Twierdzenie Hurwitza ( teoria liczb )

Ten artykuł dotyczy twierdzenia z teorii liczb. W przypadku innych zastosowań zobacz twierdzenie Hurwitza .

W teorii liczb , twierdzenie Hurwitza , nazwane na cześć Adolfa Hurwitza , określa granicę przybliżenia diofantycznego . Twierdzenie stwierdza, że ​​dla każdej liczby niewymiernej ξ istnieje nieskończenie wiele względnie pierwszych liczb całkowitych m , n takich, że

$${\ Displaystyle \ lewo | \ xi - {\ Frac {m} {n}} \ prawo | < {\ Frac {1} {{\ sqrt {5}} \, n ^ {2}}}.}$$

Warunek, że ξ jest niewymierny, nie może zostać pominięty. Ponadto stała $jest$ najlepsza z możliwych jeśli zastąpimy $liczbą$ i pozwolimy ${$$\$ ( złoty podział ) to istnieje tylko skończenie wiele względnie pierwszych liczb całkowitych m , n takich, że powyższy wzór jest spełniony.

Twierdzenie jest równoważne twierdzeniu, że stała Markowa każdej liczby jest większa niż ${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$ .

•    Hurwitz, A. (1891). „Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch ratione Brüche” [O przybliżonej reprezentacji liczb niewymiernych przez ułamki wymierne]. Mathematische Annalen (w języku niemieckim). 39 (2): 279–284. doi : 10.1007/BF01206656 . JFM 23.0222.02 . S2CID 119535189 .
•   GH Hardy , Edward M. Wright, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, Andrew Wiles (2008). „Twierdzenie 193”. Wprowadzenie do teorii liczb (wyd. 6). Publikacje naukowe z Oksfordu. P. 209. ISBN 978-0-19-921986-5 . {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
•   LeVeque, William Judson (1956). „Tematy w teorii liczb”. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Massachusetts MR 0080682 . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )
•   Iwan Niven (2013). Przybliżenia diofantyczne . Firma kurierska. ISBN 978-0486462677 .