Sekwencja widmowa Lyndona – Hochschilda – Serre'a

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie kohomologii grup , algebry homologicznej i teorii liczb , sekwencja widmowa Lyndona lub sekwencja widmowa Hochschilda-Serre'a jest sekwencją widmową odnoszącą kohomologię grupową normalnej podgrupy N i grupę ilorazową G / N do kohomologii całej grupy G. Sekwencja widmowa została nazwana na cześć Rogera Lyndona , Gerhard Hochschild i Jean-Pierre Serre .

Oświadczenie

Niech $grupą$ i $podgrupą$ normalną . _ _ _ $.$ że iloraz jest również grupą $}$ modułem koniec niech będzie ${\ displaystyle A$ . Następnie istnieje sekwencja widmowa typu kohomologicznego

${\ Displaystyle H ^ {p} (G / N, H ^ {q} (N, ZA)} \ Długa strzałka w prawo H^{p+q}(G,A)}$

i istnieje sekwencja widmowa typu homologicznego

$G / N, H_ {q} (N, A)) \ Longrightarrow H_ {p+q}(G,A)}$ ,

$”$ strzałka „ oznacza zbieżność sekwencji widmowych .

$obowiązuje,$$jeśli$ jest grupą $profinite$ , jest zamkniętą podgrupą normalną i ciągłą kohomologię

Przykłady

Homologia grupy Heisenberga

Sekwencję widmową można wykorzystać do obliczenia homologii grupy Heisenberga G z wpisami całkowitymi, tj. macierzami postaci

${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} cc} 1 i a i b \\ 0 i 1 i c \\ 0 i 0 i 1 \ koniec {tablica}} \ prawo), \ a, b, c \ w \ mathbb {Z}.}$

Ta grupa jest centralnym rozszerzeniem

${\ Displaystyle 0 \ do \ mathbb {Z} \ do G \ do \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ do 0}$

ze środkiem odpowiadającym podgrupie z a = c = 0. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Sekwencja widmowa dla homologii grupowej wraz z analizą różniczkowania w tej sekwencji widmowej pokazuje, że

${\ Displaystyle H_ {i} (G \ mathbb {Z}) = \ lewo \ {{\ rozpocząć {tablica}{cc}\mathbb {Z} &i=0,3\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &i=1,2\\0&i>3.\end{array}}\right. }$

Kohomologia wyrobów wieńcowych

Dla grupy G produkt wianek jest przedłużeniem

${\ Displaystyle 1 \ do G ^ {p} \ do G \ wr \ mathbb {Z} / p \ do \ mathbb {Z} / p \ do 1.}$

Wynikowa sekwencja widmowa kohomologii grupowej ze współczynnikami w polu k ,

${\ Displaystyle H ^ {r} (\ mathbb {Z} / p, H ^ {s}(G^{p},k))\Strzałka w prawo H^{r+s}(G\wr \mathbb {Z} /p,k),}$

wiadomo, że degeneruje się na $\ displaystyle E_ {2}}$ .

Nieruchomości

Powiązana sekwencja dokładna z pięcioma wyrazami jest zwykłą sekwencją dokładną z ograniczeniem inflacji :

${\ Displaystyle 0 \ do H ^ {1} (G / N, A ^ {N}) \ do H ^ {1} (G, A) \ do H ^ {1} (N, A) ^ {G / N}\do H^{2}(G/N,A^{N})\do H^{2}(G,A).}$

Uogólnienia

Sekwencja widmowa jest przykładem bardziej ogólnej sekwencji widmowej Grothendiecka złożonej z dwóch pochodnych funktorów. Rzeczywiście, $) ^ {G}$ funktorem pochodnym z $sol$ - . -niezmienniki ) i funktorów i ${\ Displaystyle (-) ^ {$ N ${\ Displaystyle (-) ^ {G / N}}$ jest dokładnie ${\ Displaystyle (-) ^ {G}}$ .

Podobna sekwencja widmowa istnieje również dla homologii grupowej, w przeciwieństwie do kohomologii grupowej.

•   Lyndon, Roger C. (1948), „Teoria kohomologii rozszerzeń grupowych”, Duke Mathematical Journal , 15 (1): 271–292, doi : 10.1215/S0012-7094-48-01528-2 , ISSN 0012-7094 ( płatne)
•     Hochschild Gerhard ; Serre, Jean-Pierre (1953), „Kohomologia rozszerzeń grupowych”, Transactions of the American Mathematical Society , 74 (1): 110–134, doi : 10.2307/1990851 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990851 , MR 0052438
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Aleksander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologia pól liczbowych , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , tom. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001