Twierdzenie Carlsona

W matematyce , w obszarze analizy zespolonej , twierdzenie Carlsona jest twierdzeniem o jednoznaczności odkrytym przez Fritza Davida Carlsona . Nieformalnie stwierdza, że dwie różne funkcje analityczne, które nie rosną bardzo szybko w nieskończoności, nie mogą pokrywać się na liczbach całkowitych. Twierdzenie można otrzymać z twierdzenia Phragména – Lindelöfa , które samo w sobie jest rozszerzeniem twierdzenia o maksymalnym module .

Twierdzenie Carlsona jest zwykle przywoływane w celu obrony wyjątkowości rozwinięcia szeregu Newtona . Twierdzenie Carlsona ma uogólnione analogie dla innych rozszerzeń.

Oświadczenie

Załóżmy, że $f$ spełnia następujące trzy warunki: dwa pierwsze warunkują wzrost $f$ w nieskończoności, natomiast trzeci stwierdza, że $f$ znika na nieujemnych liczbach całkowitych.

$f (z)$ jest całą funkcją typu wykładniczego , co oznacza, że $, \ quad z \ w \ mathbb {C}}$ dla pewnych wartości rzeczywistych $C$ , $τ$ .
Istnieje $c < π$ takie, że ${\ Displaystyle | f (iy) | \ równoważnik Ce ^ {c | y |} \ quad y \ in \ mathbb {R}$
$f (n) = 0$ dla każdej nieujemnej liczby całkowitej $n$ .

Wtedy $f$ jest identycznie zerem.

Ostrość

Pierwszy warunek

Pierwszy warunek można złagodzić: wystarczy założyć, że $f$ jest analityczna w $Re z > 0$ , ciągła w $Re z \geq 0$ i spełnia

Ce ^ {\ tau | z |} \ quad \ nazwa operatora {Re} z> 0}

dla pewnych wartości rzeczywistych $C$ , $τ$ .

Drugi warunek

Aby zobaczyć, że drugi warunek jest ostry, rozważmy funkcję $f (z) = sin (π z)$ . Znika na liczbach całkowitych; jednak rośnie wykładniczo na wyimaginowanej osi z szybkością wzrostu $c = π$ i rzeczywiście nie jest identycznie zerowy.

Warunek trzeci

Wynik, według Rubla (1956) , rozluźnia warunek, że $f$ znika na liczbach całkowitych. Mianowicie Rubel wykazał, że wniosek z twierdzenia pozostaje ważny, jeśli $f$ znika na podzbiorze $A \subset {0, 1, 2, ...}$ o górnej gęstości 1, co oznacza, że

{\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty}} {\ Frac {\ lewo | A \ czapka \ {0,1, \ cdots, n-1 \} \ prawo |} {n}} = 1.}

Ten warunek jest ostry, co oznacza, że twierdzenie zawodzi dla zbiorów $A$ o górnej gęstości mniejszej niż 1.

Aplikacje

Załóżmy, że $fa (z)$ jest funkcją, która posiada wszystkie skończone różnice do przodu ${\ Displaystyle \ Delta ^ {n} f (0)}$ . Rozważmy zatem szereg Newtona

{\ Displaystyle g (z) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {z \ wybierz n} \ Delta ^ {n }f(0)}

gdzie $n}}$ \ $textstyle {$ współczynnikiem dwumianowym jest n $-$ tą różnicą do przodu Z konstrukcji wynika, że $f (k) = g (k)$ dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych $k$ , tak że różnica $h (k) = f (k) - g (k) = 0$ . Jest to jeden z warunków twierdzenia Carlsona; jeśli $h$ jest posłuszne pozostałym, to $h$ jest identycznie równe zeru, a skończone różnice dla $f$ jednoznacznie określają jego szereg Newtona. Oznacza to, że jeśli istnieje szereg Newtona dla $f$ , a różnica spełnia warunki Carlsona, to $f$ jest jednoznaczny.

Zobacz też

F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor , (1914) Dissertation, Uppsala, Szwecja, 1914.
Riesz, M. (1920). „Sur le principe de Phragmén – Lindelöf”. Materiały Towarzystwa Filozoficznego Cambridge . 20 : 205–107. , cor 21 (1921) s. 6.
Hardy'ego, GH (1920). „O dwóch twierdzeniach F. Carlsona i S. Wigerta” . Acta Mathematica . 42 : 327–339. doi : 10.1007/bf02404414 .
EC Titchmarsh , The Theory of Functions (wyd. 2) (1939) Oxford University Press (patrz sekcja 5.81)
RP Boas, Jr., Całe funkcje , (1954) Academic Press, Nowy Jork.
DeMar, R. (1962). „Istnienie funkcji interpolujących typu wykładniczego” . Trans. Amer. Matematyka soc . 105 (3): 359–371. doi : 10.1090/s0002-9947-1962-0141920-6 .
DeMar, R. (1963). „Znikające różnice centralne” . proc. Amer. Matematyka soc . 14 : 64–67. doi : 10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2 .
Rubel, LA (1956), „Warunki konieczne i wystarczające dla twierdzenia Carlsona dotyczące całych funkcji”, tłum. Amer. Matematyka soc. , 83 (2): 417–429, doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8 , JSTOR 1992882 , MR 0081944 , PMC 528143 , PMID 16578453