Pochodny iloczyn tensorowy

W algebrze, biorąc pod uwagę algebrę różniczkową A na przemiennym pierścieniu R , pochodny funktor iloczynu tensorowego to

${\ Displaystyle - \ otimes _ {A} ^ {\ textbf {L}} -: D ({\ mathsf {M }}_{A})\razy D({}_{A}{\mathsf {M}})\do D({}_{R}{\mathsf {M}})}$

gdzie i są kategoriami prawego modułu A i lewego A - $}}$ \ Displaystyle ${A$ moduły i D odnoszą się do kategorii homotopii (tj. kategorii pochodnej ). Z definicji jest to lewostronny funktor funktora iloczynu tensorowego ${\ Displaystyle - \ otimes _ {A} -: {\ mathsf {M}} _ {A} \times {}_{A}{\mathsf {M}}\to {}_{R}{\mathsf {M}}}$ .

Pochodny iloczyn tensorowy w pochodnej teorii pierścieni

Jeśli R jest zwykłym pierścieniem, a nad nim M , N prawy i lewy moduł, to traktując je jako widma dyskretne, można utworzyć ich iloczyn rozbijający:

${\ Displaystyle M \ czasami _ {R} ^ {L} N}$

którego i -tą homotopią jest i -ty Tor:

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (M \ czasami _ {R} ^ {L} N) = \ operatorname {Tor} _ { i}^{R}(M,N)}$ .

Nazywa się to pochodnym iloczynem tensorowym M i N . $_$ szczególności jest modułów M N nad _ _ _

Geometrycznie pochodny iloczyn tensorowy odpowiada iloczynowi przecięcia ( schematów pochodnych ).

Przykład $będzie$ Niech R prostym pierścieniem przemiennym, ( R ) R będzie kofibrantu modułem Kählera . dyferencjały. Następnie

${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {R} = \ Omega _ {Q (R)} ^ {1} \ czasami _ {Q (R) }^{L}R}$

jest modułem R zwanym kompleksem cotangensowym R . Jest funkcjonalny w R : każdy R → S daje początek ${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {R} \ do \ mathbb {L} _ {S}}$ . Następnie dla każdego R → S istnieje sekwencja włókien S -modułów

${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {S / R} \ do \ mathbb {L} _ {R} \ czasami _ {R} ^ {L} S \ do \ mathbb {L} _ {S}.}$

Cofiber $kompleksem$ względnym

Zobacz też

• schemat pochodny (pochodny iloczyn tensorowy daje pochodną wersję przecięcia teorii schematu ).

Notatki

• Lurie, J., Spectral Algebraic Geometry (w budowie)
• Wykład 4 części II Moerdijk-Toen, Uproszczone metody dla oper i geometrii algebraicznej
• Ch. 2.2. Toen -Vezzosiego