profesor

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , profunktory są uogólnieniem relacji , a także bimodułów .

Definicja

Profesor ( również nazwany dystrybutorem przez francuską szkołę i $D}$ przez szkołę w Sydney) z $kategorii,$ do napisany do kategorii $displaystyle$

${\ Displaystyle \ phi \ dwukropek C \ nrightarrow D}$ ,

jest zdefiniowany jako funktor

${\ Displaystyle \ phi \ dwukropek D ^ {\ operatorname {op}} \ razy C \ do \ mathbf {zestaw}}$

gdzie oznacza przeciwną kategorię $,$ a $Displaystyle$$}}$ t { \ \ mathbf oznacza Biorąc pod uwagę morfizmy odpowiednio w re , $\ Displaystyle f \ dwukropek d \ do d', g \ dwukropek c \ do c '$${\ Displaystyle D, C}$ i element ${\ Displaystyle x \ in \ phi (d', c)}$ , piszemy ${\ Displaystyle xf \ in \ phi (d, c), gx \ in \ phi (d', c')}$ na oznaczenie działań.

Korzystając z kartezjańskiego domknięcia kategorii $małych$ kategorii , profunktor $funktor$ jako

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ fi}} \ dwukropek C \ do {\ kapelusz {D}}}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ kapelusz {D}}}$ oznacza kategorię ${\ displaystyle \ operatorname {zestaw} ^ {D ^ {\ operatorname {op}}}}$ snopów wstępnych nad re $}}} styl wyświetlania D}$ .

Korespondencja od ${\ displaystyle D}$$to$ profunktor re $nrightarrow C}$ \ displaystyle D .

Profunktory jako kategorie

$}$ definicja profunctora $,$ której obiekty są rozłącznym związkiem obiektów z $displaystyle$ obiektów z . $re }$ i którego morfizmy to morfizmy $i$ zero lub więcej $dodatkowych$ morfizmów od obiektów do obiektów $\ displaystyle D}$${\ Displaystyle C}$ . Zbiory $w$$powyższej formalnej$ to zestawy hom między obiektami a . ( $. text{op}}\times \phi \to \mathbf {Zbiór} }$ morfizmy można nazwać heteromorfizmami ). funktora do ${\ Displaystyle D ^ {\ tekst {op}} \ razy C}$ .

$, że ​​​​propuntor można$ jako relację między obiektami a obiektami , gdzie $.$ element relacji jest powiązany ze zbiorem morfizmów Funktor jest szczególnym przypadkiem profunktora w taki sam sposób, jak funkcja jest szczególnym przypadkiem relacji.

Skład profesorów

Złożony $_$ _

${\ Displaystyle \ phi \ dwukropek C \ nrightarrow D}$ i ${\ Displaystyle \ psi \ dwukropek D \ nrightarrow E}$

jest dany przez

${\ Displaystyle \ psi \ phi = \ operatorname {Lan} _ {Y_ {D}} ({\ kapelusz {\ psi}}) \ circ {\ kapelusz {\phi}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Lan} _ {Y_ {D}} ({\ kapelusz {\ psi}})}$ jest lewym rozszerzeniem Kan funktora ${\ Displaystyle { \ kapelusz {\ psi}}}$ wzdłuż funktora Yoneda $}}}$ do {\ kapelusz { $($ co do każdego obiekt ${\ displaystyle d}$ z ${\ Displaystyle D}$ kojarzy funktor ${\ Displaystyle D (-, d) \ dwukropek D ^ {\ operatorname {op}} \ do \ operatorname {zestaw} }$ ).

Można to pokazać

${\ Displaystyle (\ psi \ phi) (e, c) = \ lewo (\ coprod _{d\in D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)\right){\Bigg /}\sim }$

gdzie ${\ Displaystyle \ sim}$ jest najmniejszą relacją równoważności taką, że ${\ Displaystyle (y ', x') \ sim (y, x)}$ ilekroć istnieje a morfizm $v }$ takim, że re $\ displaystyle$

${\ Displaystyle y '= vy \ in \ psi (e, d')}$ i ${\ Displaystyle x'v =x\in \phi (d,c)}$ .

Równoważnie, kompozycja profunctora może być napisana przy użyciu coend

${\ Displaystyle (\ psi \ phi) (e, c) = \ int ^ {d \ dwukropek D }\psi (e,d)\czasy \phi (d,c)}$

Dwukategoria profesorów

Złożenie zaimków jest asocjacyjne tylko do izomorfizmu (ponieważ iloczyn nie jest ściśle asocjacyjny w Zbiorze ). Najlepsze, na co można mieć nadzieję, to zbudowanie dwukategorii Prof

• 0-komórki to małe kategorie ,
• 1-komórki między dwiema małymi kategoriami są profunktorami między tymi kategoriami,
• 2-komórki między dwoma profunktorami to naturalne przekształcenia między tymi profunctorami.

Nieruchomości

Podnoszenie funktorów do profunktorów

$}$ do ${ \ Displaystyle$ może być postrzegane jako z Funktor Yonedy:

${\ Displaystyle \ phi _ {F} = Y_ {D} \ circ F}$ .

Można wykazać, że taki profunktor $ma$ . Co więcej, jest to charakterystyka: zaimek $^$ sprzężony wtedy i tylko wtedy, gdy $kapelusz {\$$kapelusz {$ czynniki poprzez uzupełnienie Cauchy'ego , tj. istnieje funktor ${\ Displaystyle F \ dwukropek C \ do D}$ , że ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ phi}} = Y_ {D} \ circ F}$ .

• Bénabou, Jean (2000). „Dystrybutorzy w pracy” (PDF) . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )
• Borceux, Franciszek (1994). Podręcznik algebry kategorialnej . FILIŻANKA.
• Lurie, Jakub (2009). Teoria wyższego toposu . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton.
• Profesor w n Lab
• Heteromorfizm w laboratorium n