Twierdzenie o przybliżeniu Dirichleta

W teorii liczb ${\ Displaystyle$ Dirichleta o przybliżeniu diofantycznym zwane twierdzeniem o przybliżeniu Dirichleta , stwierdza, że ​​​​dla dowolnych $i$ rzeczywistych , gdzie $N}$ , istnieją liczby całkowite $\$ q $displaystyle q}$ takie, że ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik q \ równoważnik N}$ i

${\ Displaystyle \ lewo | q \ alfa - p \ prawo | \ leq {\ Frac {1} {\ lfloor N \ rfloor + 1} < {\ frac {1} {N}}.}$

Tutaj reprezentuje część całkowitą $\ rfloor}$$\ Displaystyle \ lfloor N$ . Jest to fundamentalny wynik przybliżenia diofantycznego , pokazujący, że każda liczba rzeczywista ma ciąg dobrych przybliżeń wymiernych: w rzeczywistości bezpośrednią konsekwencją jest to, że dla danego irracjonalnego α nierówność

${\ Displaystyle 0 <\ lewo | \ alfa - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | <{\ Frac {1} {q ^ {2}}}}$

spełnia nieskończenie wiele liczb całkowitych p i q . To pokazuje, że każda liczba niewymierna ma miarę niewymierności co najmniej 2. Wniosek ten pokazuje również, że twierdzenie Thue-Siegel-Roth , wynik w innym kierunku, zapewnia zasadniczo najściślejsze możliwe ograniczenie w tym sensie, że granica racjonalnego przybliżenia liczb algebraicznych nie można poprawić, zwiększając wykładnik powyżej 2. Twierdzenie Thue-Siegel-Roth wykorzystuje zaawansowane techniki teorii liczb, ale wiele prostszych liczb, takich jak złoty podział ${\ displaystyle (1 + {\ \ displaystyle sqrt {5}})/2}$ może być znacznie łatwiej zweryfikowane jako nieaproksymalne poza wykładnikiem 2. Ten wykładnik jest określany jako miara irracjonalności .

Wersja symultaniczna

Jednoczesna wersja twierdzenia Dirichleta o aproksymacji stwierdza, że ​​biorąc pod uwagę liczby rzeczywiste i $liczbę$ naturalną ${\ Displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {d}$ wtedy są liczby całkowite ${\ Displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {d}, q \ in \ mathbb {Z}, 1 \ równoważnik q \leq N}$ takie, że ${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa _ {i} - {\ Frac {p_ {i}}} {q}} \ prawo | \ równoważnik {\ Frac {1} qN ^ {1/d}}}.}$

Metoda dowodu

Dowód według zasady przegródki

Twierdzenie to jest konsekwencją zasady szufladkowania . Peter Gustav Lejeune Dirichlet , który udowodnił wynik, zastosował tę samą zasadę w innych kontekstach (na przykład równanie Pella ) i nazywając tę ​​zasadę (po niemiecku), spopularyzował jej użycie, chociaż jej status w kategoriach podręcznikowych pojawia się później. Metoda rozciąga się na równoczesne przybliżenie.

$Zarys$ dowodu : $niech$ będzie liczbą niewymierną i liczbą całkowitą. Dla każdego ${\ Displaystyle k = 0,1, ..., n}$ możemy napisać $\ Displaystyle k \ alpha = m_ {k} + x_ {k}}$ tak, że ${ \displaystyle m_ {k}}$ jest liczbą całkowitą i ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {k}<1}$ . Można podzielić przedział na mniejsze przedziały miary $}$$Displaystyle {$$Frac {1}$ } Teraz mamy liczby ${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {n}}$${\ displaystyle n + 1$ i ${\ displaystyle n}$ interwałach. Dlatego, zgodnie z zasadą przegródki, co najmniej dwa z nich znajdują się w tym samym przedziale. Możemy je nazwać $ja$ , że $<j$ . Teraz:

${\ Displaystyle | (ji) \ alfa - (m_ {j} -m_ {i}) | = | j \ alfa -m_ {j} - (i \ alfa -m_ {i}) | = | x_ {j}-x_{i}|<{\frac {1}{n}}}$

Dzielenie obu stron przez ${\ displaystyle ji}$ spowoduje: j - ja {\ displaystyle ji}

${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa - {\ Frac {m_ {j} -m_ {i}} {ji}} \ prawo | <{\ Frac {1}{(ji)n}}\leq {\frac {1}{\left(ji\right)^{2}}}}$

I udowodniliśmy twierdzenie.

Dowód Twierdzenie Minkowskiego

Inny prosty dowód twierdzenia Dirichleta o aproksymacji opiera się na twierdzeniu Minkowskiego zastosowanym do zbioru

${\ Displaystyle S = \ lewo \ {(x, y) \ w \ mathbb {R} ^ {2}: -N- {\ Frac {1} {2}} \ równoważnik x \ równoważnik N + {\ frac {1 }{2}},\vert \alpha xy\vert \leq {\frac {1}{N}}\right\}.}$

Ponieważ objętość jest większa niż $Minkowskiego$ twierdzenie ustanawia istnienie nietrywialnego punktu o całkowitych $współrzędnych$ Dowód ten w naturalny sposób rozciąga się na równoczesne przybliżenia, biorąc pod uwagę zbiór

${\ Displaystyle S = \ lewo \ {(x, y_ {1}, \ kropki, y_ {d}) \ w \ mathbb {R} ^ {1 + d}: -N - {\ frac {1} {2 }}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},|\alpha _{i}x-y_{i}|\leq {\frac {1}{N^{1/d}} }\Prawidłowy\}.}$

Zobacz też

• Twierdzenie Dirichleta o postępach arytmetycznych
• Twierdzenie Hurwitza ( teoria liczb )
• Zestaw Heilbronn
• Twierdzenie Kroneckera (uogólnienie twierdzenia Dirichleta)

Notatki

•   Schmidt, Wolfgang M (1980). Przybliżenie diofantyczne . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 785. Zygmunt. doi : 10.1007/978-3-540-38645-2 . ISBN 978-3-540-38645-2 .
•    Schmidt, Wolfgang M. (1991). Przybliżenia diofantyczne i równania diofantyczne . Notatki z wykładów z serii książek matematycznych. Tom. 1467. Zygmunt. doi : 10.1007/BFb0098246 . ISBN 978-3-540-47374-9 . S2CID 118143570 .

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji w PlanetMath .