Snop dualizujący

W geometrii algebraicznej snop dualizujący na schemacie właściwym X o wymiarze n nad polem k jest snopem spójnym wraz z funkcjonałem liniowym ${\ Displaystyle \ omega _ {X}}$

{\ Displaystyle t_ {X}: \ nazwa operatora {H} ^ {n} (X, \ omega _ {X}) \ do k}

co indukuje naturalny izomorfizm przestrzeni wektorowych

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {X} (F, \ omega _ {X}) \ simeq \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*},\,\varphi \mapsto t_{X}\circ \varphi}

dla każdego spójnego snopka F na X (indeks górny * odnosi się do podwójnej przestrzeni wektorowej ). Funkcjonał $nazywany$ morfizmem śladowym .

Para ${\ Displaystyle (\ omega _ {X}, t_ {X})}$ , jeśli istnieje, jest unikalna aż do naturalnego izomorfizmu. W rzeczywistości, w języku teorii kategorii , $jest$ obiektem reprezentującym funktor kontrawariantny $} ^{n}(X,F)^{*}}$ $\ Displaystyle F \ mapsto \ operatorname {$ z kategorii snopów koherentnych na X do kategorii przestrzeni k -wektorowych.

Dla normalnej rozmaitości rzutowej X snop dualizujący istnieje iw rzeczywistości jest to snop kanoniczny : $})}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {X} = {\ mathcal {O}} _ {X} ($ $jest$ gdzie dzielnikiem kanonicznym . Mówiąc bardziej ogólnie, snop dualizujący istnieje dla każdego schematu rzutowego.

Istnieje następujący wariant twierdzenia Serre'a o dualności : dla rzutowego schematu X czystego wymiaru n i snopka Cohena-Macaulaya F na X takiego, że ${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (F)}$ wymiar n , istnieje naturalny izomorfizm

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} ^ {i} (X, F) \ simeq \ nazwa operatora {H} ^{ni}(X,\operatorname {{\mathcal {H}}om} (F,\omega _{X}))^{*}}

.

W szczególności, jeśli samo X jest schematem Cohena-Macaulaya , to powyższa dwoistość obowiązuje dla każdego lokalnie wolnego snopka.

Względny snop dualizujący

$Displaystyle$ skończenie przedstawiony morfizm schematów , ( Kleiman 1980 $\ omega _ {f$ definiuje względny dualizujący lub ${\ Displaystyle \ omega _ {X/Y}}$ jako snop taki, że dla każdego otwartego podzbioru i quasi-spójnego snopka na ${\ Displaystyle U \ podzbiór Y$ $}$ fa ${\ displaystyle$ , istnieje izomorfizm kanoniczny

{\ Displaystyle (f | _ {U}) ^ {!} F = \ omega _ {f} \ czasami _ {{\ mathcal {O}} _ {Y}} F}

,

który jest funkcjonalny w $dojeżdża$ do pracy z otwartymi ograniczeniami.

Przykład : Jeśli $jest$ morfizmem zupełnego przecięcia między $U}$ typu skończonego na polu, to (z definicji) każdy punkt ma otwarte sąsiedztwo i $displaystyle$ faktoryzacja ${\ Displaystyle f | _ {U}: U {\ overset {i} {\ do}} Z {\ overset {\ pi} {\ do}} Y},$ regularne osadzanie współwymiaru $displaystyle$ po którym następuje gładki morfizm wymiaru względnego $r}$ . Następnie

{\ Displaystyle \ omega _ {f} | _ {U} \ simeq \ klin ^ {r} i ^ {*} \ Omega _ {\ pi} ^{1}\otimes \klin ^{k}N_{U/Z}}

gdzie $jest$ względnych $Kählera$ i pakietem ja { _ $_ ja}$ .

Przykłady

Snop dualizujący krzywej węzłowej

W przypadku gładkiej krzywej C $} ^ {1}}$ $C$ \ Displaystyle \ .

$x$ przypadku krzywej węzłowej C z p , rozważyć normalizację z dwoma zidentyfikowanymi punktami Niech $y)}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {C}}}$ będzie snopem wymiernych form 1 na do ${\ Displaystyle \ Omega _ {\ tylda {C}} (x$ do x + y + y formy z sumą reszt w x i y równą zeru. $_$ obraz _ krzywa C. _ Konstrukcję można łatwo uogólnić na krzywe węzłowe z wieloma węzłami.

Jest to wykorzystywane w konstrukcji wiązki Hodge'a na zwartej przestrzeni modułów krzywych : pozwala nam rozszerzyć względny snop kanoniczny poza granicę, która parametryzuje krzywe węzłowe. Wiązka Hodge'a jest wtedy definiowana jako bezpośredni obraz względnego dualizującego snopka.

Dualizujący snop schematów rzutowych

Jak wspomniano powyżej, snop dualizujący istnieje dla wszystkich schematów rzutowych. Dla X zamkniętego podschematu P ⁿ współwymiaru r , jego dualizujący snop można podać jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {Ext}} _ {\ mathbf {P} ^{n}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbf {P} ^{n}})}$ . Innymi ^słowy , używa się dualizującego snopka na otaczającym Pn do skonstruowania dualizującego snopka na X .

Zobacz też

Notatka

Arbarello, E.; Cornalba, M.; Griffiths, Pensylwania (2011). Geometria krzywych algebraicznych . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 268. doi : 10.1007/978-3-540-69392-5 . ISBN 978-3-540-42688-2 . MR 2807457 .
Kleiman, Steven L. (1980). „Względna dwoistość dla quasi-spójnych snopów” (PDF) . Compositio Mathematica . 41 (1): 39–60. MR 0578050 .
Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational geometria rozmaitości algebraicznych , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 134, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63277-5 , MR 1658959
Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

Linki zewnętrzne