Typ wykładniczy

Wykres funkcji w kolorze szarym to

{\ displaystyle e ^ {- \ pi z ^ {2}}} Gaussa nie ma

ograniczony do osi rzeczywistej mi

typu wykładniczego, ale funkcje w

czerwonym i niebieskim są jednostronnymi przybliżeniami, które mają typ .

W analizie zespolonej , gałęzi matematyki , mówi się, że funkcja holomorficzna jest typu wykładniczego C , jeśli jej wzrost jest ograniczony przez funkcję wykładniczą e ^{C | z |} dla pewnej stałej o wartościach rzeczywistych C jako | z | → ∞. Gdy funkcja jest ograniczona w ten sposób, możliwe jest wyrażenie jej w postaci pewnego rodzaju zbieżnych sumowań szeregu innych złożonych funkcji, a także zrozumienie, kiedy możliwe jest zastosowanie technik takich jak sumowanie borelowskie lub na przykład , zastosować transformatę Mellina lub wykonać przybliżenia za pomocą wzoru Eulera – Maclaurina . Ogólny przypadek jest obsługiwany przez twierdzenie Nachbina , które definiuje analogiczne pojęcie ^typu Ψ dla funkcji ogólnej Ψ( z ) w przeciwieństwie do ez .

Podstawowy pomysł

funkcja f ( z ) zdefiniowana na płaszczyźnie zespolonej jest typu wykładniczego, jeśli istnieją stałe o wartościach rzeczywistych M i τ takie, że

{\ Displaystyle \ lewo | f \ lewo (re ^ {i \ theta} \ prawo) \ prawo | \ równoważnik ja ^ {\ tau r}}

w granicy ${\ displaystyle r \ do \ infty}$ . Tutaj zmienna zespolona $aby podkreślić$ została zapisana jako , , granica musi obowiązywać θ Przyjmując, że τ oznacza infimum wszystkich takich τ , mówi się wtedy, że funkcja f jest typu wykładniczego τ .

Na przykład niech ${\ Displaystyle f (z) = \ sin (\ pi z)}$ . Następnie mówi się, że $grzech$ ograniczającą wzrost ${\$ wzdłuż wyimaginowanej osi. Tak więc w tym przykładzie twierdzenie Carlsona nie może mieć zastosowania, ponieważ wymaga funkcji typu wykładniczego mniejszych niż π. Podobnie wzoru Eulera-Maclaurina , ponieważ on również wyraża twierdzenie ostatecznie zakotwiczone w teorii różnic skończonych .

Definicja formalna

$> 0$ $, że$ holomorficzna jest typu wykładniczego jeśli dla każdego rzeczywisty- $}$ ceniona stała taka, że $\ Displaystyle A _ {\ varepsilon}}$

{\ Displaystyle | F (z) | \ równoważnik A _ {\ varepsilon} e ^ {(\ sigma + \ varepsilon) | z |}}

dla ${\ Displaystyle | z | \ do \ infty}$ gdzie ${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ . Mówimy, że $} sigma >0}$ $sigma$ wykładniczego, jeśli typu wykładniczego $)$ pewnego $\ Displaystyle F (z)}$ . Numer

{\ Displaystyle \ tau (F) = \ sigma = \ Displaystyle \ limsup _ {| z | \ strzałka w prawo \ infty} | z | ^ {-1} \ log | F (z) |}

jest typem wykładniczym ${\ Displaystyle F (z)}$ . Granica wyższa oznacza tutaj granicę supremum stosunku poza danym promieniem, gdy promień dąży do nieskończoności. Jest to również granica wyższa od maksimum stosunku przy danym promieniu, gdy promień dąży do nieskończoności. Granica wyższa może istnieć nawet wtedy, gdy maksimum na promieniu r nie ma granicy, gdy r dąży do nieskończoności. Na przykład dla funkcji

{\ Displaystyle F (z) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {z ^ {10 ^ {n!}}} {(10 ^ {n!})!}}}

wartość

{\ Displaystyle (\ max _ {| z | = r} \ log | F (z) |) / r}

przy $jest$ zdominowany przez termin, więc mamy wyrażenia asymptotyczne: ${\ displaystyle n-1 ^ {\ text {st}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo (\ max _ {| z | = 10 ^ {n! -1}} \ log | F (z) | \ prawej) / 10 ^ {n! -1} & \sim \left(\log {\frac {(10^{n!-1})^{10^{(n-1)!}}}{(10^{(n-1)!})!} }\right)/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)\left[(n!-1)10^{(n-1)!}-10^{(n-1) )!}(n-1)!\right]/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)(n!-1-(n-1)!)/10^{n! -1-(n-1)!}\\\end{wyrównane}}}

i to dąży do zera, gdy n dąży do nieskończoności, ale mimo to F ( z ) jest typu wykładniczego 1, co można zobaczyć, patrząc na punkty ${\ displaystyle z = 10 ^ {n!}}$ .

Typ wykładniczy w odniesieniu do symetrycznego korpusu wypukłego

Stein (1957) podał uogólnienie typu wykładniczego dla całych funkcji kilku zmiennych zespolonych . Załóżmy, $,$ jest wypukłym zwartym i symetrycznym podzbiorem R n $displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Wiadomo, że dla każdego takiego istnieje powiązana $}$ z właściwością, że $Displaystyle \|\ cdot \|_$

{\ Displaystyle K = \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {n}: \ | x \ | _ {K} \ równoważnik 1 \}.}

Innymi słowy, $Displaystyle$ to kula jednostkowa w odniesieniu do $}$ ${ \$ $\|\ cdot \|_ {$ . Zbiór

{\ Displaystyle K ^ {*} = \ {y \ w \ mathbb {R} ^ {n}: x \ cdot y \ równoważnik 1{\text{ dla wszystkich}}x\w {K}\}}

nazywa się zbiorem biegunowym i jest również wypukłym , zwartym i symetrycznym podzbiorem ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Ponadto możemy pisać

{\ Displaystyle \|x \|_ {K} = \ Displaystyle \ sup _ {y \ w K ^ {*}} | x \ cdot y |.}

Rozszerzamy ${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {K}}$ $C} ^ {n }}$ { $\$ mathbb wg

{\ Displaystyle \|z \|_ {K} = \ Displaystyle \ sup _ {y \ w K ^ {*}} | z \ cdot y |.}

$\ varepsilon > 0}$ $że$ cała funkcja złożonych $jest$ typu wykładniczego w odniesieniu do jeśli dla każdego $Displaystyle$ istnieje stała o wartościach rzeczywistych taka, że ${\ Displaystyle A _ {\ varepsilon}}$

{\ Displaystyle | F (z) | < A _ {\ varepsilon} e ^ {2 \ pi (1 + \ varepsilon) \ | z \ | _ {K }}}

dla wszystkich ${\ Displaystyle Z \ w \ mathbb {C} ^ {n}}$ .

Przestrzeń Frécheta

Zbiory funkcji typu wykładniczego $τ {\ displaystyle \ tau}$ tworzyć całkowicie jednorodną przestrzeń , a mianowicie przestrzeń Frécheta , przez topologię indukowaną przez policzalną rodzinę norm

{\ Displaystyle \ | f \ | _ {n} = \ sup _ {z \ in \ mathbb {C}} \ exp \ lewo [- \ lewo (\ tau + {\ frac {1} {n}} \ prawo )|z|\prawo]|f(z)|.}

Zobacz też

Twierdzenie Paleya-Wienera
Przestrzeń Paleya-Wienera

Stein, EM (1957), „Funkcje typu wykładniczego”, Ann. z matematyki. , 2, 65 : 582–592, doi : 10.2307/1970066 , JSTOR 1970066 , MR 0085342