Twierdzenie Mahlera

Nie mylić z twierdzeniem Mahlera o zwartości .

W matematyce twierdzenie Mahlera , wprowadzone przez Kurta Mahlera ( 1958 ), wyraża ciągłe funkcje p -adyczne za pomocą wielomianów. Nad dowolnym polem o charakterystyce 0 uzyskuje się następujący wynik:

Niech ${\ Displaystyle (\ Delta f) (x) = f (x + 1) -f (x)}$ będzie przednim operatorem różnicowym . Następnie dla funkcji wielomianowych f mamy szereg Newtona

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (\ Delta ^ {k} f )(0){x \wybierz k},}$

Gdzie

${\ Displaystyle {x \ wybierz k} = {\ Frac {x (x-1) (x-2) \ cdots (xk + 1)} {k!}}}$

jest wielomianem k- tego współczynnika dwumianu.

W polu liczb rzeczywistych założenie, że funkcja f jest wielomianem, można osłabić, ale nie można go osłabić aż do zwykłej ciągłości . Twierdzenie Mahlera stwierdza, że ​​jeśli f jest ciągłą funkcją p-adyczną na liczbach całkowitych p -adycznych, to zachodzi ta sama tożsamość. Związek między operatorem Δ a tym ciągiem wielomianowym jest bardzo podobny do związku między różniczkowaniem a ciągiem, którego k -tym wyrazem jest x ^k .

Godne uwagi jest to, że wystarczy tak słabe założenie jak ciągłość; z kolei szeregi Newtona dotyczące pola liczb zespolonych są znacznie bardziej ograniczone i wymagają zachowania twierdzenia Carlsona .

•     Mahler, K. (1958), „Szereg interpolacji dla funkcji ciągłych zmiennej p-adycznej” , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1958 (199): 23–34, doi : 10.1515/crll.1958.199.23 , ISSN 0075-4102 , MR 0095821 , S2CID 199546556