Pierścieniowy topos

W matematyce topos pierścieniowy jest uogólnieniem przestrzeni pierścieniowej ; to znaczy, pojęcie uzyskuje się przez zastąpienie „ przestrzeni topologicznej ” przez „ topos ”. Pojęcie toposu pierścieniowego ma zastosowanie w teorii deformacji w geometrii algebraicznej (por. kompleks cotangens ) i matematycznych podstawach mechaniki kwantowej . W tym ostatnim temacie topos Bohra to topos pierścieniowy, który pełni rolę kwantowej przestrzeni fazowej .

Definicja topos-wersji „przestrzeni lokalnie otoczonej pierścieniami” nie jest prosta, ponieważ znaczenie słowa „lokalny” w tym kontekście nie jest oczywiste. Pojęcie toposu z pierścieniami lokalnymi można wprowadzić , wprowadzając coś w rodzaju warunków geometrycznych pierścieni lokalnych (patrz SGA4, Exposé IV, ćwiczenie 13.9), co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że wszystkie łodygi obiektu pierścienia struktury są pierścieniami lokalnymi, gdy wystarczą punkty.

Morfizmy

ZA morfizm ${\ Displaystyle (T {\ mathcal {O}} _ {T}) \ do (T '{\ mathcal {O}} _ { T'})}$ pierścieniowego to para składająca $′$ pierścienia ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {T'} \ do f_ {*} {\ mathcal {O}} _ {T}}$ .

Jeśli zastąpimy „topos” przez ∞-topos , otrzymamy pojęcie ∞-topos z pierścieniami .

Przykłady

Pierścieniowy topos przestrzeni topologicznej

Jeden z kluczowych motywujących przykładów toposu pierścieniowego pochodzi z topologii. Rozważmy miejsce ${\ Displaystyle {\ tekst {Otwarty}} (X)}$ przestrzeni topologicznej i snop funkcji ciągłych ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle C_ {X} ^ {0}: {\ tekst {Otwórz}} (X) ^ {op} \ do {\ tekst {CRing}}}$

wysyłanie obiektu , otwartego podzbioru $,$ do pierścienia funkcji ciągłych do pierścienia funkcji ciągłych ${\ Displaystyle U \ w {\ tekst {Otwarty}} (X)}$ podzbiór $\ Displaystyle$ na ${\ displaystyle U}$ . Wtedy para ${\ Displaystyle ({\ text {Sh}} ({\ text {Open}} (X)), C_ {X} ^ {0})} tworzy$ obrączkowany topos. Zauważ , że można to uogólnić na dowolną przestrzeń z pierścieniami ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}: {\ tekst {Otwórz}} (X) ^ {op} \ do {\ tekst {Pierścienie}}}$

więc para ${\ Displaystyle ({\ tekst {Sh}} ({\ tekst {Otwórz}} (X)), {\ mathcal {O}} _ {X} )}$ to topos obrączkowany.

Obrączkowany topos schematu

Innym kluczowym przykładem jest obrączkowany topos powiązany ze schematem , który jest ponownie obrączkowanym toposem powiązanym z bazową lokalnie obrączkowaną przestrzenią ( $\ Displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ .

Związek z funktorem punktów

Przypomnijmy , że funktor punktu widzenia teorii schematów definiuje schemat jako funktor $\ Displaystyle X : {\$${CAlg}} \ do {\ tekst {Zestawy}}}$ spełnia warunek snopka i warunek sklejenia. Oznacza to, że dla każdej otwartej okładki ${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} (R_ {f_ {i}}) \ do {\ tekst {Spec}} (R)}$ schematów afinicznych, istnieje następująca dokładna sekwencja

${\ Displaystyle X (R) \ do \ prod X (R_ {f_ {i}}) \ prawostrzałki w prawo \ prod X (R_ {f_{i}f_{j}})}$

Ponadto muszą istnieć otwarte podfunktory afiniczne

${\ Displaystyle U_ {i} = {\ tekst {Spec}} (A_ {i}) = {\ tekst {Hom}} _ {\ tekst {CAlg}}(A_{i},-)}$

obejmujący $,$ co oznacza, że ​​dla każdego istnieje ${\ Displaystyle \ xi \ w X (R)$${\ Displaystyle \ xi | _ {U_ {i}} \ w U_ {i} (R)}$ . Następnie jest topos związany z ${\ displaystyle X}$ którego witryna podstawowa jest witryną otwartych podfunktorów. To miejsce jest izomorficzne z miejscem powiązanym z bazową przestrzenią topologiczną przestrzeni pierścieniowej odpowiadającej schematowi. Następnie teoria toposów umożliwia konstruowanie teorii schematów bez konieczności używania miejsc z pierścieniami lokalnymi przy użyciu powiązanych toposów z pierścieniami lokalnymi.

Obrączkowane toposy zbiorów

Kategoria zestawów jest równoważna kategorii snopów w kategorii z jednym obiektem i tylko morfizmem tożsamości, więc ${\ Displaystyle {\ text {Sh}} (*) \ cong {\ text {Zestawy }}}$ . Następnie, biorąc pod uwagę dowolny pierścień $istnieje$ powiązany snop ${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {zestawy} (-, A): {\ tekst {zestawy}} ^ {op} \ do {\ tekst {pierścienie}}}$ . Można to wykorzystać do znalezienia zabawkowych przykładów morfizmów obrączkowanych toposów.

Notatki

• Standardowym odniesieniem jest czwarty tom Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie .
• Francis, J. Pochodna geometria algebraiczna na ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}}$ -Pierścienie
• Dualność Grothendiecka dla stosów pochodnych
• Pierścieniowy topos w laboratorium n
• Lokalnie obrączkowane toposy w laboratorium n