministycznych (lub nielosowych) składników propagacji sygnału.

Składnik deterministyczny jest zwykle reprezentowany przez pewną funkcję utraty ścieżki lub tłumienia, która wykorzystuje odległość propagowaną przez sygnał (od jego źródła) do modelowania zaniku mocy sygnałów elektromagnetycznych. Funkcja utraty ścieżki zależna od odległości może być prostą prawa potęgowego (na przykład model Hata ), szybko zanikającą funkcją wykładniczą, pewną kombinacją obu lub inną funkcją malejącą. Ze względu na swoją wykonalność modele często zawierają funkcję prawa potęgowego

${\ Displaystyle \ ell (| xy |) = | xy | ^ {\ alfa}}$ ,

gdzie wykładnik utraty ścieżki α > 2 i | x − y | oznacza odległość między punktem y a źródłem sygnału w punkcie x .

Składnik losowy stara się uchwycić pewne rodzaje zaniku sygnału związanego z absorpcją i odbiciami przez przeszkody. Stosowane modele zanikania obejmują rozkłady Rayleigha (implikujące wykładnicze zmienne losowe dla potęgi), logarytmiczno-normalny , Rice'a i Nakagamiego .

Zarówno deterministyczne, jak i losowe składniki propagacji sygnału są zwykle uważane za szkodliwe dla ogólnej wydajności sieci bezprzewodowej.

Model pozycjonowania węzłów

Ważnym zadaniem w modelach sieci o geometrii stochastycznej jest wybór modelu matematycznego lokalizacji węzłów sieci. Standardowym założeniem jest, że węzły są reprezentowane przez (wyidealizowane) punkty w jakiejś przestrzeni (często euklidesowej R ⁿ , a jeszcze częściej w płaszczyźnie R ² ), co oznacza, że ​​tworzą one stochastyczną lub losową strukturę znaną jako punkt (przestrzenny) proces.

Według jednego z badań statystycznych lokalizacje stacji bazowych telefonii komórkowej lub komórkowej w australijskim mieście Sydney przypominają realizację procesu punktu Poissona.

Proces Poissona

Zasugerowano szereg procesów punktowych do modelowania pozycjonowania węzłów sieci bezprzewodowej. Wśród nich najczęściej używany jest proces Poissona , który daje model sieci Poissona. Ogólnie rzecz biorąc, proces Poissona jest powszechnie stosowany jako model matematyczny w wielu dyscyplinach ze względu na jego wysoce wykonalny i dobrze zbadany charakter. Często przyjmuje się, że proces Poissona jest jednorodny (co oznacza, że ​​jest procesem stacjonarnym ) z pewną stałą gęstością węzłów λ . W przypadku procesu Poissona na płaszczyźnie oznacza to, że prawdopodobieństwo posiadania n punkty lub węzły w ograniczonym regionie B są podane przez

$\ Displaystyle P (n) = {\ Frac {(\ lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda | B |},}$

gdzie | B. | jest obszarem B i n ! oznacza n silnia. Powyższe równanie można szybko rozszerzyć na R ³ , zastępując wyraz powierzchni wyrazem objętości .

Matematyczna wykonalność lub łatwość pracy z modelami Poissona wynika głównie z ich „całkowitej niezależności”, co zasadniczo mówi, że dwa (lub więcej) rozłącznych (lub nienakładających się) ograniczonych regionów zawierają odpowiednio dwie (lub więcej) liczbę punktów Poissona które są od siebie niezależne. Ta ważna właściwość charakteryzuje proces Poissona i jest często używana jako jego definicja.

Całkowita niezależność lub właściwość „losowości” procesów Poissona prowadzi do pewnych użytecznych cech i wyników operacji procesów punktowych, takich jak właściwość superpozycji: superpozycja procesów Poissona o gęstościach $λ$ _do λ n _jest kolejnym procesem Poissona z gęstością

${\ Displaystyle \ lambda = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i}.}$

Co więcej, losowe rozrzedzenie procesu Poissona (z gęstością λ ), w którym każdy punkt jest niezależnie usuwany (lub zachowywany) z pewnym prawdopodobieństwem p (lub 1 - p ), tworzy inny proces Poissona (z gęstością (1 - p ) λ ), podczas gdy zachowane punkty tworzą również proces Poissona (o gęstości pλ ), który jest niezależny od procesu Poissona usuniętych punktów.

Te właściwości i definicja jednorodnego procesu Poissona rozciągają się na przypadek niejednorodnego (lub niejednorodnego) procesu Poissona, który jest niestacjonarnym procesem stochastycznym o gęstości zależnej od lokalizacji λ ( x ) , gdzie x jest punktem ( zwykle w płaszczyźnie, R ² ). Aby uzyskać więcej informacji, zobacz artykuły dotyczące procesu Poissona.

Inne procesy punktowe

Pomimo swojego upraszczającego charakteru, właściwość niezależności procesu Poissona była krytykowana za to, że nie przedstawia realistycznie konfiguracji wdrożonych sieci. Na przykład nie wychwytuje „odpychania” węzła, gdy dwa (lub więcej) węzły w sieci bezprzewodowej mogą nie być normalnie umieszczone (arbitralnie) blisko siebie (na przykład stacje bazowe w sieci komórkowej). Oprócz tego protokoły MAC często wprowadzają korelacje lub konfiguracje inne niż Poissona do geometrii jednocześnie aktywnego wzorca nadajnika. Silne korelacje pojawiają się również w przypadku kognitywnych sieci radiowych, w których wtórne nadajniki mogą nadawać tylko wtedy, gdy znajdują się daleko od głównych odbiorników. Aby odpowiedzieć na te i inne zarzuty, zasugerowano szereg procesów punktowych reprezentujących pozycjonowanie węzłów, w tym proces dwumianowy, procesy klastrowe, twarde procesy Matérna oraz procesy Straussa i Ginibre'a. Na przykład twarde procesy Matérna są konstruowane przez zależne przerzedzanie procesu punktu Poissona. Zależne przerzedzanie odbywa się w taki sposób, że dla dowolnego punktu wynikowego twardego procesu nie ma innych punktów w określonym promieniu, tworząc w ten sposób „twardy rdzeń” wokół każdego punktu w procesie. Z drugiej strony procesy miękkiego rdzenia mają odpychanie punktowe, które mieści się gdzieś pomiędzy procesami twardego rdzenia a procesami Poissona (które nie mają odpychania). Mówiąc dokładniej, prawdopodobieństwo istnienia punktu w pobliżu innego punktu w procesie punktowym o miękkim rdzeniu zmniejsza się w pewien sposób, gdy zbliża się on do innego punktu, tworząc w ten sposób „miękki rdzeń” wokół każdego punktu, w którym mogą istnieć inne punkty, ale są one mniej prawdopodobnie.

Chociaż modele oparte na tych i innych procesach punktowych są w niektórych sytuacjach bliższe rzeczywistości, na przykład w konfiguracji stacji bazowych telefonii komórkowej, często cierpią z powodu utraty wykonalności, podczas gdy proces Poissona znacznie upraszcza matematykę i techniki, wyjaśniając jego ciągłe do tworzenia stochastycznych modeli geometrii sieci bezprzewodowych. Wykazano również, że rozkład SIR sieci komórkowych innych niż Poissona można przybliżyć, stosując przesunięcie poziome do rozkładu SIR sieci Poissona.

Klasyfikacja modeli

Typ modelu sieci jest kombinacją czynników, takich jak organizacja architektury sieci (komórkowa, ad hoc , radio kognitywne), używany protokół kontroli dostępu do medium (MAC), uruchomiona aplikacja oraz to, czy sieć jest mobilna czy statyczny.

Modele oparte na konkretnych architekturach sieciowych

Na początku XXI wieku pojawiło się wiele nowych technologii sieciowych, w tym mobilne sieci ad hoc i sieci czujników. Do opracowania modeli tych sieci wykorzystano geometrię stochastyczną i techniki perkolacji. Wzrost ruchu użytkowników doprowadził do zastosowania geometrii stochastycznej w sieciach komórkowych.

Mobilne modele sieci ad hoc

Dwubiegunowy model sieci Poissona jest rodzajem modelu geometrii stochastycznej opartej na procesie Poissona i jest wczesnym przykładem modelu mobilnych sieci ad hoc (MANET), które są samoorganizującą się bezprzewodową siecią komunikacyjną, w której urządzenia mobilne nie polegają na żadnej infrastrukturze (stacje bazowe lub punkty dostępowe). W modelach MANET nadajniki tworzą losowy proces punktowy, a każdy nadajnik ma swój odbiornik umieszczony w pewnej losowej odległości i orientacji. Kanały tworzą zbiór par nadajnik-odbiornik lub „dwubiegunów”; sygnał kanału jest przesyłany przez skojarzony bipol, podczas gdy zakłócenia są wytwarzane przez wszystkie inne nadajniki niż bipol. Podejście uwzględniające bipole nadawczo-odbiorcze doprowadziło do opracowania i analizy jednego z modeli sieci bipolarnej Poissona. W szczególności wyprowadzono wybór prawdopodobieństwa dostępu do medium, które maksymalizuje średnią liczbę udanych transmisji na jednostkę przestrzeni.

Modele sieci sensorowych

Bezprzewodowa sieć czujników składa się z przestrzennie rozproszonego zbioru autonomicznych węzłów sensorycznych. Każdy węzeł jest przeznaczony do monitorowania warunków fizycznych lub środowiskowych, takich jak temperatura, dźwięk, ciśnienie itp. oraz do wspólnego przekazywania zebranych danych przez sieć do głównej lokalizacji. W nieustrukturyzowanych sieciach czujników rozmieszczenie węzłów może odbywać się w sposób losowy. Głównym kryterium wydajności wszystkich sieci czujników jest zdolność sieci do gromadzenia danych, co motywuje potrzebę ilościowego określenia zasięgu lub obszaru wykrywania sieci. Ważne jest również, aby ocenić łączność sieci lub jej zdolność do przekazywania zebranych danych z powrotem do głównej lokalizacji.

Losowy charakter nieustrukturyzowanych sieci czujników zmotywował do zastosowania metod geometrii stochastycznej. Na przykład narzędzia teorii ciągłej perkolacji i procesów pokrycia zostały wykorzystane do zbadania pokrycia i łączności. Jednym z modeli używanych do badania tych sieci i ogólnie sieci bezprzewodowych jest model Poissona-Boole'a , który jest rodzajem procesu pokrycia z teorii perkolacji kontinuum .

Jednym z głównych ograniczeń sieci czujników jest zużycie energii, gdzie zwykle każdy węzeł ma baterię i być może wbudowaną formę zbierania energii. Aby zmniejszyć zużycie energii w sieciach czujników, zaproponowano różne schematy uśpienia, które pociągają za sobą przejście podzbioru węzłów w tryb uśpienia o niskim zużyciu energii. Te schematy uśpienia oczywiście wpływają na zasięg i łączność sieci czujników. Zaproponowano podstawowe modele oszczędzania energii, takie jak prosty nieskoordynowany lub zdecentralizowany model „mrugania”, w którym (w każdym przedziale czasu) każdy węzeł niezależnie wyłącza się (lub włącza) z pewnym ustalonym prawdopodobieństwem. Korzystając z narzędzi teorii perkolacji, zaproponowano model nowego typu, określany jako migający model Boole'a-Poissona, do analizy opóźnień i wydajności łączności sieci czujników z takimi schematami uśpienia.

Modele sieci komórkowych

Sieć komórkowa to sieć radiowa rozproszona w pewnym regionie z podpodziałami zwanymi komórkami, z których każda jest obsługiwana przez co najmniej jeden nadajnik- odbiornik o stałej lokalizacji , znany jako komórkowa stacja bazowa. W sieciach komórkowych każda komórka wykorzystuje inny zestaw częstotliwości niż sąsiednie komórki, aby złagodzić zakłócenia i zapewnić większą przepustowość w każdej komórce. Operatorzy sieci komórkowych muszą znać pewne wskaźniki wydajności lub jakości usług (QoS) w celu zwymiarowania sieci, co oznacza dostosowanie gęstości wdrożonych stacji bazowych do zapotrzebowania ruchu użytkowników na wymagany poziom QoS.

W sieciach komórkowych kanał od użytkowników (lub telefonów) do stacji bazowej jest nazywany kanałem uplink. Odwrotnie, kanał łącza w dół jest od stacji bazowej (stacji bazowych) do użytkowników. Kanał łącza w dół jest najczęściej badany za pomocą modeli geometrii stochastycznej, podczas gdy modele dla przypadku łącza w górę, który jest trudniejszym problemem, zaczynają się rozwijać.

W przypadku łącza w dół nadajniki i odbiorniki można traktować jako dwa oddzielne procesy punktowe. W najprostszym przypadku na odbiornik (tj. użytkownika) przypada jeden kanał typu punkt-punkt, a dla danego odbiornika jest to kanał od najbliższego nadajnika (tj. stacji bazowej) do odbiornika. Inna opcja polega na doborze nadajnika o najlepszej mocy sygnału do odbiornika. W każdym przypadku może istnieć kilka kanałów z tym samym nadajnikiem.

Pierwszym podejściem do analizy sieci komórkowych jest rozważenie typowego użytkownika, o którym można założyć, że znajduje się w dowolnym miejscu w samolocie. Przy założeniu ergodyczności procesu punktowego (spełnionej przy zastosowaniu jednorodnych procesów Poissona) wyniki dla typowego użytkownika odpowiadają średnim użytkownikom. Prawdopodobieństwo zasięgu typowego użytkownika jest następnie interpretowane jako odsetek użytkowników sieci, którzy mogą połączyć się z siecią komórkową.

Opierając się na wcześniejszych pracach wykonanych na modelu Aloha , wyprowadzono prawdopodobieństwo pokrycia dla typowego użytkownika dla sieci Poissona. Model sieci komórkowej Poissona okazuje się łatwiejszy w obsłudze niż model heksagonalny. Tymczasem obserwację tę można argumentować faktem, że szczegółowe i precyzyjne wyprowadzenie funkcji rozkładu prawdopodobieństwa tłumienia kanału między losowym węzłem a referencyjną stacją bazową dla modelu heksagonalnego zostało wyraźnie wyprowadzone; a wynik ten można wykorzystać do łatwego wyznaczenia prawdopodobieństwa wyłączenia.

W obecności wystarczająco silnego i niezależnego zanikania (lub cieniowania) cienia logarytmiczno-normalnego i pojedynczej funkcji tłumienia potęgowego zaobserwowano za pomocą symulacji dla sieci heksagonalnych, a następnie matematycznie udowodniono, że dla ogólnych sieci stacjonarnych (w tym heksagonalnych) ilości takie jak SINR i SIR typowego użytkownika zachowują się stochastycznie, tak jakby podstawowa sieć była Poissona. Innymi słowy, biorąc pod uwagę funkcję utraty ścieżki, użycie modelu sieci komórkowej Poissona ze stałym cieniowaniem jest równoważne (pod względem SIR, SINR itp.) Założeniu wystarczająco dużego i niezależnego zanikania lub cieniowania w modelu matematycznym z ustawionymi stacjami bazowymi według konfiguracji deterministycznej lub losowej o stałej gęstości.

Wyniki zostały pierwotnie uzyskane dla cieniowania logarytmicznego, ale następnie rozszerzono je na dużą rodzinę modeli zanikania i cieniowania. W przypadku cieniowania logarytmiczno-normalnego wykazano również matematycznie, że sieci bezprzewodowe mogą nadal wyglądać na Poissona, jeśli istnieje jakaś korelacja między cieniowaniem.

Heterogeniczne modele sieci komórkowych

W kontekście sieci komórkowych, heterogeniczna sieć (czasami znana jako HetNet) to sieć, która wykorzystuje kilka rodzajów stacji bazowych makrostacje , pico-stacje bazowe i/lub femto-stacje bazowe w celu zapewnienia lepszego zasięgu i szybkości transmisji bitów . Jest to w szczególności wykorzystywane do radzenia sobie z trudnością pokrycia makrostacjami bazowymi tylko otwartego środowiska zewnętrznego, budynków biurowych, domów i obszarów podziemnych. Najnowsze modele oparte na Poissona zostały opracowane w celu uzyskania prawdopodobieństwa pokrycia takich sieci w przypadku łącza w dół. Ogólne podejście polega na posiadaniu pewnej liczby warstw lub „poziomów” sieci, które są następnie łączone lub nakładane na siebie w jedną heterogeniczną lub wielowarstwową sieć. Jeśli każdy poziom jest siecią Poissona, to połączona sieć jest również siecią Poissona ze względu na superpozycję charakterystyczną dla procesów Poissona. Następnie obliczana jest transformata Laplace'a dla tego nałożonego modelu Poissona, co prowadzi do prawdopodobieństwa pokrycia w (kanale łącza w dół) sieci komórkowej z wieloma warstwami, gdy użytkownik jest podłączony do natychmiastowo najsilniejszej stacji bazowej, a gdy użytkownik jest podłączony do najsilniejszej stacji bazowej (bez zanikania na małą skalę).

Modele sieci komórkowych z wieloma użytkownikami

W ostatnich latach szeroko stosowano modelowe podejście polegające na rozważaniu „typowego użytkownika” w sieciach komórkowych (lub innych). Jest to jednak tylko pierwsze podejście, które pozwala scharakteryzować tylko wydajność widmową (lub szybkość informacji) sieci. Innymi słowy, takie podejście zapewnia najlepszą możliwą usługę, jaką można zapewnić pojedynczemu użytkownikowi, który nie musi dzielić zasobów sieci bezprzewodowej z innymi użytkownikami.

Zaproponowano modele wykraczające poza typowe podejście użytkownika w celu analizy metryk QoS populacji użytkowników, a nie tylko pojedynczego użytkownika. Mówiąc najogólniej, modele te można podzielić na cztery typy: statyczne, półstatyczne, półdynamiczne i (w pełni) dynamiczne. Dokładniej:

• Modele statyczne mają określoną liczbę aktywnych użytkowników ze stałymi pozycjami.
• Modele półstatyczne uwzględniają sieci w określonych momentach, przedstawiając instancje lub „migawki” aktywnych użytkowników jako realizację procesów przestrzennych (zwykle Poissona).
• Modele półdynamiczne polegają na tym, że rozmowy telefoniczne użytkowników odbywają się w losowej lokalizacji i trwają przez pewien losowy czas. Ponadto zakłada się, że każdy użytkownik jest nieruchomy podczas rozmowy. W tym modelu przestrzenne procesy narodzin i śmierci, które są w pewnym sensie przestrzennymi rozszerzeniami (tylko czasowych) modeli kolejkowania (na przykład systemów strat Erlanga i modeli współdzielenia procesora), są wykorzystywane w tym kontekście do oceny czasu średnie metryk QoS użytkownika. Modele kolejkowania zostały z powodzeniem wykorzystane do zwymiarowania (lub odpowiedniego dostosowania parametrów) sieci z komutacją obwodów i innych sieci komunikacyjnych. Dostosowanie tych modeli do zadania wymiarowania części radiowej bezprzewodowych sieci komórkowych wymaga odpowiedniego uśrednienia przestrzenno-czasowego po geometrii sieci oraz czasowej ewolucji procesu nadejścia użytkownika (rozmowy telefonicznej).
• Modele dynamiczne są bardziej skomplikowane i mają takie same założenia jak model półdynamiczny, ale użytkownicy mogą się poruszać podczas rozmowy.

Ostateczny cel przy konstruowaniu tych modeli polega na powiązaniu następujących trzech kluczowych parametrów sieci: zapotrzebowania ruchu użytkownika na jednostkę powierzchni, gęstości sieci i metryki QoS użytkownika. Relacje te stanowią część narzędzi do wymiarowania sieci, które pozwalają operatorom sieci odpowiednio zmieniać gęstość stacji bazowych, aby sprostać wymaganiom ruchu dla wymaganego poziomu wydajności.

Modele oparte na protokołach MAC

Protokół MAC kontroluje, kiedy nadajniki mogą uzyskać dostęp do medium bezprzewodowego. Celem jest ograniczenie lub zapobieganie kolizjom poprzez ograniczenie mocy zakłóceń doświadczanych przez aktywny odbiornik. Protokół MAC określa wzorzec jednocześnie aktywnych kanałów, biorąc pod uwagę bazowy wzorzec dostępnych kanałów. Różne protokoły MAC wykonują zatem różne operacje przerzedzania dostępnych kanałów, co powoduje, że potrzebne są różne modele geometrii stochastycznej.

Modele Aloha MAC

Szczelinowa sieć bezprzewodowa Aloha wykorzystuje protokół Aloha MAC, w którym kanały uzyskują dostęp do medium, niezależnie w każdym przedziale czasowym, z pewnym prawdopodobieństwem p . Jeśli leżące poniżej kanały (tj. ich nadajniki w przypadku połączenia punkt-punkt) są rozmieszczone zgodnie z procesem Poissona (o gęstości λ ), to węzły uzyskujące dostęp do sieci również tworzą sieć Poissona (o gęstości pλ ), która pozwala na wykorzystanie modelu Poissona. ALOHA jest nie tylko jednym z najprostszych i najbardziej klasycznych protokołów MAC, ale wykazano również, że osiąga równowagę Nasha interpretowane jako schematy sterowania mocą.

Kilka wczesnych stochastycznych modeli sieci bezprzewodowych oparto na procesach punktu Poissona w celu zbadania wydajności Aloha szczelinowego. W przypadku zanikania Rayleigha i funkcji utraty ścieżki zgodnie z prawem potęgowym, wyrażenia prawdopodobieństwa wyłączenia (lub równoważnie pokrycia) uzyskano, traktując składnik interferencji jako szum wystrzału i stosując modele transformacji Laplace'a, które później rozszerzono do ogólnej funkcji utraty ścieżki , a następnie rozszerzony na czystą lub nieszczelinową obudowę Aloha.

Wielodostępowe modele MAC z wykrywaniem operatora

Protokół MAC wielodostępu z wykrywaniem nośnika (CSMA) kontroluje sieć w taki sposób, że kanały znajdujące się blisko siebie nigdy nie uzyskują jednoczesnego dostępu do medium. Po zastosowaniu do procesu punktu Poissona wykazano, że naturalnie prowadzi to do twardego rdzenia podobnego do Matérna (lub miękkiego rdzenia w przypadku zanikania) procesu punktowego, który wykazuje pożądane „odpychanie”. Prawdopodobieństwo zaszeregowania kanału jest znane w postaci zamkniętej, podobnie jak tzw. funkcja korelacji par procesu punktowego zaplanowanych węzłów.

Wielodostępowe modele MAC z podziałem kodowym

W sieci z protokołem MAC z wielokrotnym dostępem z podziałem kodowym (CDMA) każdy nadajnik moduluje swój sygnał za pomocą kodu, który jest ortogonalny w stosunku do kodu innych sygnałów i który jest znany jego odbiornikowi. To łagodzi zakłócenia z innych nadajników i może być reprezentowane w modelu matematycznym przez pomnożenie zakłóceń przez ortogonalności . Modele geometrii stochastycznej oparte na tego typu reprezentacji zostały opracowane w celu analizy obszarów pokrycia nadajników ustawionych zgodnie z procesem Poissona.

Sieciowe modele teoretyczne informacji

W poprzednich modelach opartych na MAC zakładano kanały punkt-punkt, a zakłócenia uznawano za szum. W ostatnich latach opracowano modele do badania bardziej rozbudowanych kanałów wywodzących się z dyscypliny teorii informacji sieciowych. Mówiąc dokładniej, opracowano model dla jednego z najprostszych ustawień: zbioru par nadajnik-odbiornik reprezentowanych jako proces punktu Poissona. W tym modelu zbadano skutki schematu redukcji zakłóceń obejmującego „kody punkt-punkt”. Kody te, składające się z losowo i niezależnie generowanych słów kodowych , dają nadajnikom-odbiornikom pozwolenie na wymianę informacji, działając w ten sposób jako protokół MAC. Ponadto w tym modelu dla każdej takiej pary zdefiniowano kolekcję lub „partię” kanałów. Ta strona jest kanałem wielokrotnego dostępu, a mianowicie sytuacją wiele do jednego dla kanałów. Odbiornik strony jest taki sam jak odbiornik pary, a nadajnik pary należy do zestawu nadajników strony wraz z innymi nadajnikami. Korzystając z geometrii stochastycznej, wyprowadzono prawdopodobieństwo pokrycia oraz właściwości geometryczne komórek pokrycia. Wykazano również, że przy zastosowaniu kodów punkt-punkt i jednoczesnego dekodowania zysk statystyczny uzyskany w konfiguracji Poissona jest dowolnie duży w porównaniu ze scenariuszem, w którym interferencja jest traktowana jako szum.

Inne modele sieci

Zaproponowano modele bezprzewodowe o geometrii stochastycznej dla kilku typów sieci, w tym kognitywnych sieci radiowych, sieci przekaźnikowych i samochodowych sieci ad hoc .

Zobacz też

• Geometria stochastyczna
• Teoria perkolacji kontinuum

Podręczniki dotyczące geometrii stochastycznej i dziedzin pokrewnych

• Geometria stochastyczna dla sieci bezprzewodowych – Haenggi
• Geometria stochastyczna i jej zastosowania – Stoyan, Kendall i Mecke
• Nowe perspektywy w geometrii stochastycznej - Kendall i Molchanov, wyd.
• Geometria Stochastyczna i Sieci Bezprzewodowe Tom I: Teoria – Baccelli i Błaszczyszyn
• Geometria Stochastyczna i Sieci Bezprzewodowe Tom II: Zastosowania – Baccelli i Błaszczyszyn
• Losowe sieci do komunikacji: od fizyki statystycznej do systemów informatycznych - Franceschetti i Meester
• Modelowanie analityczne heterogenicznych sieci komórkowych: geometria, zasięg i pojemność — Mukherjee
• Procesy Poissona – Kingman

Linki zewnętrzne

Więcej informacji na temat modeli sieci bezprzewodowych o geometrii stochastycznej można znaleźć w podręczniku Haenggi, dwutomowym tekście Baccellego i Błaszczyszyna (dostępnym online ) oraz w artykule ankietowym. Informacje na temat zakłóceń w sieciach bezprzewodowych można znaleźć w monografii dotyczącej zakłóceń autorstwa Gantiego i Haenggiego (dostępnej w Internecie ). Aby zapoznać się z wprowadzeniem do geometrii stochastycznej i statystyki przestrzennej w bardziej ogólnym kontekście, zobacz notatki z wykładów Baddeleya (dostępne online z subskrypcją Springera). Aby zapoznać się z pełnym i rygorystycznym podejściem do procesów punktowych, zobacz dwutomowy tekst Daleya i Vere-Jonesa (dostępny online z prenumeratą Springera).