Produkt marki Yoneda

W algebrze produkt Yoneda (nazwany na cześć Nobuo Yoneda ) to parowanie między grupami modułów Ext :

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ext} ^ {n} (M, N) \ czasami \ nazwa operatora { Zew} ^{m}(L,M)\to \operatorname {Zewn} ^{n+m}(L,N)}$

wywołane przez

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (N, M) \ otimes \ operatorname {Hom} (M, L) \ do \ operatorname {Hom} (N, L), \, f \ otimes g \ mapsto g \ circ f .}$

W szczególności dla elementu, pomyślanego jako rozszerzenie ${\ Displaystyle \ xi \ in \ operatorname {Ext} ^ {n} (M, N)}$

${\ Displaystyle \ xi: 0 \ strzałka w prawo N \ strzałka w prawo E_ {0} \ strzałka w prawo \ cdots \ strzałka w prawo E_ {n-1} \ strzałka w prawo M \ strzałka w prawo 0 }$ ,

i podobnie

${\ Displaystyle \ rho: 0 \ rightarrow M \ rightarrow F_ {0} \ rightarrow \ cdots \ rightarrow F_ {m -1}\rightarrow L\rightarrow 0\in \operatorname {Ext} ^{m}(L,M)}$ ,

tworzymy produkt Yoneda (kubek).

${\ Displaystyle \ xi \ uśmiech \ rho: 0 \ rightarrow N \ rightarrow E_ {0} \ rightarrow \ cdots \ rightarrow E_ {n-1} \ rightarrow F_ {0} \ rightarrow \ cdots \ rightarrow F_ {m-1} \rightarrow L\rightarrow 0\in \operatorname {Ext} ^{m+n}(L,N)}$ .

$\$ środkowa mapa przez dane mapy do $displaystyle M$ }

Rozszerzamy tę definicję, aby obejmowała $\$ użyciu zwykłej Ext ∗ $_)}$$\ Displaystyle \ operatorname {Ext} ^ {*} ($ grup.

Aplikacje

algebry zewnętrzne

Biorąc pod uwagę pierścień przemienny $}$$} ^ {$ ) { ${$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ tekst {Ext}} ^ {0} (M, M) = {\ tekst {Hom} }_{R}(M,M)}$ jest ogólnie nieprzemiennym pierścieniem. Można to uogólnić na przypadek snopów modułów nad przestrzenią pierścieniową lub toposem pierścieniowym.

Dualizm Grothendiecka

W teorii dualizmu Grothendiecka spójnych snopów na schemacie rzutowym ${\ Displaystyle i: X \ hookrightarrow \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ czystego wymiaru ${\ displaystyle r}$ nad algebraicznie zamknięte $pole$ parowanie

${\ Displaystyle {\ tekst {Ext}} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} ^{p}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})\times {\text{Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{ rp}({\mathcal {F}},\omega _{X}^{\bullet})\to k}$

gdzie ${\ Displaystyle \ omega _ {X}}$ jest kompleksem dualizującym ${\ Displaystyle \ omega _ {X} = {\ mathcal { Ext}}_{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P}}}^{nr}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{\mathbb {P}})}$ i ${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P}} = {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P}} (- (n + 1))} podane przez parowanie Yoneda$ .

Teoria deformacji

Produkt Yoneda jest przydatny do zrozumienia przeszkód w deformacji map toposów obrączkowych . Na przykład, biorąc pod uwagę kompozycję obrączkowanych toposów

${\ Displaystyle X \ xrightarrow {f} Y \ do S}$

i ${\ Displaystyle S}$ -rozszerzenie ${\ Displaystyle j: Y \ do Y '}$ z ${\ Displaystyle Y}$ przez O $}}$$\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {$$przeszkód$ -module istnieje klasa

${\ Displaystyle \ omega (f, j) \ w {\ tekst {Ext}} ^ {2} (\ mathbf {L} _ { X/Y},f^{*}J)}$

który można określić mianem produktu yoneda

${\ Displaystyle \ omega (f, j) = f ^ {*} (e (j)) \ cdot K ( X/Y/S)}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} K (X / Y / S) & \ w {\ tekst {Ext}} ^ {1} (\ mathbf {L} _ {X/Y} \ mathbf {L} _ {Y/S})\\f^{*}(e(j))&\in {\text{Ext}}^{1}(f^{*}\mathbf {L} _{Y/S} ,f^{*}J)\end{wyrównane}}}$

i odpowiada zespołowi cotangensa $mathbf {L} _ {X/Y}}$ \

Zobacz też

• Funktor zewnętrzny
• Kategoria pochodna
• Teoria deformacji
• Mapa Kodaira – Spencer

• Maj, J. Peter . „Uwagi na temat Tora i Ext” (PDF) .

Linki zewnętrzne

• Uniwersalność funktora Ext z wykorzystaniem rozszerzeń Yoneda