Twierdzenie o tożsamości

W analizie rzeczywistej i analizie złożonej , gałęziach matematyki , twierdzenie o tożsamości dla funkcji analitycznych stwierdza: dane funkcje f i g analityczne w domenie D (otwarty i połączony podzbiór lub $}}$$displaystyle \ mathbb {$ ), jeśli fa = g na jakimś ${\ Displaystyle S \ subseteq D}$ , gdzie $,$ punkt akumulacji to fa = g na re .

Zatem funkcja analityczna jest całkowicie określona przez jej wartości w jednym otwartym sąsiedztwie w D , a nawet policzalnym podzbiorze D (pod warunkiem, że zawiera on zbieżną sekwencję). Na ogół nie jest to prawdą w przypadku funkcji różniczkowalnych w rzeczywistości, nawet w przypadku funkcji różniczkowalnych w nieskończoność . Dla porównania, funkcje analityczne są znacznie bardziej sztywnym pojęciem. Nieformalnie, czasami podsumowuje się twierdzenie, mówiąc, że funkcje analityczne są „twarde” (w przeciwieństwie do, powiedzmy, funkcji ciągłych, które są „miękkie”).

Faktem leżącym u podstaw twierdzenia jest możliwość rozwinięcia funkcji holomorficznej w jej szereg Taylora .

on one, and Założenie o łączności w domenie D jest konieczne. Na przykład, jeśli D składa się $g}$ dwóch rozłącznych zbiorów otwartych , może być $na jednym$$zbiorze otwartym$$sol$ a na innym, podczas gdy $displaystyle$ { \ $2$ on another.

Lemat

Jeśli dwie funkcje holomorficzne i ${ \ displaystyle$$}$ w domenie re zgadzają się na zbiorze S, który ma $,$$w$ to ${ \ displaystyle f = g}$$D}$ dysku w środku w ${\ displaystyle$ .

Aby to udowodnić, wystarczy pokazać, że ${\ Displaystyle f ^ {(n)} (c) = g ^ {(n)} (c)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle n \ geq 0}$ .

Jeśli tak nie jest, niech będzie najmniejszą nieujemną liczbą całkowitą z $} (c) \ neq g^{(m)}(c)}$$($ . Dzięki holomorfii mamy następującą reprezentację szeregu Taylora w jakimś otwartym sąsiedztwie U of do $\ displaystyle c}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (fg) (z) & {} = (zc) ^ {m} \ cdot \ lewo [{\ Frac {(fg) ^ {(m)} (c)} {m !}}+{\frac {(zc)\cdot (fg)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{ }=(zc)^{m}\cdot h(z).\end{wyrównane}}}$

Przez ciągłość $jest$$od$ zera na jakimś małym $dysku$ . Ale wtedy ${\ Displaystyle fg \ neq 0}$ na przebitym zestawie ${\ Displaystyle B- \ {c \}}$ . Jest to sprzeczne z założeniem, że $jest$ akumulacji ${\ Displaystyle \ {f = g \}}$ .

Ten $_$$,$ dla włókno _ zatem policzalny) zestaw, chyba że ${\ Displaystyle f \ równoważny a}$ .

Dowód

Zdefiniuj zbiór, w którym i mają to samo rozwinięcie Taylora: ${\ displaystyle f}$ i ${\ displaystyle g}$

$${\ Displaystyle S = \ lewo \ {z \ w D \ mid f ^ {(k)} (z) = g ^ {(k)} (z) {\ tekst {dla wszystkich}} k \ geq 0 \ prawo \}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\left\{z\in D\mid \left(f^{(k)}-g^{(k)}\right)(z) =0\prawo\}.}$$

Pokażemy, $niepusty$ , otwarty i zamknięty . Następnie przez powiązanie , musi $}$$f = g}$ z , co implikuje na $\ displaystyle$$D}$$sol$$\ displaystyle$ .

$D$ lematem, $}$ dysku wyśrodkowanym na środku $\ displaystyle$ , mają ten sam szereg Taylora w ${\ displaystyle c}$ , więc ${\ displaystyle c \ in S}$ , ${\ displaystyle S}$ nie jest pusty.

Ponieważ i ${\ displaystyle$$}$$są$ holomorficzne na ${\ displaystyle D}$ , Taylora i fa $f$$displaystyle g}$$\$ w mają niezerowy promień zbieżności . Dlatego otwarty dysk ${\ Displaystyle B_ {r} (w)}$ leży również w niektórych $displaystyle$$r}$ . Więc $jest$ .

Przez holomorfię $Displaystyle$ mają pochodne holomorficzne, więc wszystkie $n)}, g ^ {(n) }}$$($ są ciągłe. Oznacza to, że ${\ Displaystyle \ {z \ in D \ mid (f ^ {(k)} -g ^ {(k)}) (z) = 0 \}} jest zamknięte$ dla wszystkich ${\ displaystyle k}$ . ${\ displaystyle S}$ jest przecięciem zbiorów domkniętych, więc jest domknięte.

Pełna charakteryzacja

Ponieważ twierdzenie o tożsamości dotyczy równości dwóch funkcji holomorficznych , możemy po prostu rozważyć różnicę (która pozostaje holomorficzna) i możemy po prostu scharakteryzować, kiedy funkcja holomorficzna jest $identyczna$ . Poniższy wynik można znaleźć w.

Prawo

Niech $C}}$ oznacza niepusty, spójny otwarty podzbiór płaszczyzny zespolonej. Dla ${\textstyle h:G\to \mathbb {C}}$ poniższe są równoważne.

1. ${\ textstyle h \ równoważnik 0}$ na ${\ textstyle G}$ ;
2. zbiór ${\ textstyle G_ {0} = \ {z \ in G \ mid h (z) = 0 \}}$ zawiera punkt skupienia , ${\ textstyle z_ {0}}$ ;
3. zbiór ${\textstyle G_{\ast}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}G_{n}} jest niepusty,$ gdzie ${\ textstyle G_ {n}: = \ {z \ in G \ mid h ^ {(n)} (z) = 0 \}}$ .

Dowód

Kierunki (1 ${\textstyle \Rightarrow}$ 2) i (1 ${\textstyle \Rightarrow}$ 3) są trywialne.

Dla ( 3 ${\ textstyle \ Rightarrow}$ 1) , przez powiązanie ${\ textstyle G}$ wystarczy udowodnić, że niepusty podzbiór ${\ textstyle G_ {\ ast} \ subseteq G}$ , jest domknięty (ponieważ przestrzeń topologiczna jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma właściwych podzbiorów domkniętych). Ponieważ funkcje holomorficzne są różniczkowalne $tj$ , ${\ textstyle G_ {\ ast}}$ jest zamknięte. Aby pokazać otwartość, rozważ niektóre ${\ textstyle u \ in G_ {\ ast }}$ . Rozważmy otwartą kulę $zbieżne$ , w której $.$$textstyle$ w szereg Taylora wyśrodkowane na $u$ { Na mocy ${\ textstyle u \ in G_ {\ ast}}$ , wszystkie współczynniki tego szeregu to ${\ textstyle 0}$ , skąd ${\ textstyle h \ równoważnik 0}$ na ${\ textstyle U}$ . Wynika z tego, że wszystkie ${\ textstyle n}$ -te pochodne ${\ textstyle h}$ są ${\ textstyle 0}$ na ${\ textstyle U}$ , skąd ${\ textstyle U \ subseteq G_ {\ ast} }$ . Więc każdy ${\ textstyle u \ w G_ {\ ast}}$ leży we wnętrzu ${\ textstyle G _ {\ ast}}$ .

W kierunku ( 2 ${\ textstyle \ Rightarrow }$ 3) , ustal punkt skupienia ${\ textstyle z_ {0} \ in G_ {0}}$ . Udowodnimy teraz bezpośrednio przez indukcję, że $in \mathbb {N}$$_$ \ . W tym celu niech ${\ textstyle r \ in (0, \ infty)}$ być ściśle mniejszy niż promień zbieżności rozwinięcia szeregu potęg ${\ textstyle \ suma _ {k \ in \ mathbb {N} _ {0}} {\ Frac {h ^ {(k)} (z_ {0})} {k!}} ( z-z_{0})^{k}}$ z $textstyle z_ {0}}$$\$ , określony przez . Napraw teraz trochę ${\textstyle n\geq 0}$ i załóż, że ${\ textstyle z_ {0} \ w G_ {k}}$ dla wszystkich ${\ textstyle k <n}$ . Następnie dla manipulacji ${\ textstyle z \ in {\ bar {B}} _ {r} (z_ {0}) \ setminus \ {z_ {0} \}}$ wydajność rozwinięcia szeregu potęgowego

$${\ Displaystyle h ^ {(n)} (z_ {0}) = n! {\ Frac {h (z)} {(z-z_ {0}) ^ {n}}} - (z-z_ {0} })\underbrace {n!\sum _{k=n+1}^{\infty}{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{ 0})^{k-(n+1)}} _{=:R(z)}.}$$

 

 

 

 

()

Zauważ, że ponieważ $potęgowego$$przez$ że szereg potęgowy ciągły, a zatem ograniczony ${\ textstyle {\ bar {B}} _ {r} (z_ {0})}$ .

Teraz, ponieważ $}$${0}$ jest punktem akumulacji w ${\textstyle (z ^ {(i)}) _ {i} \ subseteq G_ {0} \ cap B_ {r} (z_ {0}) \ setminus \ {z_ {0} \}} zbieżny$ istnieje sekwencja punktów do ${\ textstyle z_ {0}}$ . Ponieważ ${\ textstyle h \ równoważny 0}$ dalej ${\ textstyle G_ {0}}$ i ponieważ każdy ${\ textstyle z ^ {(i)} \ w G_ {0} \ cap B_ {r} (z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ , wyrażenie w ( 1 ) zwraca

$${\ Displaystyle h ^ {(n)} (z_ {0}) = n! {\ Frac {h (z ^ {(i)})} {(z ^ {(i)} -z_ {0}) ^ {n}}}-(z^{(i)}-z_{0})R(z^{(i)})=0-\podszewka {(z^{(i)}-z_{0}) } _{\longrightarrow _{i}0}R(z^{(i)}).}$$

 

 

 

 

()

Z ograniczoności ${\ textstyle R (\ cdot)}$ na ${\ textstyle {\ bar {B}} _ {r} (z_ {0})}$ wynika, że ${\ textstyle h ^ {(n)} (z_ {0}) = 0}$ , skąd ${\ textstyle z_ {0} \ in G_ {n}}$ . Twierdzenie jest spełnione przez indukcję. CO BYŁO DO OKAZANIA

Zobacz też

• Kontynuacja analityczna
• Twierdzenie o tożsamości dla powierzchni Riemanna

•   Ablowitz, Mark J.; Fokas AS (1997). Zmienne złożone: wprowadzenie i zastosowania . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. P. 122. ISBN 0-521-48058-2 .