Metoda obliczania anomalii chiralnych
W fizyce metoda Fujikawy jest sposobem wyprowadzania chiralnej anomalii w kwantowej teorii pola . Wykorzystuje zgodność między wyznacznikami funkcjonalnymi a funkcją podziału , skutecznie wykorzystując twierdzenie o indeksie Atiyaha – Singera .
Pochodzenie
Załóżmy, że dane jest
które
pole
Diraca
,
przekształca się zgodnie z reprezentacją zwartej grupy Liego G ; i mamy postać połączenia w tle przyjmowania wartości w algebrze Liego
g
.
{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \,.}
Diraca (w notacji z ukośnikiem Feynmana ) to
re
/
=
re mi fa
∂
/
+ ja ZA
/
{\ Displaystyle D \! \! \! \!/\ {\ stackrel {\ operatorname {def} }{=}} \ \ częściowe \! \! \!/ +iA\!\!\!/}
a akcja fermionowa jest dana przez
∫
re
re
x
ψ
ja re
Ż / ψ {\ Displaystyle \
int
d ^ {d} x \ {\ overline {\ psi}} iD \! \! \! \! / \ psi}
Funkcja podziału to
Z [ ZA ] = ∫
re
ψ ¯
re
ψ
mi
- ∫
re
re
x
ψ ¯
ja re
/
ψ
.
{\ Displaystyle Z [A] = \ int {\ mathcal {D}} {\ overline {\ psi}} {\ mathcal {D}} \ psi \, e ^ {- \ int d ^ {d} x \, {\overline {\psi}}iD\!\!\!/\,\psi}.}
Transformacja symetrii osiowej przebiega następująco
ψ →
mi
ja
γ
re + 1
α ( x )
ψ
{\ Displaystyle \ psi \ do e ^ {i \ gamma _ {d + 1} \ alfa (x)} \ psi \,}
ψ Ż
→
ψ Ż
mi
ja
γ
re + 1
α ( x )
{\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} \ do {\ overline {\ psi}} e ^ {i \ gamma _ {d + 1} \ alfa (x)}}
S → S + ∫
re
re
x α ( x )
∂
μ
(
ψ Ż
γ
μ
γ
re + 1
ψ
)
{\ Displaystyle S \ do S + \ int d ^ {d} x \, \ alfa (x) \ częściowe _ {\ mu }\left({\overline {\psi}}\gamma ^{\mu}\gamma _{d+1}\psi \right)}
Klasycznie oznacza to, że prąd chiralny
j
re + 1
μ
≡
ψ ¯
γ
μ
γ
re + 1
ψ
{\ Displaystyle j_ {d + 1} ^ {\ mu} \ równoważnik {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma _ {d + 1} \ psi}
0
=
∂
μ
jot
re + 1
μ
{\ Displaystyle 0 = \ częściowe _ {\ mu} j_ {d + 1} ^ {\ mu} }
Mechanicznie kwantowo prąd chiralny nie jest zachowany: Jackiw odkrył to z powodu nieznikania diagramu trójkątnego. Fujikawa ponownie zinterpretował to jako zmianę miary funkcji podziału w ramach transformacji chiralnej. Aby obliczyć zmianę miary w ramach transformacji chiralnej, najpierw rozważ fermiony Diraca na podstawie wektorów własnych operatora Diraca :
ψ =
∑
ja
ψ
ja
za
ja
,
{\ Displaystyle \ psi = \ suma \ ograniczenia _ {i} \ psi _ {i} a ^ {i}} ψ Ż =
∑ ja
ψ
ja
b
ja
,
{
\
Displaystyle
{ \overline {\psi }}=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{i},}
gdzie
{
za
ja
,
b
ja
}
{\ Displaystyle \ {a ^ {i}, b ^ {i} \}}
Grassmanna i
{
ψ
ja
}
{\ Displaystyle \ {\ psi _ {i} \} }
operatora Diraca :
re
/
ψ
ja
= -
λ
ja
ψ
ja
.
{\ Displaystyle D \! \! \! \!/\ psi _ {i} = - \ lambda _ {i} \ psi _ {i}.}
Przyjmuje się, że funkcje własne są ortonormalne w odniesieniu do całkowania w przestrzeni d-wymiarowej,
δ
ja
jot
= ∫
re
re
x
( 2 π
)
re
ψ
† jot
( x )
ψ
ja
( x ) .
{\ Displaystyle \ delta _ {i} ^ {j} = \ int {\ Frac {d ^ {d} x} {(2 \ pi) ^ {d}}} \ psi ^ {\ sztylet j} (x) \psi _{i}(x).}
Miara całki po trajektorii jest wtedy definiowana jako:
re
ψ
re
ψ ¯
=
∏
ja
re
za
ja
re
b
ja
{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ psi {\ mathcal {D}} {\ overline {\ psi}} = \ prod \ limity _ {i} da^{i}db^{i}}
W ramach nieskończenie małej transformacji chiralnej napisz
ψ →
ψ
′
= ( 1 + ja α
γ
re + 1
) ψ =
∑
ja
ψ ja
za
′
ja
+
, {\ Displaystyle \ psi \ do \ psi ^ {\ pierwsza} = (1
i \ alfa \ gamma _ { d+1})\psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{\prime i},}
ψ ¯
→
ψ ¯
′
=
ψ ¯
( 1 + ja α
γ
re + 1
) =
∑
ja
ψ
ja
b
′ ja
.
{\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} \ do {\ overline {\ psi}} ^ {\ pierwsza} = {\ overline {\ psi}} (1 + i \ alfa \ gamma _ {d + 1}) =\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{\prime i}.}
Jakobian transformacji można teraz obliczyć, korzystając z ortonormalności wektorów własnych
do
jot
ja
≡
(
δ za
δ
za
′
)
jot
ja
= ∫
re
re
x
ψ
† ja
( x ) [ 1 - ja α ( x )
γ
re + 1
]
ψ
jot
( x ) =
δ
jot
ja
- ja ∫
re
re
x α ( x )
ψ
† ja
( x )
γ
re + 1
ψ
jot
( x ) .
{\ Displaystyle C_ {j} ^ {i} \ równoważnik \ lewo ({\ Frac {\ delta a} {\ delta a ^ {\ pierwsza}}} \ prawej) _ {j} ^ {i} = \ int d ^{d}x\,\psi ^{\sztylet i}(x)[1-i\alfa (x)\gamma _{d+1}]\psi _{j}(x)=\delta _{ j}^{i}\,-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\sztylet i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j} (X).}
Transformacja współczynników
jest
ten
obliczana
w
.
re
ψ
re
ψ Ż
=
∏
ja
re
za
ja
re
b
ja
=
∏
ja
re
za
′ ja
re
b
′ ja
det
- 2
(
do
jot
ja
) ,
{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ psi {\ mathcal { D}}{\overline {\psi}}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}=\prod \limits _{i}da^{\prime i}db^{\ liczba pierwsza i}{\det }^{-2}(C_{j}^{i}),}
gdzie Jakobian jest odwrotnością wyznacznika, ponieważ zmienne integracji są Grassmannowskie, a 2 pojawia się, ponieważ a i b mają równy udział. Wyznacznik możemy obliczyć za pomocą standardowych technik:
det
- 2
(
do
jot
ja
)
= exp
[
- 2
t r
ln (
δ
jot
ja
- ja ∫
re
re
x α ( x )
ψ
† ja
( x )
γ
re + 1
ψ
jot
( x ) )
]
= exp
[
2 ja ∫
re
re
x α ( x )
ψ
† ja
( x )
γ
re + 1
ψ
ja
( x )
]
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ det} ^ {- 2} (C_ { j}^{i})&=\exp \left[-2{\rm {tr}}\ln(\delta _{j}^{i}-i\int d^{d}x\,\alfa (x)\psi ^{\sztylet i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x))\right]\\&=\exp \left[2i\int d^{ d}x\,\alpha (x)\psi ^{\sztylet i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{i}(x)\right]\end{wyrównane}}}
do pierwszego rzędu w α (x).
Specjalizując się w przypadku, gdy α jest stałą, jakobian musi zostać uregulowany, ponieważ całka jest źle zdefiniowana, jak napisano. Fujikawa zastosował regularyzację jądra cieplnego , taką, że
- 2
t r
ln
jot
ja
ja
= 2
→
lim
M → ∞
α ∫
re
re
x
ψ
† ja
( x )
γ
re + 1
mi
-
λ
ja
2
/
M
2
ψ
ja
( x )
= 2 ja
lim
M
do
∞
α ∫
re
re
x
ψ
† ja
( x )
γ
re + 1
mi
re
/
2
/
M
2
ψ
ja
( x )
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} -2 {\ rm {tr}} \ ln C_ { j}^{i}&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\sztylet i}(x)\gamma _{d+ 1}e^{-\lambda _{i}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\\&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\ alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\sztylet i}(x)\gamma _{d+1}e^{{D\!\!\!/\,}^{2}/ M^{2}}\psi _{i}(x)\end{wyrównane}}}
(
+
1 4
\
γ
^
ν
]
fa
μ ν {
Displaystyle
γ
μ
można
D {2}+{\tfrac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }} , a funkcje własne można rozwinąć na
re
,
[
2
= 2 ja
lim
M → ∞
α ∫
re
re
x ∫
re
re
k
( 2 π
)
re
∫
re
re
k
′
( 2 π
)
re
ψ
† ja
(
k
′
)
mi
k
mi
2
/
M
2
+ 1
/
( 4
M
2
) [
γ
μ
,
γ
ν
]
fa
μ ν
ja
k
′
x
-
γ
re + 1
mi
- ja k x
ψ
ja
( k )
{\ Displaystyle = 2i \ lim \ ograniczenia _ {M \ do \ infty} \ alpha \int d^{d}x\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\int {\frac {d^{d}k^{\prime }}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\sztylet i}(k^{\prime })e^{ik^{\prime }x}\gamma _{d+1}e ^{-k^{2}/M^{2}+1/(4M^{2})[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }}e ^{-ikx}\psi _ {i}(k)}
= -
- 2 α
( 2 π
)
re
/
2
(
re 2
) !
(
1 2
fa
)
re
/
2
,
{\ Displaystyle = - {\ Frac {-2 \ alfa} {(2 \ pi) ^ {d/2} ({\ Frac {d} {2}})!}} ({\tfrac {1}{2}}F)^{d/2},}
po zastosowaniu relacji kompletności dla wektorów własnych, wykonaniu śledzenia po macierzach γ i przyjęciu granicy w M. Wynik jest wyrażony w postaci 2-formy natężenia pola ,
F ≡
F
μ ν
d
x
μ
∧ d
x
ν
.
{\ Displaystyle F \ równoważnik F _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \ klin dx ^ {\ nu} \,.}
{
Ten wynik jest
równoważny
\ Displaystyle
\ mathfrak {g
}
klasą Cherna klasy sol
{
} }
anomalię chiralną , odpowiedzialną za niezachowanie prądu chiralnego.
K. Fujikawa i H. Suzuki (maj 2004). Całki po ścieżkach i anomalie kwantowe . Prasa Clarendona. ISBN 0-19-852913-9 .
Kwantowa teoria pól . Tom II: Nowoczesne aplikacje .. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5 .
![{\displaystyle Z[A]=\int {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \,e^{-\int d^{d}x\,{\overline {\psi }}iD\!\!\!/\,\psi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39689035711b3ff0b0547c3de59c52a2251defd5)
![C_{j}^{i}\equiv \left({\frac {\delta a}{\delta a^{\prime }}}\right)_{j}^{i}=\int d^{d}x\,\psi ^{{\dagger i}}(x)[1-i\alpha (x)\gamma _{{d+1}}]\psi _{j}(x)=\delta _{j}^{i}\,-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{{\dagger i}}(x)\gamma _{{d+1}}\psi _{j}(x).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ff4a9b91e03ec9e3a18e5f57eaadd03b10b1ec)
![{\begin{aligned}{\det }^{{-2}}(C_{j}^{i})&=\exp \left[-2{{\rm {tr}}}\ln(\delta _{j}^{i}-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{{\dagger i}}(x)\gamma _{{d+1}}\psi _{j}(x))\right]\\&=\exp \left[2i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{{\dagger i}}(x)\gamma _{{d+1}}\psi _{i}(x)\right]\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a547accf4438f355faec9182c227ad3d642ad3)
![D^{2}+{\tfrac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b53ceb460bc4993a4bfd9e4e103daf9e2726f7)
![=2i\lim \limits _{{M\to \infty }}\alpha \int d^{d}x\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\int {\frac {d^{d}k^{\prime }}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{{\dagger i}}(k^{\prime })e^{{ik^{\prime }x}}\gamma _{{d+1}}e^{{-k^{2}/M^{2}+1/(4M^{2})[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{{\mu \nu }}}}e^{{-ikx}}\psi _{i}(k)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7950abb404ba18c112133787793ba0fe6d8c870)
