Wyznacznik funkcjonalny

W analizie funkcjonalnej , gałęzi matematyki , czasami możliwe jest uogólnienie pojęcia wyznacznika macierzy kwadratowej o skończonym porządku (reprezentującej liniową transformację ze skończonej wymiarowej przestrzeni wektorowej do siebie) na nieskończenie wymiarowy przypadek a operator liniowy S odwzorowujący przestrzeń funkcyjną V na siebie. Odpowiednia wielkość det( S ) nazywana jest funkcjonalnym wyznacznikiem S .

Istnieje kilka wzorów na wyznacznik funkcjonalny. Wszystkie opierają się na fakcie, że wyznacznik skończonej macierzy jest równy iloczynowi wartości własnych macierzy. Matematycznie rygorystyczna definicja jest oparta na funkcji zeta operatora ,

${\ Displaystyle \ zeta _ {S} (a) = \ operatorname {tr} \, S ^ {- a} \,,}$

gdzie tr oznacza ślad funkcjonalny : wyznacznik jest wtedy określony przez

${\ Displaystyle \ det S = e ^ {- \ zeta _ {S} '(0)} \,,}$

gdzie funkcja zeta w punkcie s = 0 jest określona przez analityczną kontynuację . Inne możliwe uogólnienie, często używane przez fizyków podczas korzystania z całkowego ścieżki Feynmana w kwantowej teorii pola (QFT), wykorzystuje integrację funkcjonalną :

${\ Displaystyle \ det S \ propto \ lewo (\ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi, S \ phi \ rangle} \ prawej) ^ {- 2 }\,.}$

Ta całka po ścieżce jest dobrze zdefiniowana tylko do pewnej rozbieżnej stałej multiplikatywnej. Aby nadać mu ścisłe znaczenie, należy go podzielić przez inny wyznacznik funkcjonalny, skutecznie anulując w ten sposób problematyczne „stałe”.

Są to teraz pozornie dwie różne definicje wyznacznika funkcjonalnego, jedna pochodząca z kwantowej teorii pola, a druga z teorii spektralnej . Każde wymaga pewnego rodzaju regularyzacji : w definicji popularnej w fizyce dwa wyznaczniki można porównywać tylko ze sobą; w matematyce zastosowano funkcję zeta. Osgood, Phillips i Sarnak (1988) wykazali, że wyniki uzyskane przez porównanie dwóch wyznaczników funkcjonalnych w formalizmie QFT zgadzają się z wynikami uzyskanymi przez wyznacznik funkcjonalny zeta.

Definiowanie formuł

Wersja integralna ścieżki

Dla dodatniego operatora samosprzężonego S w skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej V , wzór

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {\ det S}}} = \ int _ {V} e ^ {- \ pi \ kąt x,Sx\rangle }\,dx}$

posiada.

Problem polega na znalezieniu sposobu na zrozumienie wyznacznika operatora S w nieskończenie wymiarowej przestrzeni funkcyjnej. Jedno podejście, preferowane w kwantowej teorii pola, w którym przestrzeń funkcji składa się z ciągłych ścieżek w przedziale zamkniętym, polega na formalnej próbie obliczenia całki

${\ Displaystyle \ int _ {V} e ^ {- \ pi \ langle \ phi, S \ phi \ rangle} \, {\ mathcal {D}} \ phi }$

gdzie V jest przestrzenią funkcyjną i $}$ wewnętrznym L 2 oraz miarą ^Wienera ⟨ ⋅ $\ langle \ cdot \ cdot \$ rangle . Podstawowym założeniem dotyczącym S jest to, że powinien on być samosprzężony i mieć dyskretne widmo λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , … z odpowiednim zestawem funkcji własnych f ₁ , f ₂ , f ₃ , … które są kompletne w L ² (jak na przykład miałoby to miejsce w przypadku operatora drugiej pochodnej w zwartym przedziale Ω). Oznacza to z grubsza _, że ​​wszystkie funkcje φ można zapisać jako liniowe kombinacje funkcji fi :

${\ Displaystyle |\ phi \ rangle = \ suma _ {i} c_ {i} | f_ {i} \ rangle \ quad {\ tekst {z}} c_ {i} = \ langle f_ {i} | \ phi \ zakres .}$

Stąd iloczyn wewnętrzny w wykładniczym można zapisać jako

${\ Displaystyle \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle = \ suma _ {i, j} c_ {i} ^ {*} c_ {j} \ langle f_ {i} | S | f_ {j} \ rangle =\suma _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\suma _{i}|c_{i}|^{2} \lambda_{i}.}$

W bazie funkcji fi , integracja funkcjonalna sprowadza się do integracji po wszystkich funkcjach bazowych _. Formalnie, zakładając, że nasza intuicja ze skończonego wymiaru przenosi się do nieskończonego wymiaru, miara powinna być równa

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi = \ prod _ {i} {\ Frac {dc_ {i}} {2 \ pi}}.}$

To sprawia, że ​​całka funkcjonalna jest iloczynem całek Gaussa :

${\ Displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} = \ prod _ {i} \ int _ {- \ infty }^{+\infty}{\frac {dc_{i}}{2\pi}}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.}$

Całki można następnie ocenić, podając

${\ Displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i} \lambda_{i}}}}}$

gdzie N jest nieskończoną stałą, którą należy rozwiązać za pomocą procedury regularyzacji. Iloczyn wszystkich wartości własnych jest równy wyznacznikowi dla przestrzeni o skończonych wymiarach i formalnie definiujemy to tak, aby miało to miejsce również w naszym przypadku nieskończenie wymiarowym. Wynikiem tego jest formuła

${\ Displaystyle \ int _ {V} {\ mathcal {D}} \ phi \; e ^ {- \ langle \ phi | S | \ phi \ rangle} \ propto {\ frac {1} {\ sqrt {\ det S}}}.}$

Jeśli wszystkie wielkości są zbieżne w odpowiednim sensie, to wyznacznik funkcjonalny można opisać jako granicę klasyczną (Watson i Whittaker). W przeciwnym razie konieczne jest wykonanie pewnego rodzaju regularyzacji . Najpopularniejszym z nich do obliczania wyznaczników funkcjonalnych jest regularyzacja funkcji zeta . Na przykład pozwala to na obliczenie wyznacznika operatorów Laplace'a i Diraca na rozmaitości Riemanna przy użyciu funkcji zeta Minakshisundarama – Pleijela . W przeciwnym razie można również rozważyć iloraz dwóch wyznaczników, powodując zniesienie rozbieżnych stałych.

Wersja funkcji Zeta

Niech S będzie eliptycznym operatorem różniczkowym o gładkich współczynnikach, który jest dodatni na funkcjach zwartego wsparcia . Oznacza to, że istnieje stała c > 0 taka, że

${\ Displaystyle \ langle \ phi, S \ phi \ rangle \ geq c \ langle \ phi, \ phi \ rangle}$

dla wszystkich kompaktowo obsługiwanych funkcji gładkich φ. Wtedy S ma rozszerzenie samosprzężone do operatora na L ² z dolną granicą c . Wartości własne S można ułożyć w sekwencję

${\ Displaystyle 0 <\ lambda _ {1} \ równoważnik \ lambda _ {2} \ równoważnik \ cdots, \ qquad \ lambda _ {n} \ do \ infty.}$

Wtedy funkcja zeta S jest określona przez szereg:

${\ Displaystyle \ zeta _ {S} (s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}.}$

Wiadomo, że ζ _S ma meromorficzne rozszerzenie na całą płaszczyznę. Co więcej, chociaż można zdefiniować funkcję zeta w bardziej ogólnych sytuacjach, funkcja zeta eliptycznego operatora różniczkowego (lub pseudooperatora różniczkowego) jest regularna w ${\ displaystyle s = 0}$ .

Formalnie różnicowanie tego szeregu wyraz po wyrazie daje

${\ Displaystyle \ zeta _ {S} '(s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {-\ln \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},}$

więc jeśli wyznacznik funkcjonalny jest dobrze zdefiniowany, to powinien być dany przez

${\ Displaystyle \ det S = \ exp \ lewo (- \ zeta _ {S} '(0) \ prawo).}$

Ponieważ analityczna kontynuacja funkcji zeta jest regularna przy zerze, można to rygorystycznie przyjąć jako definicję wyznacznika.

Ten rodzaj zeta-uregulowanego wyznacznika funkcjonalnego pojawia się również podczas oceniania sum postaci ${\ textstyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {( n+a)}}}$ . Całkowanie po a daje ${\ textstyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ ln (n + a)},$ co można po prostu uznać za logarytm wyznacznika dla oscylatora harmonicznego . Ta ostatnia wartość jest po prostu równa ${\ Displaystyle - \ częściowe _ {s} \ zeta _ {H} (0, a)}$${\ Displaystyle \zeta _{H}(s,a)}$ gdzie to funkcja zeta Hurwitza .

Praktyczny przykład

Nieskończona studnia potencjału z A = 0.

Nieskończona studnia potencjału

Obliczymy wyznacznik następującego operatora opisującego ruch cząstki mechaniki kwantowej w nieskończonej studni potencjału :

${\ Displaystyle \ det \ lewo (- {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ po prawej)\qquad (x\w [0,L]),}$

gdzie A to głębokość potencjału, a L to długość studni. Wyznacznik ten obliczymy przez diagonalizację operatora i pomnożenie wartości własnych . Aby nie zaprzątać sobie głowy nieciekawą stałą rozbieżną, obliczymy iloraz wyznaczników operatora o głębokości A i operatora o głębokości A = 0. Wartości własne tego potencjału są równe

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} = {\ Frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} + A \ qquad (n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0\}).}$

To znaczy że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ det \ lewo (- {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ prawo)} {\ det \ lewo (- {\ frac {d ^ {2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty}{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2 }}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+ \infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Teraz możemy użyć nieskończonej reprezentacji iloczynu Eulera dla funkcji sinus :

${\ Displaystyle \ sin z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo (1- {\ Frac { z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\prawo)}$

można wyprowadzić podobny wzór na hiperboliczną funkcję sinusową :

${\ Displaystyle \ sinh z = -i \ sin iz = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo (1 + {\ Frac {z ^ {2}}} {n ^ {2} \ pi ^{2}}}\prawo).}$

Stosując to, stwierdzamy, że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ det \ lewo (- {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ prawo)} {\ det \ lewo (- {\ frac {d ^ {2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty}\left(1+{\frac {L^{2}A}{n ^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

Inny sposób obliczania wyznacznika funkcjonalnego

Dla potencjałów jednowymiarowych istnieje skrót prowadzący do wyznacznika funkcjonalnego. Opiera się na rozważeniu następującego wyrażenia:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ det \ lewo (- {\ Frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{ 2}}}+V_{2}(x)-m\prawo)}}}$

gdzie m jest stałą zespoloną. To wyrażenie jest funkcją meromorficzną m , mającą zera, gdy m jest równe wartości własnej operatora o potencjale V ₁ ( x ) i biegun, gdy m jest wartością własną operatora o potencjale V ₂ ( x ). Rozważymy teraz funkcje ψ
^m ₁ i ψ
^m ₂ z

${\ Displaystyle \ lewo (- {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0}$

przestrzeganie warunków brzegowych

${\ Displaystyle \ psi _ {i} ^ {m} (0) = 0, \ quad \ qquad {\ Frac {d \ psi _ { i}^{m}}{dx}}(0)=1.}$

Jeśli skonstruujemy funkcję

${\ Displaystyle \ Delta (m) = {\ Frac {\ psi _ {1} ^ {m} (L)} {\ psi _ { 2}^{m}(L)}},}$

która jest również meromorficzną funkcją m , widzimy, że ma dokładnie te same bieguny i zera co iloraz wyznaczników, który próbujemy obliczyć: jeśli m jest wartością własną operatora numer jeden, to ψ
^m ₁ ( x ) będzie będzie jego funkcją własną, co oznacza, że ​​ψ
^m ₁ ( L ) = 0 ; i analogicznie dla mianownika. Zgodnie z twierdzeniem Liouville'a dwie funkcje meromorficzne z tymi samymi zerami i biegunami muszą być do siebie proporcjonalne. W naszym przypadku stała proporcjonalności okazuje się równa jeden i otrzymujemy

${\ Displaystyle {\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{ \frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L) }{\psi_{2}^{m}(L)}}}$

dla wszystkich wartości m . Dla m = 0 otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ det \ lewo (- {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V_ {1} (x) \ prawej)} {\ det \ lewo (- {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)} {\psi_{2}^{0}(L)}}.}$

Nieskończony potencjał ponownie odwiedzony

Problem z poprzedniej sekcji można łatwiej rozwiązać za pomocą tego formalizmu. Funkcje ψ ⁰
_i ( x ) są spełnione

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo (- {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ prawej) \ psi _ {1} ^ {0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0 )=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0 }(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{wyrównane}}}$

dając następujące rozwiązania:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ psi _ {1} ^ {0} (x) = {\ Frac {1} {1} {\ sqrt {A}}} \ sinh x {\ sqrt {A}}, \ \&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{wyrównane}}}$

Daje to ostateczny wyraz

${\ Displaystyle {\ Frac {\ det \ lewo (- {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + A \ prawo)} {\ det \ lewo (- {\ frac {d ^ {2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.}$

Zobacz też

• Wyznacznik Fredholma
• Metoda Fujikawy
• Duch Faddeev-Popov

Notatki

•   Berline, Nicole; Getzler, Ezdrasz; Vergne, Michèle (2004), jądra ciepła i operatorzy Diraca , ISBN 978-3-540-20062-8
•     Branson, Thomas P. (2007), „Krzywizna Q, niezmienniki widmowe i teoria reprezentacji” , Symetria, całkowalność i geometria: metody i zastosowania , 3 : Paper 090, 31, arXiv : 0709,2471 , Bibcode : 2007SIGMA ... 3 ..090B , doi : 10.3842/SIGMA.2007.090 , ISSN 1815-0659 , MR 2366932 , S2CID 14629173
•   Branson, Thomas P. (1993), Wyznacznik funkcjonalny , seria notatek z wykładów, tom. 4, Seul: Seoul National University Research Institute of Mathematics Global Analysis Research Centre, MR 1325463
•    Hörmander, Lars (1968), „Funkcja widmowa operatora eliptycznego”, Acta Mathematica , 121 : 193–218, doi : 10.1007/BF02391913 , ISSN 0001-5962 , MR 0609014
•    Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, Peter (1988), „Ekstrema wyznaczników Laplacian”, Journal of Functional Analysis , 80 (1): 148–211, doi : 10.1016/0022-1236 (88) 90070-5 , ISSN 0022-1236 , MR 0960228
•   Ray, DB; Singer, IM (1971), „ R -torsion i Laplacian na rozmaitościach Riemanna”, Advances in Mathematics , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708 (71) 90045-4 , MR 0295381
•   Seeley, RT (1967), „Złożone potęgi operatora eliptycznego”, Całki osobliwe (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 288–307, MR 0237943
•    Shubin, MA (1987), Operatory pseudoróżnicowe i teoria spektralna , Springer Series in Soviet Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13621-7 , MR 0883081