Funkcja stawki

W matematyce — w szczególności w teorii dużych odchyleń — funkcja szybkości jest funkcją stosowaną do ilościowego określania prawdopodobieństwa rzadkich zdarzeń. Wymagane jest posiadanie kilku właściwości, które pomogą w sformułowaniu zasady dużego odchylenia . ^{[ potrzebne wyjaśnienie ]} W pewnym sensie zasada dużego odchylenia jest analogią słabej zbieżności miar prawdopodobieństwa , ale taką, która uwzględnia, jak dobrze zachowują się rzadkie zdarzenia.

Funkcja stopy nazywana jest także funkcją Craméra , od nazwiska szwedzkiego probabilisty Haralda Craméra .

Definicje

Funkcja szybkości Rozbudowana funkcja o wartościach rzeczywistych I : X → [0, +∞] zdefiniowana w przestrzeni topologicznej Hausdorffa X nazywana jest funkcją szybkości , jeśli nie jest identyczna +∞ i jest dolna półciągła , tj. wszystkie podrzędne -zestawy poziomów

{\ Displaystyle \ {x \ w X \ środek I (x) \ równoważnik c \} {\ mbox {dla}} c \ geq 0}

są zamknięte w X. _ Jeżeli ponadto są one zwarte , to mówi się, że jest to dobra funkcja stopy .

rodzina miar prawdopodobieństwa ( μ _δ ) _{δ > 0} na X spełnia zasadę dużego odchylenia z funkcją szybkości I : X → [0, +∞) (i współczynnikiem 1 ⁄ δ ) jeśli dla każdego zbioru domkniętego F ⊆ X i każdy zbiór otwarty G ⊆ X ,

{\ Displaystyle \ limsup _ {\ delta \ downarrow 0} \ delta \ log \ mu _ {\ delta} (F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}} lim

{\ Displaystyle \ liminf _ {\ delta \ downarrow 0} \ delta \ log \ mu _ {\ delta} (G) \ geq - \ inf _ {x \ in G} I (x). \ quad { \mbox{(L)}}}

Jeśli górna granica (U) obowiązuje tylko dla zbiorów zwartych (zamiast zamkniętych) F , to mówi się, że ( μ _δ ) _{δ >0 spełnia} zasadę słabych dużych odchyleń (z szybkością 1 ⁄ δ i słabą funkcją szybkości I ).

Uwagi

Rola zbiorów otwartych i domkniętych w zasadzie dużego odchylenia jest podobna do ich roli w słabej zbieżności miar prawdopodobieństwa: przypomnijmy, że ( μ δ ) _δ > _δ > 0 is said to converge weakly to μ if, for every closed set F ⊆ X and every open set G ⊆ X,

{\ Displaystyle \ limsup _ {\ delta \ downarrow 0} \ mu _ {\ delta} (F) \ równoważnik \ mu (F),}

{\ Displaystyle \ liminf _ {\ delta \ downarrow 0} \ mu _ {\ delta} (G) \ geq \ mu (G).}

Istnieją pewne różnice w nomenklaturze stosowanej w literaturze: na przykład den Hollander (2000) używa po prostu „funkcji stopy procentowej”, podczas gdy w tym artykule — za Dembo i Zeitounim (1998) — używa „funkcji dobrej stopy” i „funkcji słabej stopy „. Niezależnie od nomenklatury zastosowanej do funkcji stopy, sprawdzenie, czy nierówność górnej granicy (U) ma obowiązywać dla zbiorów domkniętych lub zwartych, pozwala stwierdzić, czy stosowana zasada dużego odchylenia jest silna czy słaba.

Nieruchomości

Wyjątkowość

Naturalnym pytaniem, które należy zadać, biorąc pod uwagę nieco abstrakcyjne ustawienie powyższych ogólnych ram, jest to, czy funkcja stopy procentowej jest unikalna. Okazuje się, że tak jest: biorąc pod uwagę ciąg miar prawdopodobieństwa ( μ _δ ) _{δ >0} na X spełniający zasadę dużego odchylenia dla dwóch funkcji szybkości I i J , wynika, że I ( x ) = J ( x ) dla wszystkich x ∈ X .

Wykładnicza szczelność

Można przekształcić słabą zasadę dużego odchylenia w silną, jeśli miary wystarczająco szybko zbiegną się. Jeśli górna granica zachodzi dla zbiorów zwartych F i ciąg miar ( µ _δ ) _{δ >0} jest wykładniczo ścisły , to górna granica obowiązuje także dla zbiorów domkniętych F. Innymi słowy, wykładnicza szczelność umożliwia przekształcenie słabej zasady dużego odchylenia w silną.

Ciągłość

Naiwnie można próbować zastąpić dwie nierówności (U) i (L) pojedynczym wymaganiem, że dla wszystkich zbiorów borelowskich S ⊆ X ,

{\ Displaystyle \ lim _ {\ delta \ downarrow 0} \ delta \ log \ mu _ {\ delta} (S) = - \ inf _ {x \ in S} I (x). \ quad {\ mbox{(E)}}}

Równość (E) jest zdecydowanie zbyt restrykcyjna, ponieważ wiele interesujących przykładów spełnia (U) i (L), ale nie (E). Na przykład miara μ _δ może być nieatomowa dla wszystkich δ , więc równość (E) może obowiązywać dla S = { x } tylko wtedy, gdy I jest identycznie +∞, co nie jest dozwolone w definicji. Z nierówności (U) i (L) wynika jednak równość (E) dla tzw. zbiorów I -ciągłych S ⊆ X , dla których

{\ Displaystyle ja {\ duży (} {\ stackrel {\ circ} S}} {\ duży)} = ja {\ duży (} }{\duży )},}

gdzie $i$ $_$ odpowiednio i S X. _ _ _ _ _ _ W wielu przykładach wiele interesujących zbiorów/zdarzeń jest I -ciągłych. Na przykład, jeśli I jest funkcją ciągłą , to wszystkie zbiory S są takie, że

{\ Displaystyle S \ subseteq {\ bar {\ stackrel {\ circ} {S}}}}

czy jestem -ciągły; na przykład wszystkie zbiory otwarte spełniają to ograniczenie.

Transformacja zasad dużych odchyleń

Biorąc pod uwagę zasadę dużego odchylenia w jednej przestrzeni, często interesująca jest możliwość skonstruowania zasady dużego odchylenia w innej przestrzeni. Istnieje kilka wyników w tym obszarze:

zasada kontrakcji mówi , jak zasada dużego odchylenia w jednej przestrzeni „popycha do przodu” (poprzez przesunięcie miary prawdopodobieństwa) do zasady dużego odchylenia w innej przestrzeni poprzez funkcję ciągłą ;
Dawsona -Gärtnera mówi, jak ciąg zasad dużego odchylenia w ciągu przestrzeni przechodzi do granicy rzutowej .
nachylona zasada dużego odchylenia daje zasadę dużego odchylenia dla całek funkcjonałów wykładniczych .
miary równoważne wykładniczo mają te same zasady dużych odchyleń.

Historia i podstawowy rozwój

Pojęcie funkcji stopy pojawiło się w latach trzydziestych XX wieku wraz _{szwedzkiego $Craméra$}_badaniem matematyka Haralda sekwencji iid zmiennych losowych . Mianowicie, wśród niektórych rozważań dotyczących skalowania, Cramér zbadał zachowanie rozkładu średniej. ${\textstyle X_ {n} = {\ Frac {1} {n}} \ suma _{i=1}^{n}Z_{i}}$ jak n →∞. Odkrył, że ogony rozkładu X _n zanikają wykładniczo jako e ^{− nλ ( x )} gdzie współczynnik λ ( x ) w wykładniku jest transformatą Legendre’a – Fenchela (inaczej koniugatem wypukłym ) funkcji generującej kumulantę Z tego powodu ta konkretna funkcja λ ( x ) jest czasami nazywana funkcją Craméra $.$ Funkcja stopy zdefiniowana powyżej w tym artykule jest szerokim uogólnieniem pojęcia Craméra, zdefiniowanego bardziej abstrakcyjnie w przestrzeni prawdopodobieństwa , a nie w przestrzeni stanów zmiennej losowej.

Zobacz też

Teoria wartości ekstremalnych

^ Cramér, Harald (1938). „Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités”. Colloque consacré à la théorie des probabilités, część 3, Actualités scientifiques et industrielles (w języku francuskim). 731 : 5–23.

Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Techniki i zastosowania dużych odchyleń . Zastosowania matematyki (Nowy Jork) 38 (wyd. drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. XVI+396. ISBN 0-387-98406-2 . MR 1619036
den Hollander, Frank (2000). Duże odchylenia . Monografie Instytutu Fieldsa 14. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . P. x+143. ISBN 0-8218-1989-5 . MR 1739680

[1] Cramér, Harald (1938). „Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités”. Colloque consacré à la théorie des probabilités, część 3, Actualités scientifiques et industrielles (w języku francuskim). 731 : 5–23.