Twierdzenie Davenporta-Schmidta

W matematyce , a konkretnie w obszarze aproksymacji diofantycznej , twierdzenie Davenporta-Schmidta mówi nam, jak dobrze pewien rodzaj liczby rzeczywistej może być aproksymowany przez inny rodzaj. W szczególności mówi nam, że możemy uzyskać dobre przybliżenie liczb niewymiernych, które nie są kwadratowe, używając kwadratowych liczb niewymiernych lub po prostu liczb wymiernych . Jej nazwa pochodzi od Harolda Davenporta i Wolfganga M. Schmidta .

Oświadczenie

Biorąc pod uwagę liczbę α, która jest albo wymierna, albo kwadratowa irracjonalna, możemy znaleźć unikalne liczby całkowite x , y i z takie, że x , y i z nie wszystkie są zerami, pierwsza niezerowa z nich jest dodatnia, są stosunkowo pierwsza i mamy

${\ Displaystyle x \ alfa ^ {2} + y \ alfa + z = 0.}$

Jeśli α jest niewymierną liczbą kwadratową, możemy przyjąć, że x , y i z są współczynnikami jej minimalnego wielomianu . Jeśli α jest wymierne, będziemy mieli x = 0. Za pomocą tych liczb całkowitych jednoznacznie określonych dla każdego takiego α możemy określić wysokość α , która ma być

${\ Displaystyle H (\ alfa) = \ max \ {| x |, | y |, | z | \}.}$

Twierdzenie mówi następnie, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ξ, która nie jest ani wymierna, ani kwadratowa niewymierna, możemy znaleźć nieskończenie wiele liczb rzeczywistych α, które są wymierne lub kwadratowe niewymierne i które spełniają

${\ Displaystyle | \ xi - \ alfa | <CH (\ alfa) ^ {- 3} \ max (1, \ xi ^ {2}), }$

gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą spełniającą C > 160/9.

Chociaż twierdzenie to jest powiązane z twierdzeniem Rotha , jego rzeczywiste zastosowanie polega na tym, że jest ono efektywne w tym sensie, że stałą C można wyznaczyć dla dowolnego danego ξ.

Notatki

• Wolfganga M. Schmidta . Przybliżenie diofantyczne . Notatki z wykładu z matematyki 785. Springer. (1980 [1996 z drobnymi poprawkami])
• Wolfganga M. Schmidta. Przybliżenia diofantyczne i równania diofantyczne , Notatki z wykładu z matematyki, Springer Verlag 2000

Linki zewnętrzne

• „Twierdzenie Davenporta-Schmidta” . Planeta Matematyka .