Widmo Markowa

W matematyce widmo Markowa opracowane przez Andrieja Markowa jest skomplikowanym zbiorem liczb rzeczywistych powstających w równaniu diofantycznym Markowa , a także w teorii aproksymacji diofantycznej .

Charakteryzacja formy kwadratowej

Rozważmy postać kwadratową określoną przez f ( x , y ) = ax ² + bxy + cy ² i załóżmy, że jej wyróżnik jest ustalony, powiedzmy równy -1/4. Innymi słowy, b ² − 4 ac = 1.

Można zapytać o minimalną wartość osiągniętą przez ${\ Displaystyle \ lewo \ vert f (x, y) \ prawo \ vert },$ gdy jest oceniany na niezerowych wektorach siatki ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ i jeśli to minimum nie istnieje, do infimum .

Widmo Markowa M to zbiór uzyskany przez powtórzenie tego wyszukiwania z różnymi formami kwadratowymi z wyróżnikiem ustalonym na -1/4:

{\ Displaystyle M = \ lewo \ {\ lewo (\ inf _ {(x, y) \ w \ mathbb {Z} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}} |f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right \}}

Widmo Lagrange'a

Wychodząc od twierdzenia Hurwitza o przybliżeniu diofantycznym, że każda liczba rzeczywista ma sekwencję przybliżeń wymiernych m / n zmierzających do niej z ${\ displaystyle \ xi}$

{\ Displaystyle \ lewo | \ xi - {\ Frac {m} {n}} \ prawo | < {\ Frac {1} {{\ sqrt {5}} \, n ^ {2} }},}

można zapytać o każdą wartość 1/ do z 1/ do ≥ √ 5 o istnienie jakiegoś, dla którego ${\ displaystyle \ xi}$

{\ Displaystyle \ lewo | \ xi - {\ Frac {m} {n}} \ prawo | <{\ Frac {c} {n ^ {2}}}}

dla takiego ciągu, dla którego c jest najlepszą możliwą (maksymalną) wartością. Takie 1/ c tworzy widmo Lagrange'a L , zbiór liczb rzeczywistych co najmniej √ 5 (co jest najmniejszą wartością widma). Sformułowanie z odwrotnością jest niewygodne, ale tradycyjna definicja zachęca do tego; spojrzenie na zbiór c pozwala na definicję za pomocą dolnej granicy . W tym celu rozważ

{\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} n ^ {2} \ lewo | \ xi - {\ Frac {m} {n}} \ prawo |,}

gdzie m jest wybrane jako funkcja całkowita n , aby różnica była minimalna. Jest to funkcja $widma$ Lagrange'a jest zakres wartości, które przyjmuje na liczbach niewymiernych

Związek z widmem Markowa

Początkowa część widma Lagrange'a, czyli część leżąca w przedziale $[\sqrt 5, 3)$ , jest równa widmu Markowa. Kilka pierwszych wartości to √ 5 , √ 8 , √ 221 /5, √ 1517 /13, ... a n -tą liczbę tego ciągu (czyli n -tą liczbę Lagrange'a ) można obliczyć z n -tej liczby Markowa liczba według wzoru

{\ Displaystyle L_ {n} = {\ sqrt {9- {4 \ ponad {m_ {n}} ^ {2}}}}.}

Stała Freimana to nazwa nadana końcówce ostatniej przerwy w widmie Lagrange'a, a mianowicie:

{\ Displaystyle F = {\ Frac {2 \ 221 \ ,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4,5278295661\dots } (sekwencja

A118472 w OEIS ) .

Liczby rzeczywiste większe niż F są również członkami widma Markowa. Ponadto można udowodnić, że L jest ściśle zawarty w M .

Geometria widm Markowa i Lagrange'a

Z jednej strony początkowa część widma Markowa i Lagrange'a leżąca w przedziale [ √ 5 , 3) jest równa i stanowi zbiór dyskretny. Z drugiej strony końcowe części tych zbiorów leżące po stałej Freimana są również równe, ale są zbiorem ciągłym. Geometria części między częścią początkową a końcową ma strukturę fraktalną i może być postrzegana jako geometryczne przejście między dyskretną częścią początkową a ciągłą częścią końcową. Jest to dokładnie stwierdzone w następnym twierdzeniu:

Twierdzenie - Biorąc pod uwagę $)$ Hausdorffa L $\ Displaystyle L \ cap (- \ infty, t$ ) Hausdorffowi wymiar ${\ Displaystyle M \ cap (- \ infty, t)}$ . Ponadto, jeśli d jest funkcją zdefiniowaną jako ${\ Displaystyle d (t): = \ dim _ {H} (M \ cap (- \ infty, t))}$ , gdzie dim _H oznacza wymiar Hausdorffa, wtedy d jest ciągłe i odwzorowuje R na [0,1].

Zobacz też

liczba Markowa

Dalsza lektura

Aigner, Martin (2013). Twierdzenie Markowa i 100 lat hipotezy o wyjątkowości: matematyczna podróż od liczb niewymiernych do doskonałych dopasowań . Nowy Jork: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5 . OCLC 853659945 .
Conway, JH i Guy, RK Księga liczb. Nowy Jork: Springer-Verlag, s. 188–189, 1996.
Cusick, TW i Flahive, ME Widma Markowa i Lagrange'a. Providence, RI: Amer. Matematyka Soc., 1989.
Cassels, JWS (1957). Wprowadzenie do aproksymacji diofantycznej . Traktaty Cambridge z matematyki i fizyki matematycznej . Tom. 45. Cambridge University Press . Zbl 0077.04801 .

Linki zewnętrzne

„Problem widma Markowa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]