Dokładny ciąg pięciu wyrazów

W matematyce pięcioczłonowa dokładna sekwencja lub dokładna sekwencja terminów niskiego stopnia to sekwencja terminów związanych z pierwszym krokiem sekwencji widmowej .

Dokładniej niech

${\ Displaystyle E_ {2} ^ {p, q} \ Strzałka w prawo H ^ {n} (A)$

będzie pierwszą sekwencją widmową ćwiartki, co oznacza, że ​​znika $q$ z wyjątkiem sytuacji gdy p nieujemne Potem jest dokładna kolejność

0 → mi ₂ ^1,0 → H ¹ ( ZA ) → mi ₂ ^0,1 → mi ₂ ^2,0 → H ² ( ZA ).

Tutaj mapa jest różniczką $mi$$^ {2,0}}$${2}}$ - wyraz ciągu widmowego.

Przykład

• Ciąg dokładny ograniczenia inflacji

0 → H ¹ ( G / N , A ^N ) → H ¹ ( G , A ) → H ¹ ( N , ZA ) ^{G / N} → H ² ( G / N , A ^N ) → H ² ( G , A )

w kohomologii grupowej powstaje jako pięcioczłonowa dokładna sekwencja związana z sekwencją widmową Lyndona – Hochschilda – Serre'a

H   ^p ( G / N , H   ^q ( N , A )) ⇒ H   ^p+q ( G, A )

gdzie G jest grupą profinitywną , N jest zamkniętą podgrupą normalną , a A jest dyskretnym G -modułem .

Budowa

Sekwencja jest konsekwencją definicji zbieżności sekwencji widmowej. Różnica drugiej strony z koddomeną E ₂ ^1,0 pochodzi od E ₂ ^−1,1 , które z założenia wynosi zero. Różniczka o domenie E ₂ ^1,0 ma kodomenę E ₂ ^3,−1 , która z założenia również jest równa zeru. Podobnie, przychodzące i wychodzące różniczki Er _1,0 są zerowe dla wszystkich ^r ≥ 2 . Dlatego wyraz (1,0) ciągu widmowego zbiegł się, co ^oznacza , że ​​jest on izomorficzny do stopnia jednego stopniowanego fragmentu łącznika H1 ( A ). Ponieważ sekwencja widmowa leży w pierwszej ćwiartce, element stopniowany stopnia pierwszego jest równy pierwszej podgrupie w filtracji definiującej elementy stopniowane. Włączenie tej podgrupy daje iniekcję E ₂ ^1,0 → H ¹ ( A ), która rozpoczyna pięcioczłonowy dokładny ciąg. To wstrzyknięcie nazywa się mapą krawędzi .

Termin E ₂ ^0,1 sekwencji widmowej nie jest zbieżny. Ma potencjalnie nietrywialną różniczkę prowadzącą do E ₂ ^2,0 . Jednak różniczkowe lądowanie w E ₂ ^0,1 zaczyna się od E ₂ ^−2,2 , które wynosi zero, a zatem E ₃ ^0,1 jest jądrem różniczki E ₂ ^0,1 → E ₂ ^2,0 . Na trzeciej stronie wyraz (0, 1) ciągu widmowego jest zbieżny, ponieważ wszystkie różniczki do iz Er ^0,1 zaczynają się lub kończą poza pierwszą ćwiartką, gdy _r ≥ 3 . W konsekwencji E ₃ ^0,1 jest stopniem zerowym części H ¹ ( A ). Ten stopniowany kawałek jest ilorazem H ¹ ( A ) przez pierwszą podgrupę w filtracji, a zatem jest to cokernel mapy krawędzi z E ₂ ^1,0 . Daje to krótką dokładną sekwencję

0 → mi ₂ ^1,0 → H ¹ ( ZA ) → mi ₃ ^0,1 → 0.

Ponieważ E ₃ ^0,1 jest jądrem różniczki E ₂ ^0,1 → E ₂ ^2,0 , ostatni wyraz w krótkim ciągu dokładnym można zastąpić różniczką. Daje to czteroczłonową dokładną sekwencję. Mapa H ¹ ( A ) → E ₂ ^0,1 jest również nazywana mapą krawędzi.

Wychodząca różniczka E ₂ ^2,0 wynosi zero, więc E ₃ ^2,0 jest kokernelem różniczki E ₂ ^0,1 → E ₂ ^2,0 . Przychodzące i wychodzące różniczki Er _2,0 wynoszą zero, jeśli r ≥ 3 , ponownie ponieważ ^sekwencja widmowa leży w pierwszej ćwiartce, a zatem sekwencja widmowa jest zbieżna. Konsekwentnie E ₃ ^2,0 jest izomorficzne do stopnia drugiego stopnia H ² ( A ). W szczególności jest to podgrupa H ² ( A ). Kompozyt E ₂ ^2,0 → E ₃ ^2,0 → H ² ( A ), który jest kolejnym odwzorowaniem krawędzi, ma zatem jądro równe lądowaniu różniczkowemu w E ₂ ^2,0 . To kończy budowę sekwencji.

Wariacje

Dokładną sekwencję pięciu wyrazów można rozszerzyć kosztem uczynienia jednego z wyrazów mniej jednoznacznym. Siedmioczłonowa dokładna sekwencja to

0 → mi ₂ ^1,0 → H ¹ ( ZA ) → mi ₂ ^0,1 → mi ₂ ^2,0 → Ker( H ² ( ZA ) → mi ₂ ^0,2 ​​) → mi ₂ ^1,1 → mi ₂ ^{3 ,0} .

Sekwencja ta nie rozciąga się bezpośrednio z mapą do H ³ ( A ). Chociaż istnieje mapa krawędzi E ₂ ^3,0 → H ³ ( A ), jej jądro nie jest poprzednim wyrazem w siedmioczłonowej dokładnej sekwencji.

Dla ciągów widmowych, których pierwszą interesującą stroną jest E ₁ , istnieje trzyczłonowy dokładny ciąg analogiczny do pięcioczłonowego dokładnego ciągu:

${\ Displaystyle 0 \ do H ^ {0} (A) \ do E_ {1} ^ {0,0} \ do E_ {1} ^ {0,1}.}$

Podobnie dla homologicznej sekwencji widmowej mi $\ Displaystyle E_ {p, q} ^ {2} \ Rightarrow H_ {n} (A)}$ otrzymujemy dokładną sekwencję:

${\ Displaystyle H_ {2} (A) \ do E_ {2,0} ^ {2 }\xrightarrow {d_{2}} E_{0,1}^{2}\do H_{1}(A)\do E_{1,0}^{2}\do 0}$

Zarówno w przypadku homologicznym, jak i kohomologicznym istnieją również sekwencje o niskim stopniu dokładności dla sekwencji widmowych w trzecim kwadrancie. Kiedy wiadomo, że dodatkowe terminy sekwencji widmowej znikają, dokładne sekwencje można czasami rozszerzyć dalej. Na przykład, długą dokładną sekwencję powiązaną z krótką dokładną sekwencją kompleksów.

•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Aleksander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologia pól liczbowych , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , tom. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001
•     Weibel, Charles A. (1994). Wprowadzenie do algebry homologicznej . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .